Черные дыры в струнной теории возмущений

Оглавление
Введение 5
1 Черные дыры с петлевыми поправками в четырехмерной гетеротической > теории с N = 2 суперсимметрией 15
1.1 Введение ............................................................... 15
, * 1.1.1 Структура Лг = 2 суперсимметричной четырехмерной гетеротиче-
ской теории, полученной компактифинацией шестимсриой гетероти-ческой теории с N = 1 суперсиммстрнен............................. 15
1.1.2 Формулировка задачи и результаты ................................. 19
1.2 Универсальный сектор четырехмериого четырехмерного эффективного действия гетеротической теории.................................................. 21
I 1.3 Стандартная форма действия универсального сектора действия N = 2 су-
псрсиммстричиой теории.................................................. 23
1.3.1 Древесное приближение теории...................................... 24
1.4 Вычисление поправок к древесному эффективному действию интегрированием по тороидальным мировым листам струны .................................. 20
«• 1.5 Препотенцнал и действие в одной струнной петле.......................... 29
1.6 Калибровочные "константы"взаимодействия................................. 31
1.6.1 Неоднозначность препотенцнапа и калибровочных констант связи . . 32
' 1.7 Уравнения Максвелла и симнлектические преобразования.................... 33
1.8 Спинорные уравнения Киллннга............................................ 30
1.8.1 Преобразования суперсимметрии в Дг = 2 суперсимметричной теории
и спинорное уравнение Киллннга.................................... 30
1.8.2 Альтернативная форма спинориых уравнений Кнллипга................. 39
1.9 Дионнос решение сшшорных уравнений Киллннга в древесном приближении 40
1.9.1 Решение с постоянными модулями ................................... 42
1.9.2 Решение спинориых уравнений Киллннга в альтернативной форме с
произвольными электрическими и магнитными зарядами................ 42
1.9.3 Киральные нулевые модели ......................................... 44
1.10 Решения спинориых уравнений Киллннга и уравнений Максвелла с одио-иетлевыми струнными поправками............................................... 45
» 1.10.1 Напряженности пазя с петлевыми поправками для двойного решения
с постоянными древесными модулями ................................ 40
2
1.10.2 Решение уравнении Кнллннга для дионных мерных дыр с постоянными древесными модулями.................................................. 48
1.10.3 Сппнорное уравнение Кнллннга для гравитипо и петлевые поправки
к дилатону и метрике ............................................... 50
1.10.4 Решение преобразованной системы уравнений Кнллннга с произвольными древесными модулями.................................................. 51
1.10.5 Случай постоянных древесных модулей ............................... 53
1.11 N = 2 -суперснмметричиые компактификации гетеротической теории с дополнительными векторными полями (вильсоновские линии).................... 53
1.12 Магнитные черные дыры..................................................... 56
1.13 BPS и ADM массы........................................................... 58
1.14 Уравнения для аксионов................................................... 62
1.15 Диоииая черная дыра в окрестности горизонта............................... 63
1.16 Обсуждение результатов.................................................... 65
Черные дыры с петлевыми поправками в теориях замкнутых бозонных струп 68
2.1 Введение .................................................................. 68
2.2 Эффективное действие в струнной теории возмущений замкнутых бозонных струн ................................................................... 71
2.3 Древесные двумерные и трехмерные решения уравнений движения (черная дыра и черная струна) ................................................... 76
2.4 Калибровочные модели WZNW с косетом SL(2, Я) х RN/R........................ 78
2.5 Асимптотика метрики и дилатона трехмерной черной струны.................... 81
2.5.1 Альтернативная параметризация метрики и дилатона................... 83
2.5.2 Асимптотика метрики трехмерной черной струны с петлевыми поправками 84
2.6 Квазилокальиая энергия..................................................... 87
2.6.1 Квазилокальиая энергия двумерной черной дыры....................... 88
2.6.2 Квазилокальиая энергия черной струны............................... 89
2.6.3 Действие в эйнштейновской форме..................................... 91
2.6.4 Термодинамическое соотношение...................................... 92
2.7 Четырехмерная сферичсски-симмстричная черная
дыра...................................................................... 93
2.8 Заключение и обсуждение.................................................... 95
Статистическая энтропия черных дыр в теории струн 98
3.1 Введение .................................................................. 98
