*
Оглавление
1 Введение 3
2 Голоморфные расслоения и интегрируемые системы 13
2.1 Введение........................................................... 13
2.2 Пространство модулей голоморфных расслоений в описании Чеха ... 13
2.3 Системы Хитчина.................................................... 16
2.4 Процедура модификации расслоений ...................................20
2.5 Модификации и преобразования Бэклунда...............................21
3 Приложения геометрических методов 23
3.1 Примеры интегрируемых систем .......................................23
3.1.1 Эллиптическая модель Калоцжеро-Мозера........................23
3.1.2 Эллиптическая модель Годена..................................25
3.1.3 Эллиптический 8Ь(7У,С) волчок................................26
3.2 Связь между системами Калоджеро-Мозсра и эллиптическим волчком Эйлера-Арнольда.........................................................28
3.3 Преобразования Бэклунда в модели КМ: 81(2, С) случаи................33
3.3.1 Модификация в б!(2, С) случае............................... 33
3.3.2 О представлении алгебры Ли 81(2, С) дифференциальными операторами ..........................................................35
3.3.3 Проверка каноничности........................................36
3.3.4 Преобразование Бэхлунда......................................36
3.4 Система взаимодействующих волчков...................................37
3.5 Система Русепарса-Шнайдера и ^оператор Хасегапы.....................40
4 Теоретико-полевые обобщения 41
4.1 Системы Хитчина бесконечного ранга..................................41
4.1.1 ЦСЦЛ^С)) голоморфные расслоения..............................41
4.1.2 Калибровочные симметрии и симплектическая редукция...........42
4.1.3 Законы сохранения и уравнения движения.......................45
4.1.4 Гамильтонианы в случае 81(2, С)..............................46
4.2 Полевое обобщение моделей Калоджеро и Годена........................47
4.2.1 £(8ЦЛг,С))-расслоепие над эллиптическими кривыми.............47
4.2.2 /^-оператор..................................................48
4.2.3 Гамильтонианы для 81(2, С) двумерной модели Калоджеро. ... 49
4.2.4 Ь-А пара для двумерной эллиптической в1(2, С) модели КМ ... 50
4.2.5 Соответствие 26 КМ - уравнение Ландау-Лпфшипа................52
1
4.2.6 Предел к уравнению синус-Гордона...............................53
4.2.7 Гамильтонианы для 2(1 эллиптической модели Гопсна............53
5 Уравнение Пенлсве VI и модель К ал од же ро - Иноземцева 56
5.1 Введение ........................................................... 56
5.2 Представление Лакса для модели Калоджеро - Иноземцева................57
5.3 Алгебраическая интегрируемость в 2 х 2 случае .......................59
5.3.1 Эллиптическая модель Годепа и редукция к модели КИП .... 59
5.3.2 Алгебраическая интегрируемость................................ 61
5.4 Эллиптическая форма уравнения Пенлеве VI ............................63
6 О связи формул Вейля и Концевича для квантового умножения 66
6.1 Введение ........................................................... 66
6.2 Представление формулы Концевича в виде диаграмм......................69
6.3 Вычисления во втором порядке........................................ 70
6.4 Вычисления в третьем порядке ....................................... 71
6.5 Значения хоэффипиентов из требования ассоциативности.................75
7 Заключение 77
8 Приложения 78
8.1 А. Необходимые сведения по эллиптическим функциям....................78
8.2 В. Синус-алгебра.....................................................83
8.3 С. Приложение к главе 5............................................. 84
9 Список литературы 86
2
1 Введение
Интегрируемые системы классической механики представляют собой исключительные случаи систем дифференциальных уравнений, для которых существует нужное число независимых интегралов движения. Значительный прогресс в изучении таких систем появился в связи с открытием в конце 60-х годов К.Гарднером, Дж.Грином, М.Крускалом и Р.Миурой метода обратной задачи рассеяния, или метода изоспек-тральной деформации, сформулированного Н.Лаксом. Идея метода очень проста. Пусть уравнения движения некоторой динамической системы удалось записать в виде
dtL = [L, М],
где L и Л/ - пара матриц (пара Лакса). Тогда из этого уравнения следует, что матрица L(t) в процессе эволюции подвергается преобразованию подобия:
i(t) = 9(<)i(0)ff-'(0. М=д,дд-1.
