Классические и квантованные поля в пространствах с нетривиальными топологической и причинной структурами

Оглавление
Общая характеристика работы 7
1 Введение в физику кротовых нор 20
§1.1 Экскурс в историю.............................................20
§ 1.2 Что называют кротовыми норами?...............................22
§ 1.3 Геометрия горловины .........................................25
§ 1.3.1 Произвольная статическая горловина....................26
§ 1.3.2 Произвольная нестатическая горловина..................28
§ 1.4 Статическая сферически симметричная кротовая нора 30
§ 1.4.1 Метрика кротовой норы, выраженная через собственную
радиальную координату...................................30
§ 1.4.2 Метрика кротовой норы в координатах кривизн 33
§ 1.4.3 Диаграмма погружения..................................35
§ 1.5 Кротовые норы и проблема нарушения энергетических условий 37 § 1.5.1 Энергетические условия в общей теории относительности 38
§ 1.6 Кротовые норы и проблема машины времени......................46
§ 1.7 Кротовые норы: Библиографический обзор.......................48
2 Кротовые норы в теории гравитации с классическими материальными полями 58
§ 2.1 Введение.................................................58
-3-
§ 2.2 Космологическая эволюция кротовых нор в теории гравитации
1 с фантомным скалярным полом ...................................63
§ 2.2.1 Основные уравнения.....................................63
§ 2.2.2 Статическое решение....................................64
§ 2.2.3 Решение, зависящее от времени..........................65
§ 2.2.4 Кротовая нора в космологическом окружении..............67
§ 2.2.5 Тензор энергии-импульса духового скалярного поля ... 70
# § 2.3 Кротовые норы в теории гравитации с фантомной энергией . . 72
§ 2.3.1 Основные уравнения.....................................72
§ 2.3.2 Сферически симметричное распределение фантомной
энергии.................................................74
§ 2.3.3 Кротовые норы с фантомной энергией.....................75
§ 2.4 Кротовые норы, поддерживаемые скалярным нолем с хиггсов-
^ ским потенциалом...............................................80
§ 2.4.1 Основные уравнения.....................................81
§ 2.4.2 Кротовые норы и конфигурация типа кинка для скалярного поля: Общие результаты....................................84
§ 2.4.3 Решение с кротовой норой...............................90
§ 2.5 Доменные стенки в пространстве-времени кротовой норы ... 97
§ 2.5.1 Решение с доменной стенкой.............................97
§ 2.5.2 Доменная стенка в модели кротовой норы................101
§ 2.5.3 Тензор энергии-импульса доменной стенки...............103
Заключение.........................................................104
3 Кротовые норы в теории гравитации с квантованными полями 108
♦ § 3.1 Введение.....................................................108
§ 3.2 Самосогласованное полуклассическое решение с
горловиной в теории гравитации с источником в виде вакуума
квантованных полей...........................................111
§ 3.2.1 Приближение Фролова-Зельникова для перенормированного вакуумного среднего значения тензора
энергии-импульса.......................................111
§ 3.2.2 Решеїгио с горловиной в рамках приближения Фролова-
Зелытикова.............................................112
§ 3.3 Энергия нулевых колебаний скалярного массивного поля в пространстве-времени кротовой норы........................119
§ 3.3.1 Модель кротовой норы с бесконечно короткой горловиной 119 § 3.3.2 Энергия нулевых колебаний и коэффициенты теплового
ядра...................................................123
§ 3.3.3 Обсуждение...........................................131
§ 3.4 Аналитическое приближение для (0|<£2|0) в случае массивного скалярного поля в статическом сферически симметричном пространстве-времени ................................................134
§ 3.4.1 Метод ВКБ для построения неперснормированного выражения для (О|02|О)..........................................134
§ 3.4.2 Перенормированное выражение для (О|02|О) ............138
§ 3.4.3 (О|02|О) в пространстве-времени Шварцшильда..........142
§ 3.4.4 (О|02|О) в пространстве-времени кротовой норы........144
§ 3.5 Однородное приближение......................................140
§ 3.5.1 Функции Грина........................................148
§ 3.5.2 Точно решаемые модели................................151
§ 3.5.3 Приближение ВКВ для радиальных мод ..................153
§ 3.5.4 Новое равномерное приближение для радиальных мод . 154
§ 3.5.5 Вычисление (О|02|О) с помощью равномерного приближения ..........................................................161
Заключение..........................................................165
Квантовая теория поля в пространствах с замкнутыми вре-мениподобными линиями 167
Введение............................................................167
§4.1 Теория поля в многосвязном пространстве-времени................170
§ 4.2 Квантованное комплексное скалярное поло в двумерном пространстве-времени с замкнутыми времениподобными линиями . 172 § 4.2.1 Двумерная модель пространства-времени с хронологическим горизонтом...................................................172
§ 4.2.2 Вакуумный тензор энергии-импульса .....................173
§ 4.2.3 Поведение тензора энергии-импульса вблизи хронологического горизонта ............................................. 180