3.2 Четырехмериая магнитная черная дыра........................................101
3.2.1 Фактор BTZ в метрике магнитной черной дыры ........................101
3.2.2 Геометрическая и статистическая энтропии пятнмерных и четырех-
мернмх магнитных черных дыр.........................................103
3.3 Компактификацин решений одиннадцатимерпой супергравитации на многообразиях Калаби-Яу н N = 2 суперсимметричпые чеггырех и пятнмериые черные дыры.................................................................105
3.3.1 Неэкстремальные четырехмерные решения...........................105
3.3.2 Пятимерные N = 2 суперсимметричныс черные дыры...................108
k 3.3.3 Статистическая энтропия окопоэкстремальных четырехмерных черных дыр выделением части BTZ 109
" 3.3.4 Статистическая энтропия околоэкстремальиых шестимерпых и пяти-
мериых черных дыр...............................................111
3.4 Заключительные замечания..............................................113
Заключение 115
• Литература 118
•
t
4
«
t
г
4
Введение
В настоящее время теория струн представляет собой наиболее продвинутый подход, в котором унифицируются калибровочные взаимодействия, включая гравитацию. Изучение гравитации в рамках теории суперструн оказалось очень плодотворным. Гравитация входит как одно из полей в эффективное действие, описывающее динамику безмассовых мод струны. Поскольку полная теория струн ультрафиолетово конечна, то снимается одна из сложных проблем в гравитации. К достижениям гравитации в рамках теории струн следует отнести обнаружение широкого класса решений уравнений движения, следующих из эффективного действия теории, имеющих интерпретацию черных дыр, черных струн, мембран и т.н. Важным результатом исследования черных дыр (мембран) в теории струн является вычисление их геометрической и, что особенно существенно, статистической энтропии. В теории струн имеются как заряженные, так и нейтральные решения тина черных дыр; в реалистических моделях суперструн, в решениях, кроме гравитации, присутствуют также другие поля (скалярные, векторные и тензорные).
В теории струн амплитуды рассеяния струйных мод имеет вид суммы вкладов от процессов, представляющихся в виде мировых листах струны различной топологии, к которым присоединены внешние концы, соответствующие рассеивающимся модам |1). Действие струны на мировом листе представляет собой двумерную конформную теорию и имеет следующую структуру
1(х,<р) = /0(х) + 52 у К(х)^,
где /о свободное действие, х-поля, от которых зависит действие струны, V* вершинные операторы размерности 2, соответствующие возбуждению безмассовых мод струны, <рг соответствующие безразмерные "константы взаимодействия". Объекты <рг можно интерпретировать как пространственно-временные ноля, соответствующие безмассовым модам. Производящий функционал корреляторов вершинных функций строится и виде суммы вкладов от интегрирования по мировым листам струны различного рода и символически может быть представлен в форме [2, 3]
£(#>*) - £ / *Рп(т)гп(ч>1) = Л [ йцп(т) [ 2Э[х, Л] е”/<в,*),
л—0 л=(Г Еп
где пт«, -модули, от которых зависит метрика Иаь па мировом листе струны £„.
Поля tpi определяются из условия вейлевской инвариантности производящего функционала вершинных функций, которое имеет вид требования, чтобы ^-функции, через
5
которые выражается вейлевская аномалия производящего функционала, обращались на этих полях в нуль [4]
0*(<Р*) = 0.
Совокупность уравнений = 0 (или их линейных комбинаций) возникает как уравне-
ния движения, следующих из низкоэнергетического эффективного действия £(^), определяющего динамику безмассовых мод струны. Эффективное действие строится из перенормированного производящего функционала корреляторов вершинных функций [4, 5, б, 7, 8, 9].
Настоящая работа направлена на получение решений уравнений движения, следующих из струнного эффективного действия, с учетом струнных петлевых поправок, и на вычисление статистической энтропии ряда черных дыр.
В качестве решений уравнений движения последовательно рассматриваются заряженные черные дыры Всуперсимметричиой гетеротической теории с группой Е$хЕй |1,10,11], компактифицированной к четырем измерениям с N — 2 суперсимметрией, и нейтральные черные дыры и струны в бозонных теориях замкнутых струн различных размерностей.
Первой возникающей задачей является построение эффективного действия теории струн с учетом петлевых поправок. Поскольку вычисление функциональных интегралов для корреляторов вершинных функций в явной форме удается произвести только в топологии сферы и тора, то для получения явных выражений для эффективного действия имеются две возможности: или рассмотреть варианты теории, в которых петлевые поправки выше первой отсутствуют, или ограничиться первой поправкой к древесному приближению теории, считая параметр разложения по струным петлям малым. В настоящей работе первая возможность реализуется в теории суперструн с расширенной супсрсимметрией, второй подход используется в теории замкнутых бозонных струи.