Следовательно, собственные значения L{t) от времени не зависят, и являются интегралами движения.
Однако во многих важных случаях рассмотрение лишь конечномерных алгебр Ли недостаточно. Например, число функционально независимых инвариантов полупро стой алгебры Ли равно ее рангу, так что указанные выше интегралы обеспечивают интегрируемость лишь для тех орбит, размерность которых не превышает удвоенного ранга. Это приводит к естественному обобщению конструкции - рассмотрению уравнений Лакса, содержащих дополнительный параметр z (так называемый спектральный параметр), рассматриваемый как локальная координата на римановой по верхности:
ЗеОД = [ОД,Лф)].
В таком виде уравнения Лакса впервые появились в работах И.Кричевера п С.Но викова [1]. Инварианты tr(L(z)*), как и прежде, являются интегралами движения, но теперь уже зависят от z и, тем самым, являются производящими функциями законов сохранения.
Уравнения Лакса со спектральным параметром оказались исключительно полезными для исследования интегрируемых систем. Выло доказано, что в общем поло жении эти уравнения линеаризуются на многообразии Якоби алгебраической кривой, заданной характеристическим уравнением:
det(L(z) — А) = 0.
Этот результат приводит, в принципе, к явному решению уравнений движения в терминах тета-функпнй Римапа (в этом случае система называется алгебраически
3
интегрируемой). Взгляд на матрицу Лакса, как на мероморфную матричнозначную функцию на римановой поверхности, позволил использовать методы алгебраической геометрии.
Существенное развитие геометрического подхода произошло с появлением работы
ным образом возникают на пространстве модулей голоморфных расслоений над ри-мановыми поверхностями. Равепство количества степеней свободы количеству независимых интегралов в инволюции оказалось в этой конструкции следствием теоремы Римана-Роха. Первые явные примеры систем Хитчина появились в работах А.Горского и Н.Некрасова [3, 4]. В частности, в работе Н.Некрасова была построена эллиптическая модель Годена, расширяющая класс спиновых обобщений модели Калоджеро-Мозера [5] (КМ). Сопоставление каждому интегрируемому случаю некоторой алгебро-геометрической конструкции оказалось удобным и наглядным для классификации. Например, интегрируемые системы с рациональными потенциалами возникают на сфере, а с эллиптическим - на торе.
Параллельно развивался теоретико-групповой подход к изучению интегрируемых систем. Например, в работах М.Ольшанецкого и А.Переломова [6] было показано, что динамика некоторых многочастичных интегрируемых систем может быть получена в результате редукции свободного движения на фазовом пространстве большей размерности.
Объединение алгебро-геометрпческих и теоретико-групповых методов позволило решить ряд важных задач и достигнуть понимания во многих вопросах, некоторые из которых составляют содержание диссертации.
Оказалось, что применение теоретико-группового подхода к описанию систем Хитчина позволяет описывать интегрируемую динамику сразу в терминах представления Лакса со спектральным параметром [7]. Изначально свободная динамика задается на пространстве сечений голоморфного векторного расслоения Е над римановой поверхностью Е* с п отмеченными точками с помощью матричнозначных полей Ф Е ft[^(En, End* Е) и связности А, задающей на Е комплексную структуру. Для этого вводится симплектическая форма
где vj - некоторые (1 - j, 1)-дифференциалы на £п. Тогда динамика по временам tj, соответствующим j-ым гамильтонианам, свободна:
I{.Хитчина [2]. В ней было показано, что вполне интегрируемые системы естествен-
и гамильтонианы
дц Ф = 0.
4
Заданные таким образом симплектическая форма и гамильтонианы инвариантны относительно калибровочных преобразований:
Ф-*/-1*/, А -+ r'&f + f~lAf.