§ 4.3 Комплексное автоморфное скалярное поле в пространстве Ми-
знера..........................................................184
§ 4.3.1 Пространство Мизнера...................................184
§ 4.3.2 (0|ГД1/|0)ГСП и {О|<£0|О)геп для комплексного скалярного
поля в пространстве Мизнера..............................186
§ 4.3.3 Поведение (0|ТДІ/|0) и (О|0<р|О) вблизи хронологического
горизонта .............................................. 191
§ 4.4 Рождение частиц вблизи хронологического горизонта.............194
§ 4.4.1 Модель пространства-времени ...........................194
§ 4.4.2 Рождение частиц........................................197
§ 4.5 Квантованные поля в неглобально гиперболических пространствах .........................................................206
§ 4.5.1 Проблемы квантовой теории поля в пространствах с замкнутыми времениподобными линиями...............................208
-6-
§ 4.5.2 Модифицированная процедура квантования ............212
* § 4.5.3 Функция Адамара и (0|<£2|0) .......................216
§ 4.5.4 Метод изображений .................................219
Заключение......................................................221
Основные результаты и выводы 224
Приложения 231
9 Приложение к§3.2 ................................................231
Приложение к § 3.3 .............................................232
Приложение к § 3.4: Асимптотическое разложение для 5п(е, ц) в пределе б —» 0.....................................................245
Приложение к § 3.4: Асимптотики для 5„(2тг/х) и ІУ™ (д).........248
Приложение к § 3.5 .............................................250
^ Приложение 1 к § 4.2 ............................................252
Приложение 2 к § 4.2 ...........................................254
Приложение к § 4.3 .............................................256
Приложение к § 4.5 .............................................258
Литература 261
«
Общая характеристика работы
В данной диссертационной работе излагаются результаты исследований по теории гравитации, проведенных автором в течение последних 10-12 лет; включены также некоторые более ранние работы. Тематика исследований охватывает круг проблем, связанных с возможными нетривиальными топологической и причинной структурами физического пространства-времени, включая проблему существования кротовых нор в рамках общей теории относительности, проблему “машины времени” или замкнутых времениподобных мировых линий, и проблемы, связанные с особенностями поведения классических и квантованных полей в пространствах с; нетривиальной топологической и причинной структурой.
Актуальность работы
Уравнения Эйнштейна, лежащие в основе общей теории относительности (ОТО), будучи дифференциальными уравнениями в частных производных второго порядка, позволяют, вообще говоря, устанавливать лишь локальные свойства пространства-времени и ничего не говорят о его глобальной структуре. В частности, это означает, что в ОТО оказывается возможным существование решений, описывающих пространственно-временные конфигурации с нетривиальной топологической и причинной структурой. Для характеристики глобальных свойств пространства-времени требуется физическая теория, выходящая за рамки ОТО. Возможно, такой теорией в будущем может стать квантовая гравитация, на построение которой в течение многих лет направ-
лены значительные усилия многих ученых (см., например, обзор [305] и приведенные там ссылки). В отсутствие законченной теории квантовой гравитации особое значение приобретают исследования, нацеленные на изучение топологической и причинной структуры пространства-времени и ес связи с различными физическими процессами.
Идея о нетривиальной топологии пространства имеет долгую историю. В частности, еще в 1900 году Шварцшильд (см. [413]) обсуждал такую возможность и использовал представление о двойных изображениях для определения нижней границы для размера Вселенной. Вопрос о топологии Вселенной и сегодня является актуальным и открытым. В последние годы исследование этой проблемы получило новый импульс в связи с достижениями наблюдательной космологии [340, 159].
Важное развитие топологических идей в физике связано с именами Эйнштейна и Уилера. В 1935 году Эйнштейном и Розеном [181] была опубликована работа, в которой была предложена свободная от сингулярностей геометрическая модель элементарной “частицы”; роль частицы в этой модели выполнял “мост”, соединяющий два пространства (мост ЭйнштейнагРозена). Развитием этой идеи явилась гсомстродинамика Уилера [41], основанная на представлении о многосвязном пространстве. Топологическая ручка в многосвязном пространстве получила название “\\тогт1ю1е” или “кротовая нора”. Идеи Уилера о роли топологии в гравитации оказали глубокое влияние на физические представления о структуре пространства-времени. Понятия о кротовых норах и пространственно-временной пене прочно вошли в физический лексикон и мышление. Новый всплеск интереса к кротовым норам был вызван работами Морриса и Торна [359, 360], которые ввели понятие проходимой кротовой норы и показали, что существование таких объектов неизбежно приводит к формированию в пространстве-времени замкнутых времениио-добных мировых линий, т.е. к образованию “машины времени”. Полученные
ими результаты повлекли за собой активную деятельность, охватывающую широкий спектр проблем, связанных с кротовыми норами и машиной времени.