Параметр суперсимметрии N = 1 суперсимметричиой десятнмерпаой гетеротической теории имеет 16 компонент. При компактифнкации к четырех мерному пространству на не твистованном б-торе число ненарушенных суперсимметрий равно четырем, число суперсимметрий равно двум при компактифнкации на многообразии К3 хТ2 с группой голономии 5С/(2) или на орбифолде, получающемся твистованием 4-тора и оставляющем 2-тор не твистованным, и единице при компактифнкации на многообразии Калаби-Яу с группой голономии 5С/(3) или на орбифолде, получающемся твистованием б-тора, не оставляющим ни одну из трех комплексных гиперплоскостей 6-тора не твистованной |1]. От способа компактная! кацни зависит также вид группы внутренних симметрий компактифицированной теории.
В теориях с ненарушенной N = 4 суперсиметрнсй струнные петлевые поправки к части эффективного действия с числом производных не более двух исчезают, в теориях 0^ = 1 супсрсимметрией к членам с двумя производными возникает бесконечный ряд струнных петлевых поправок, в теориях с N = 2 супсрсимметрией к членам с двумя производными может возникнуть только поправка, соответствующая одной струйной петле, т.с. от интегрирования по мировым листам струны, имеющим топологою тора |12, 13].
В работе рассматривается компактификация гетеротической теории с группой Е& х Е$ к четырем измерениям с сохранением N — 2 суперсимметрии. Рассматривается специальный случай компактифнкации, сначала к шестимерной теории с N = 1 суперсимметрией,
которая далее компактифицируется па петвистовашюм двумерном торе к четырем измерениям с N = 2 суперсимметрией [15, 17, 18].
Эффективное действие зависит от геометрии компактификации на двумерном торе через метрику тора Єтп и антисимметричный тензор ВтП, где индексы т,п = 1,2 соответствуют двумерному тору. Поля Єупп и Втп объсдиняютя в комплексные скаляры-модули N = 2 суперсимметричной теории
Т=^гп+іва, и=^с„„ + іач
Кроме того, строится модуль 5 = е^-На, где ф дилатон, и а аксиои, дуальный напряженности антисиметричиого тензора В^.
Для различных компактификации гетеротической теории общим является универсальный сектор, в бозонную часть которого входят гравитация, три модуля и четыре векторных поля Єти и Вгпи. Три векторных поля образуют векторные супермультиплеты с модулями 5, Т, и и одна комбинация векторных полей образует гравифотои, лежащий в гравитационном супсрмультиплете.
Кроме того, в эффективное действие могут также входить вильсоновские линии - векторные супермультиплеты, включающие абелевы поля Лм/ из картановской подгруппы группы Е9 х Е& и модули у/у где I = 1,... ,Р, Р < 16 [20|.
В общем случае N = 2 суперсимметричной компактификации гетеротической теории к четырем измерениям в произвольной точке пространства модулей безмассовыми бозонными полями являются метрика 2Р 4- 4 скаляра, локально параметризующих пространство модулей, и (Р + 3) 1/(1) калибровочных поля Л^а) [19].
Эффективное действие с учетом струнной петлевой поправки к древесному приближению может быть построено или вычислением корреляторов путем функционального интегрирования по мировым листам с топологией тора, или получено из препотепциала теории с N = 2 суперсимметрисй, определяющего динамику теории. В силу симметрии Печчея-Куии препотенциал N = 2 суперсимметричной компактификации гетеротической теории имеет только однопстлсвую поправку [17, 26, 27). Однако в этих двух подходах возникают выражения различной структуры, и отсутствует способ их сравнения. Поэтому в суперсимметричной теории вычислением корреляторов устанавливается общая структура эффективного действия: отсутствие поправок к эйнштейновскому члену и квадрату напряженности антисимметричного тензора (ср. [15, 16]), а также появление поправок к части действия, описывающей динамику полей из векторных супермультиплстов. Точная форма одпопстлсвых поправок к древесному эффективному действию вычисляется с помощью препотепциала.
В суперсиммстричных теориях решения уравнений движения с не полностью нарушенной суперсимметрией можно получить или непосредственным решением уравнений второго порядка, следующих из эффективного действия, или решением "спинорных уравнений Киллинга", представляющих собой условие равенства нулю преобразований суперсимметрии фермиоиных суперпартперов бозонных полей и имеющих первый порядок по производным.