Заметим также, что для преобразованного поля Ф' = /-1Ф/ уравнение движений имеет вид:
Э„Ф' = [Ф',ЛГ,], Mj = f-'dt,!,
то есть записывается в лаксовой форме. Инвариантность симплекпгческой формы позволяет провести гамильтонову редукцию относительно калибровочных преобразований. В результате этой редукции поле Ф становится лаксовой матрицей со спектральным параметром (локальной координатой на £п) и определяется как решение уравнения моментов:
/х(Л,Ф) = ЗФ + [Л,Ф] = 0.
Наличие отмеченных точек фиксирует полюса и вычеты Ф(-г).
В то же время решение уравнения моментов зависит и от некоторых дополнительных данных, например, от степени расслоения Е. По сути, этот топологический инвариант определяет граничные условия для решения уравнения момента. Так, для deg Е — 0 на эллиптической кривой решением будет лаксова матрица модели Калоджеро, а для deg£ = 1 - эллиптического sl(Ar,C) волчка. Вообше, все явные результаты, излагаемые в работе, относятся к эллиптическому случаю. Преобразование, меняющее степень, называется модификацией расслоения Е. На языке лаксо-вых матриц соответствующих систем оно выглядит как сингулярное калибровочное преобразование
L(z) -4 ЭДОД2(*)-\
где под сингулярностью имеется в виду вырожденность E(z) в некоторой точке. Оказывается возможным определить Е(г) явно и, тем самым, установить калибровочную эквивалентность некоторого семейства систем, включаюшую эллиптическую модель Калоджеро и эллиптический волчок [8].
Таким образом, описанная выше конструкция с одной стороны выполняет классификационную роль, с другой - позволяет получать новые интегрируемые модели, такие как, например, системы взаимодействующих волчков. Кроме того, гапкЕ-кратное применение модификации переводит исходную систему в себя, то есть описывает преобразования Бэклунда.
На данный момент далеко не все вполне интегрируемые системы удалось описать как системы Хитчина. Так, например, до сих пор нерешенной остается проблема доказательства алгебраической интегрируемости для бессппновых систем, построенных по полу простым алгебрам Ли. В рамках подхода Хитчина воспроизведены
5
системы только для An серии. Проблема состоит в том, что размерность многообразия Якоби спектральной кривой dct(L(i) - Л) оказывается для указанпых систем больше размерности фазового пространства. Один из естественных способов решения - проведение редукции по некоторым дискретным симметриям из спиновой системы, замораживающей степени свободы, связанные с орбитами коприсоеди-иенного действия. Пример такой процедуры используется для описания системы Калоджеро-Иноземпева [9] с одной степенью свободы, и алгебраическая интегрируемость в этом случае доказана [10]. Важность этой системы заключается еше и в том, что ее уравнения движения представляют из себя автономный аналог знаменитого уравнения Пенлеве VI:
frï = -2^^oP(w + Wa), о=0
где г - модуль эллиптической кривой Е, ша = {0, à t'a - произвольные
константы. Неавтономность означает, что потенциал явно зависит от времени, роль которого играет модуль г. Оказывается, что данное уравнение можно записать в виде:
дгЦг)-д,Щ*) = [Ц*),М(*)]
с теми же L(z) и М(г), что и для автономной системы. Вообще, описанная выше конструкция систем Хитчияа допускает обобщение на уравнения изомондромных дс-формадий. При этом, модификации используются для описания и вычисления дискретных групп симметрий.
Метод обратной задачи рассеяния, разработанный Л.Фаддеевым, В.Захаровым и А.Шабатом [11,12], позволяет получать законы сохранения для уравнений в частных производных в случае, когда они записываются в виде уравнений нулевой кривизны:
OtL(z) - dxM{z) = [L{z\ M(z)\.
Например, использование метода обратной задачи рассеяния позволило А.Белавину и В.Захарову получить инстантонные решения уравнений дуальности для полей Янга-Миллса [13]. Оказывается, существует обобщение систем Хитчина, дающее конструктивный метод построения теоретика палевых обобщений классических интегрируемых систем. Другими словами, в классе систем Хитчина можно указать способ получения L(z)y M(z).
Для многочастичной системы это означает, что импульсы и координаты частиц pu<lj должны рассматриваться как поля:
{p,q} = 1 —► {р(х), q{y)} = 6{х - у).
6
- Київ+380960830922