Центральная проблема физики кротовых нор заключается в том, что их существование должно поддерживаться “экзотической” формой материи, нарушающей ряд стандартных энергетических условий и, в том числе, световое энергетическое условие. Построение и изучение реалистических физических моделей, в рамках которых возможно существование кротовых нор, является одним из важнейших направлений исследований в этой области. В этом направлении важные результаты были получены Бронниковым, Эллисом, Вис-сером и другими.
Следует отметить, что энергетические условия играют фундаментальную роль в гравитационной физике; они лежат в основе многих важных результатов, полученных в рамках ОТО. Среди них известные теоремы о сингулярностях, теорема о топологической цензуре, законы термодинамики черных дыр. Все эти результаты справедливы при определенных ограничениях, накладываемых стандартными энергетическими условиями. Интерес к проблеме существования кротовых нор и машины времени инициировал исследования, нацеленные на более детальный анализ энергетических условий. Особый прогресс был достигнут в понимании ограничений, следующих из квантовой теории поля. В 1995 году Форд и Роман получили новый тип энергетических условий, так называемые квантовые неравенства, накладывающие дополнительные ограничения на пространственно-временные и полевые конфигурации. Следствия, к которым приводят квантовые неравенства, интенсивно изучаются в настоящее время.
Важным следствием существования кротовых нор является формирование в пространстве-времени замкнутых времен и подобных мировых линий. Для решения этой проблемы, известной как проблема машины времени, Хокинг
выдвинул гипотезу о защите хронологии, гласящую, что законы физики запрещают формирование машины времени в будущем. В качестве механизма, обеспечивающего защиту хронологии, им было предложено рассматривать возможную квантовую нестабильность хронологического горизонта, т.е. гиперповерхности, разделяющей области, не содержащие и содержащие замкнутые времениподобные линии. Большой интерес к гипотезе Хокинга и проблеме машины времени в целом привел к интенсивным исследованиям в этой области. В частности, при этом был достигнут значительный прогресс в понимании поведения квантованных полей вблизи хронологического горизонта.
Астрофизические данные, полученные в последние годы для сверхновых типа 1а и реликтового излучения, убедительно свидетельствуют в пользу того, что наша Вселенная в настоящее время находится в состоянии ускоренного расширения. Объяснение этого факта в рамках общей теории относительности требует предположения, что значительная часть Вселенной (~ 73%) состоит из гипотетической темной энергии: экзотической материи, обладающей положительной плотностью энергии р > 0 и отрицательным давлением р, таким, что р = гир, где ги < —1/3. Причем наблюдениями не исключается случай, когда го < —1; в этом случае темную энергию называют фантомной. Недавно было показано, что экзотические свойства темной (фантомной) энергии, которые проявляют себя в поведении Вселенной в целом, могут также проявляться и в малых масштабах, обеспечивая существование кротовых нор.
Все вышеизложенное свидетельствует о том, что исследования классических и квантованных полей в пространствах с нетривиальной топологической и причинной структурой являются, безусловно, актуальными.
Цели и задачи диссертационной работы
Целыо диссертационной работы является исследование круга проблем, связанных с возможными нетривиальными топологической и причинной структурами физического пространства-времени, включая проблему существования кротовых нор в рамках общей теории относительности, проблему ‘‘машины времени” или замкнутых времениподобных мировых линий и проблемы, связанные с особенностями поведения классических и квантованных полей в пространствах с нетривиальными топологической и причинной структурами.
В диссертационной работе решаются следующие задачи:
1. Изучение динамических кротовых нор в общей теории относительности с фантомным скалярным полем.
2. Исследование роли темной энергии (энергии вакуума) в обеспечении условий существования кротовых нор. Построение и исследование моделей, описывающих кротовые норы с темной энергией.
3. Исследование статических сферически симметричных кротовых нор, поддерживаемых скалярным полем с потенциалом хиггсовского типа.
4. Изучение условий существования доменных стенок в пространстве-времени статической сферически симметричной кротовой норы.
5. Определение условий существования и построение явных самосогласованных решений, описывающих кротовые поры в полуклассической теории гравитации.
6. Вычисление энергии нулевых колебаний квантованного массивного скалярного поля в пространство-времени кротовой норы.
7. Разработка метода построения аналитических приближенных выражений для вакуумного среднего значения (О|02|О) (поляризация вакуума скалярного поля ф) и вакуумного среднего тензора энергии-импульса (0|7]|„|0) скалярного поля в пространстве-времени кротовой норы.
8. Изучение поведения квантованного комплексного скалярного поля вбли-
зи хронологического горизонта в пространстве Мизнера.
9. Изучение рождения частиц скалярного поля в процессе формирования хронологического горизонта в динамической модели.
10. Анализ проблем, возникающих при использовании стандартного подхода к процедуре квантования полей в пространствах с замкнутыми време-ниподобными линиями; разработка модифицированной схемы квантования.
Научные положения, выносимые на защиту
1. Скалярное поле с отрицательной кинетической энергией и с экспоненциальным потенциалом в рамках общей теории относительности обеспечивает существование динамической сферически-симметричной пространственно-временной конфигурации, представляющей собой кротовую нору, связывающую две асимптотически однородные пространственно плоские вселенные, расширяющиеся с ускорением. Характер ускорения зависит от параметра, определяющего массу кротовой норы. В случае нулевой массы величина ускорения является постоянной; для массы, отличной от нуля, величина ускорения возрастает до бесконечности за конечный промежуток времени. Первый случай соответствует двум вселенным Де Ситтера, соединенным кротовой норой. Во втором случае кротовая нора соединяет две однородные пространственно плоские вселенные, расширяющиеся с возрастающим ускорением вплоть до финального сингулярного состояния, получившего название Большой Разрыв (Big Rip).
2. Темная энергия способна приводить к формированию и существованию статических сферически симметричных кротовых нор. Это возможно для фантомной темной энергии с уравнением состояния р — гор, где w < — 1. Распределение фантомной энергии в пространстве кротовой норы имеет следующую важную особенность: бблыная се часть оказывается заключенной в ограниченной сферической области, окружающей горловину кротовой норы;
максимальный размер этой области ограничен и определяется параметром го.
3. В рамках эйнштейновской теории гравитации со скалярным нолем, неминимально связанным с кривизной и имеющим потенциал хиггсовского типа с двумя минимумами (что приводит к нарушению дискретной симметрии), реализуются решения, описывающие статические сферически симметричные кротовые норы. Распределение скалярного поля на фоне подобной кротовой норы представляет собой особую топологическую конфигурацию, соответствующую сферической доменной стенке, локализованной вблизи горловины.
4. Кротовые норы реализуются как самосогласованные решения полуклас-сической теории гравитации с вакуумом квантованных полей. Особенность полуклассических кротовых нор состоит в том, что характерный масштаб горловины такой кротовой норы сравним с планковской длиной.
5. Возможность существования полуклассических кротовых нор подтверждается исследованиями энергии нулевых колебаний массивного скалярного поля в пространстве-времени кротовой норы (модель короткого горла). Энергия нулевых колебаний массивного скалярного поля с константой связи
вычисленная с помощью метода дзета-функции, принимает минимальное значение для определенного радиуса горловины кротовой норы, соответствующего равновесной конфигурации. В частности, для $ = 1/6 (конформная связь) радиус горловины стабильной полуклассической кротовой поры имеет значение и % 0.01411^, где Ьр — планковская длина.
6. Предложен метод построения аналитических приближенных выражений для поляризации вакуума (О|02|О) и вакуумного среднего тензора энергии-импульса (0|7]ц,|0) массивного скалярного поля ф, основанный на использовании ВКБ-приближения для мод скалярного поля и адаптированный для вычислений в пространстве-времени кротовой норы.
7. Приближенные методы, нацеленные на вычисление вакуумных сред-
них величин и использующие в своей основе приближение ВКБ, приводят к неверным результатам на горизонте событий черной дыры для полей, не обладающих конформной инвариантностью. Причиной этого является важная роль, которую играют низкочастотные моды вблизи горизонта событий. Для решения этой проблемы построено новое однородное приближение, более точно учитывающее вклад низкочастотных (включая нулевую) мод и приводящее к хорошим результатам как вблизи, так и вдали от горизонта событий.
8. Квантованное автоморфное скалярное поле дает пример регулярного поведения на хронологическом горизонте (в двумерной модели и 4-мерном пространстве Мизнера). Тензор энергии-импульса, вычисленный для такого поля, остается регулярным на хронологическом горизонте при определенных значениях параметра автоморфности.
9. Формирование хронологического горизонта сопровождается рождением частиц квантованного скалярного поля. При этом число частиц, рожденных в каждой моде, так же, как и полное число частиц, остаются конечными в момент формирования горизонта. Этот результат указывает на то, что процесс рождения частиц не может препятствовать образованию хронологического горизонта.
10. Математическое требование полноты набора решений волнового уравнения, возведенное в физический принцип, позволяет успешно решить ряд проблем, связанных с построением квантовой теории ноля в пространствах с замкнутыми времениподобными линиями. В частности, на основе принципа полноты оказывается возможным построение модифицированной процедуры квантования. Прямые вычисления функции Адамара и поляризации вакуума (О|02|О) для скалярного поля ф, выполненные е использованием данной процедуры в двумерной модели с замкнутыми времениподобными линиями, приводят к результатам, согласующимся с известными резулт,татами.
Достоверность результатов диссертации
Достоверность результатов, выводов и научных положений диссертационной работы обеспечиваются:
— корректностью построения математических моделей физических систем в пространствах с нетривиальными топологической и причинной структурами;
— корректностью проведенных математических преобразований и расчетов;
— согласием полученных в диссертации результатов с известными результатами.
Научная новизна
В диссертации получены следующие новые результаты:
1. Построено точное аналитическое решение, описывающее нестатическую кротовую нору в общей теории относительности с фантомным скалярным полем; кротовая нора соединяет удаленные области расширяющейся с ускорением Вселенной.
2. Впервые установлено, что темная энергия с уравнением состояния р = гир, где ги < -1, доминирующая в ускоряющейся Вселенной, обеспечивает существование кротовых пор. Показано, что в случае статического сферически симметричного распределения темная энергия оказывается заключенной в сферической области вокруг горловины кротовой норы, причем максимальный размер этой области ограничен и определяется параметром н;.
3. Исследованы полевые конфигурации нового типа, представляющие собой сферические доменные стенки, локализованные вблизи горловины кротовой норы.
4. В рамках полуклассического подхода впервые исследована проблема существования кротовых нор в общей теории относительности с квантованными
-16-
полями, выступающими в роли источника гравитации. Построены самосогласованные решения, описывающие полу классические кротовые норы.
5. Вычислена энергия нулевых колебаний квантованного массивного скалярного поля в пространстве-времени кротовой поры и получена оценка величины радиуса горловины полуклассической кротовой норы.
6. Усовершенствован метод построения аналитических приближенных выражений для вакуумных средних значений квадрата скалярного поля (О|02|О) (поляризации вакуума) и тензора энергии-импульса скалярного поля (0|Гд1/|0). Метод успешно использован при построении аналитического приближения для поляризации вакуума массивного скалярного поля в пространстве-времени статической сферически симметричной кротовой норы.
7. Изучено поведение квантованного комплексного скалярного поля вблизи хронологического горизонта и показано, что существуют квантовые состояния, для которых тензор энергии-импульса скалярного поля остается конечным на горизонте.
8. Исследовано рождение частиц скалярного поля в процессе формирования хронологического горизонта. Установлено, что полное число частиц, рожденных в этом процессе, является конечным. Этот результат указывает на то, что процесс рождения частиц не препятствует образованию хронологического горизонта.
9. Проведен детальный анализ проблем, возникающих при использовании стандартной процедуры квантования полей в пространствах с замкнутыми времениподобными мировыми линиями, и предложена модифицированная схема квантования, распространяющаяся на случай квантованных полей в пространствах, не обладающих глобальной гиперболической структурой.
Апробация работы
Основные материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и рабочих совещаниях: Международная конференция по гравитации, космологии, астрофизике, посвященная 90-летию со дня рождения проф. К.П. Станюковича (Москва, март, 2006); 12-я Российская гравитационная конференция по гравитации, космологии и астрофизике (Казань, июнь 2005); Международная конференция “Astrophysics and cosmology after Gamow” (Odessa, Ukraine, August, 2004); 3-я Международная школа-семинар “Проблемы теоретической и наблюдательной космологии” (Ульяновск, сентябрь 2003); V международное рабочее совещание “Quantum Field Theory Under the Influence of External Conditions” (Германия, Лейпциг, 2001); Международное рабочее совещание и школа “Quantum Gravity and Su-pcrstring” (Россия, Дубна, 2001); V международная конференция “Gravitation and Astrophysics of Asian-Pacific Countries” (Россия, Москва, 2001); 2-я Международная школа-семинар "Проблемы теоретической космологии"(г. Ульяновск, сентябрь 2000); Международная конференция “Gravitation, Cosmology and Relativistic Astrophysics” (Украина, Харьков, 2000); IV-e международное рабочее совещание “Quantum Field Theory Under the Influence of External Conditions” (Германия, Лейпциг, 1998); IV-й международный семинар им. А.А. Фридмана “Gravitation and Cosmology5’ (Санкт-Петербург, 1998); loth International Conference on General Relativity and Gravitation (Pune, India, December, 1997); 1-я Международная школа-семинар “Современные проблемы космологии” (Ульяновск, сентябрь, 1997); III-я Международная конференция “Геометризация физики” (Казань, октябрь, 1997); Международный геометрический семинар “Современная геометрия и теория физических полей” (Казань, февраль, 1997); 9-я Российская гравитационная конференция “Теоретические и экспериментальные проблемы гравитации” (Новгород, 1996); Ш-е международное рабочее совещание “Quantum Field Theory Under the
Influence of External Conditions”, (Германия, Лейпциг, 1995); II-й семинар “Gravitational Energy and Gravitational Waves” (Дубна, 1990); Конференция “Материальные среды в релятивистских полях тяготения” (Казань, 1989), а также на научных семинарах Государственного астрономического института им. Штернберга, Российского гравитационного общества (Центр гравитации и фундаментальной метрологии ВНИИМС), кафедры теоретической и математической физики Ульяновского государственною университета, каг федры теории относительности и гравитации Казанского государственного университета, кафедр геометрии и теоретической физики Казанского государственного педагогического университета, кафедры теоретической физики университета Эдмонтона (Канада), кафедры теоретической физики университета Сеула (Корея), теоретического отдела Института теоретической физики (Пекин, Китай). Научная работа по теме диссертации поддерживалась различными фондами: РФФИ (Россия, три долгосрочных гранта), НИОКР (Россия, Татарстан, один долгосрочный грант).
Публикации
По теме диссертации опубликовано двадцать шесть статей в центральной (ТМФ, ЯФ, Gravitation к Cosmology [Гравитация и космология]) и зарубежной (Physica! Review Letters, Physical Review D, Classical and Quantum Gravity, General Relativity and Gravitation, Physics Letters A, International Journal of Modern Physics) печати.
Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения, 4-х глав, заключения, списка литературы и приложения. Общий объем диссертации составляет 307 страниц. Список литературы содержит [492] наименований.
Соглашения и обозначения, принятые в диссертации
Во всей диссертационной работе приняты следующие соглашения. Греческие индексы а,0,7,... принимают значения 0,1,2,3 и используются для обозначения координат в пространство-времени; латинские индексы из середины алфавита принимают значения 1,2,3 и используются для обо-
значения пространственных координат; латинские индексы из начала алфавита (а,6,с,...) принимают значения 1,2 и используются для обозначения координат на некоторой двумерной гиперповерхности. Сигнатура метрики, определение тензоров Римана и Риччи, скалярной кривизны совпадают с использованными в книге Хокинга и Эллиса [43]. А именно,
+ вд, - вдг
Я;№=К'ваі-. К =
Уравнения Эйнштейна имеют следующий вид
Пци ~ “Ь А^//і/ = 8ітТці,.
Ковариантный даламбертиан: □ = да3Ча\?$. Там, где не оговорено особо, принята система единиц с = С? = Д = 1.
к
Глава 1
Введение в физику кротовых нор
*
§1.1 Экскурс в историю
Физика кротовых нор начинает свой отсчет с 1910 года с работы Фламма [202], в которой было впервые указано, что решение Шварцшильда уравнений Эйнштейна, полученное в том же году, представляет собой то, что в послсд-ствии было названо кротовой норой. Первые серьезные исследования в этой области были представлены в 1935 году в работе “Проблема частицы в общей теории относитапьности” Эйнштейном и Розеном [181]. Мотивом для написания этой работы явилась попытка преодолеть разрыв между непрерывной природой физического поля и сингулярной природой физической частицы. Эйнштейн и Розен попытались построить геометрическую модель элементарной “частицы”, свободную от сингулярностей, предположив, что роль частицы может играть “мост”, соединяющий два пространства (см. рис. 1.1). При этом они рассмотрели два случая: (1) модель массивной незаряженной частицы, гцюдставляющей собой “мост”, не содержащий никаких дополнительных полей, и (2) модель массивной “квазизаряженной” частицы, представляющей собой “мост”, пронизанный силовыми линиями электромагнитного поля.
^ Хотя, как теперь известно, конкретные построения, проведенные Эйнштей-
ном и Розеном, оказались непригодными в качестве модели элементарной частицы, они оказали серьезное влияние на развитие новых идей. В пяти-
20
-21 -
* Рис. 1.1: Мост Эйнштейна-Розсиа.
десятые годы Уилер сформулировал несколько фундаментальных понятий, лежащих на стыке топологии и общей теории относительности (см. [484, 41]). В работе Уилера [482] 1955 года впервые встречается обсуждение роли нетривиальных топологических конфигураций типа ручек в физике пространства-времени. Сам термин *Ч\топп1к)1е'' был введен в 1957 году в работе Уиле-
* ра и Мизнера [357]1; в этой работе была сформулирована весьма амбициоз-
ная программа, предусматривающая построение всей классической физики как проявление топологических свойств пространства. Анализ роли квантовых гравитационных процессов привел Уилера к формулировке понятия “пространственно-временной пены” [483] (см. также [21]).
Идеи Уилера о роли топологии в гравитации оказали глубокое влияние ^ на физические представления о структуре пространства-времени. Понятия о
кротовых норах и пространственно-временной пене прочно вошли в физический лексикон и мышление. Однако до 1988 года исследования в этой области были несистематичны и немногочисленны. В качестве одной из причин, объясняющей такое положение дел, можно указать тот факт, что кротовые норы Уилера представляют собой очень маленькие объекты с размерами поряд-р ка планковской длины (« 10-35 м). Изучение подобных объектов возможно
1 Отметим, что в качестве русского аналога термина ‘Чтогт1ю1е”, дословно означающего “червячная дыра” или "червоточина”, в сборнике переводных работ [41] под редакцией Д. Д. Иваненко был впервые предложен термин “кротовая нора”.
лишь в рамках квантовой теории гравитации, которая до сих пор не разработана достаточно удовлетворительно. Всплеск интереса к кротовым норам, не прекращающегося до настоящего времени, произошел в 1988 году после появления работы Морриса и Торна [359] и, затем, работы Морриса, Торна и Юртсевера [360]. В работе [359] Моррис и Торн обсудили возможность существования так называемых проходимых кротовых нор. Проходимой они назвали кротовую нору макроскопического размера, через когорую человек (или сигнал) сможет пройти в одну сторону и затем вернуться назад за конечное время; в случае, если такие кротовые норы существуют, оказываются возможными “межзвездные” путешествия на большие расстояния. Анализируя геометрию статической сферически симметричной кротовой норы, Моррис и Торн установили, что необходимым условием ее существования является наличие в горловине кротовой норы материи, для которой нарушаются стандартные энергетические условия; они назвали подобную материю экзотической. В следующей работе [360] было показано, что существование проходимых кротовых нор приводит к появлению в пространстве-времени замкнутых времениподобных мировых линий, или, другими словами, к формированию машины времени, что может означать нарушение принципа причинности.
Работы Морриса, Торна и Юртсевера [359, 360] инициировали целое направление исследований, посвященных различным аспектам физики и математики проходимых кротовых нор.
§1.2 Что называют кротовыми норами?
Следует отметить, что в обширной литературе, посвященной кротовым норам, не существует единого определения, отвечающего на вопрос, вынесенный в заголовок параграфа. Фактически, кротовыми норами называют достаточно широкий класс различных пространственно-временных конфигураций. Сам термин “кротовая нора” был предложен Уилером для обозначения
-23-
Рис. 1.2: Топологическая ручка (кротовая нора Уилера).
Рис. 1.3: Короткая топологическая ручка, соединяющая удаленные области пространства. Путь АСВ, соединяющий точки Ли В через искривленную область горловины, может оказаться намного короче пути АйВ, проходящего через асимптотически плоскую область пространства.
топологических ручек, соединяющих удаленные пространственные области одной вселенной (см. рисунок 1.2). Отметим, что такая конфигурация то-
* пологи чески эквивалентна другой, показанной на рисунке 1.3). Другая конфигурация, которую также называют кротовой норой, представляет собой “мост”, типа моста Эйнштейна-Розена, связывающий две различные вселенные. Такая кротовая нора представляет собой горловину, соединяющую две асимптотически плоские области (ем. рисунок 1.1).
Важной особенностью пространств с топологическими ручками и мостами
# является нетривиальное^ их топологии. В частности, это выражается в том, что в таких пространствах существует хотя бы одна двумерная замкнутая пространственно-подобная поверхность, которую нельзя непрерывным образом стянуть в точку. Зачастую, говоря о кротовых норах, неявно предполагают, что это топологическое свойство является для них определяющим. Также часто, характеризуя пространство кротовой норы, полагают, что ее горлови-
» на должна соединять асимптотически плоские области. В то же время су-
ществуют и другие конфигурации, которые могут быть классифицированы как кротовые норы е пространственной геометрией, имеющей тривиальную
-24-
Рис. 1.4: Кротовая пора, связывающая асимптотически плоскую и замкнутую вселенные.
топологию, либо не имеющей асимптотически плоских областей, либо обладающей обеими этими особенностями. Примером топологически тривиальной кротовой норы является замкнутая вселенная Фридмана, соединенная горловиной с пространством Минковского [465] (рис. 1.4), или две замкнутые вселенные Фридмана, соединенные мостом [466] (рис. 1.5). Другим примером является самосогласованная полуклассическая кротовая нора, полученная в наших работах [423,273]. Топология пространства-времени этой кротовой норы аналогична топологии моста, соединяющего две вселенные, однако пространственная асимптотика в этом случае имеет особенность, выраженную в избытке телесного угла.
Отметим, что различия между' рассмотренными выше конфигурациями кротовых нор проявляются на уровне глобальной геометрии и глобальной топологии, общим же для всех моделей является наличие горловины, которая может быть определена единым образом локально для любой кротовой норы. Ниже, в параграфе § 1.3, мы детально рассмотрим геометрию горловины, а сейчас, подводя итог обсуждению, сформулируем следующее определение:2
2Отмстим, что в некоторых недавних работах понятие кротовой норы трактуется еще шире. Так, Лсмое и Лобо (338), опираясь на результаты работ (333, 334, 330, 335], посвященных плоско- и цилиидрически-енмметричным горизонтам событий, рассмотрели конфигурацию, представляющую собой топологически тривиальное плоско-симметричное статическое пространство-время, состоящее из внутренней области, заполненной ‘экзотической" материей и соединенной асимптотически с двумя внешними вакуумными ВССЛС1ШЫМН антн-ДсСиттсра. Хотя данное пространство не имеет горловины и, фактически, является пространством домешюй стенки, его диаграмма погружения аналогична диаграмме погружешш крото-
-25-
Рис. 1.5: Кротовая нора, связывающая две замкнутые вселенные. (Конфигурация типа “гантели” [274].)
Определение 1.1 Будем называть кротовой норой пространство-время с горловиной, соединяющей различные пространственные области, не накла-
ф
дывая при этом никаких дополнительных условий на топологию и асимптотические свойства пространства-времени.
§ 1.3 Геометрия горловины
Ранее мы определили кротовую нору как пространство-время с горловиной, » отметив при этом, что сама горловина может быть определена в терминах
локальных геометрических величин. В общем случае геометрические характеристики произвольной горловины были детально исследованы Виссером и Хохбергом. В работе [274] они сформулировали определение и изучили геометрическую структуру произвольной статической горловины, а в работах [275, 276] расширили обсуждение на случай произвольных нестатических гор-» ловин. В этом параграфе мы рассмотрим некоторые основные результаты
пой поры Морриса-Торна [359], что и позволило авторам назвать эту конструкцию плоско-симмстричпой кротовой норой.
-26-
этих работ.
§ 1.3.1 Произвольная статическая горловина
Рассмотрим произвольное статическое пространство-время, метрику которого всегда можно представить в следующем виде [19, 43, 478]:
ds2 = -e2*dt2 + gijdx'dx\ (1.3.1)
где Ф и Qij — это некоторые функции пространственных координат хг. Примем следующее определение:
Определение 1.2 Проходимой горловиной Е будем наливать двумерную пространственную поверхность t = const минимальной площади.
Отметим, что определение, в силу статичности метрики, не зависит от выбора момента времени t = const. Вычислим площадь но формуле
Л(Е) = J VWgd2x. (1.3.2)
Далее введем нормальные гауссовы координаты х1 = (х°;п), определенные так, что уравнение п = 0 задает поверхность Е. Теперь
dxidx3 = ^ (jab dxadxb + dn2. (1.3.3)
Выполним вариацию площади, переходя от поверхности п = 0кп = 6п(х). При этом получим
д-УЩ)
6А(Е) = J 6п{х) cfx, (1.3.4)
и далее
М(Е) = [у/Щ^9пЬ^ бп[х)(Рх. (1.3.5)
В нормальных гауссовых координатах тензор внешней кривизны поверхности может быть определен (см. [19]) как
К,.* Ь И З-«)
-27-
Таким образом
<5Л(Е) = - У у/Щи(К) 5п(х) (Рх, (1.3.7)
где Ьт(К) = даЬКаь• Площадь принимает экстремальное значение, если <5Л(Е) 0. При этом, в силу произвольности 6п(х), из соотношения (1.3.7) мы получим условие
Ь(К) = 0. (1.3.8)
Дополнительное требование, чтобы площадь была минимальной, дает еще одно ограничение 52А(Е) > 0. Вычислим 82А(Т)\
52А{Е) = - у у/Щ (ррр ~ и(Ю2) 5п(х) <Ца:) (Рх. (1.3.9)
С учетом Ьт(К) = 0 условие минимальности принимает вид
<52Л(Е) = - у у/Щ (^т^) Щх) 8п{х) (Рх > 0. (1.3.10)
Отсюда, в силу произвольности 6п(х), мы получаем
дгг (К)
дп
Примем следующее определение:
<0. (1.3.11)
Определение 1.3 Условия (1.3.8) и (1.3.11), вместе взятие, будем называть условиями горловины для произвольной статической конфигурации.3
Ограничение £2Л(£) > 0 вместе с требованием экстремальности Ьт(К) = 0 дает нам лишь необходимое условие существования минимума площади. Определение необходимых и достаточных условий требует дополнительного рассмотрения. В частности, таким условием при 1т(/С) = 0 является строгое неравенство <52/1(£) > 0. Следствием этого неравенства является условие
дгг(К)
дп
< 0, (1.3.12)
л Отметим, что в английском языке и этом случае используется термин “flare-out conditions”, введенный Моррисом и Торном в работе [359]. В русской литературе общепринятого перевода этого понятия не существует, поэтому здесь был предложен и будет использоваться в дальнейшем термин “условия горловины”.
которое в этом случае должно выполняться во всех точках двумерной минимальной поверхности (горловины). В случае 52А(Е) = 0 для решения вопроса о минимальности Е необходимо рассматривать вариации площади высших порядков (см. [274]).
§ 1.3.2 Произвольная нестатическая горловина
В предыдущем параграфе мы определили произвольную статическую горловину как двумерную поверхность минимальной площади. Независимость геометрии от времени позволила нам полностью локализовать эту поверхность в одном из трехмерных пространственных сечений постоянного времени и сформулировать для нее условия экстремальности и минимальности. При этом мы использовали вариационный принцип, который для статической горловины основан на выполнении произвольных, не зависящих от времени деформациях двумерной поверхности в оставшихся, ортогональных к поверхности пространственных направлениях. В отличие от этот, в том случае, когда геометрия зависит от времени, мы не имеем основания для тот, чтобы локализовать горловину в каком-либо одном сечении постоянного времени. В этом случае нестатичсская горловина является пространственно-временным объектом, и вариационный принцип теперь должен включать в себя не только деформации в пространственных направлениях, но также и в направлении времени. Последовательное математическое описание нестатической горловины было дано в работах [275, 27б|. Подход, развитый в этих работах, основан на исследовании конгруэнций изотропных геодезических, ортогональных к некоторой замкнутой двумерной пространственной поверхности. Условия горловины при этом определяются как условия, при которых сжатие конгруэнции сменяется ее расширением. Для описания этих условий используется хорошо развитый математический аппарат, основанный на уравнениях девиации геодезических и, в частности, на уравнении Райчаудхури. Ниже мы