В настоящей работе последовательно используется второй способ, дающий супсрсим-мстричныс решения с не полностью нарушенной суперсимметрией. В случае магнитных черных дыр решения спннорных уравнений Киллинга с учетом петлевой поправки сравниваются с решением уравнений движения второго порядка, следующих из эффективного действия. Показано, что возникает более широкий класс решений, включающий решения спннорных уравнений Киллинга. В качестве древесного приближения решений спннорных уравнений Киллинга рассматриваются диоипые черные дыры и черные дыры с вильсоновскими линиями. Диониыс черные дыры представляют собой решения типа "киральиых нулевых моделей" [21, 22, 23], для которых имеется результат, что в специальной схеме перенормировок все поправки но Ы исчезают и низшее приближение является точным по а' решением уравнений движения [24, 25).
Уравнения дыижеиия как в гетеротнческой теории, так и в бозонной теории, решаются но теории возмущений в первом порядке по константе разложения по струнным петлям с = еФао где Фоо асимптотическое значение днлатона на пространственной бесконечности. Струнная поправка к древесному препотеициалу имеет первый порядок по с [17, 26, 27), поэтому при решении уравнений по теории возмущений в первом порядке по с все выражения, содержащие петлевую поправку к препотеициалу, вычисляется подстановкой в качестве аргументов древесных выражений для модулей.
Экстремальным супсрсимметричным решением спннорных уравнений Киллинга и уравнений Эйнштейна-Максвелла, имеющим наиболее простую форму, на котором прослеживаются основные свойства решений более общего вида, являются статические, сферическн-симметричиые диоипые решения с постоянными вещественными древесными модулями Т и С/, что соответствует диагональной метрике (7тп и Втп = 0. В древесном приближении эго решение в различных подходах рассматривалось в многих работах, например в [28, 29, 30, 23, 39, 40, 41, 42], а также в цитированной в этих работах литературе.
Метрика и дилатон сферическн-симметричного статического решения системы епшюр-ных уравнений Киллнша и уравнений Максвелла с постоянными вещественными древесными модулями Т и £/, точностью до членов порядка О(е) имеют вид [45, 46, 47, 77|
Здесь Р = (Р° = ((Згфз)1/Г2, Р°, Р1 її Фг> Яз магнитные и электрические заряды
диоиа. Н = 2ї^7> где Н{Т,и) однонстлевая поправка к препотеициалу, Т и и древесные модули. Петлевые поправки к метрике не твистоваиного тора Т2 равны
Здесь С\ произвольная постоянная, L2 = с)rReh/U and L3 = duRch/T.
В случае произвольных электрических и магнитных зарядов как древесное решение уравнений Киллинга, так и петлевые поправки к модулям имеют координатную зависимость.
В общем случае, при отличных от нуля зарядах Р и Q, о древесном приближении дилатон конечен по всей области изменения г, и петлевые поправки к метрике и дила-тону также конечны и убывают на пространственной бесконечности как 0{\). Такие же свойства имеют чисто электрические черные дыры [47).
В случае чисто магнитных черных дыр в древесном приближении теории дилатон растет при г —у О как 1/г, и метрика сингулярна при г — 0. В этом случае петлевые поправки к метрике и дилатону также имеют сингулярность в нуле [45, 76, 77). Условие малости поправки по отношению к древесному приближению приводит к ограничению на допустимую область г: г > (PH.
Модули статических дионных черных дыр в древесном приближении вещественны. При учете петлевых поправок, вообще говоря, появляются мнимые добавки к модулям (аксионы) порядка О(б), и решение перестает быть статическим и становится стационарным. При специальном выборе произвольных констант и зарядов аксионы обращаются в нуль, и решение остается стационарным [47].
Поскольку на пространственной бесконечности асимптотика поправок к метрике и модулям древесной черной дыры имеет тот же характер убывания 0(£), что и асимптотика решения в древесном приближении, то можно определить ADM и DPS массы с учетом петлевых поправок, которые сдвигаются относительно древесных значений на величину (PH и равны между' собой [47).
В древесном приближении для широкого класса черных дыр в jV = 2 суперсиммет-ричиой теории имеется результат, согласно которому горизонт черной дыры представляет собой аттрактор, что означает что на горизонте метрика и модули теряют зависимость от произвольных констант, фиксирующих внд теории на бесконечности. Как и в древесном приближении, петлевые поправки к метрике и модулям на горизонте не содержат произвольных констант [18), и на горизонте восстанавливается нарушенная суперсиммстрия.
Уравнения движения N = 2 суперснмметричных теорий обладают инвариантностью относительно группы симплектических преобразований, которая для случая четырех векторных супермультнплетов имеет вид 5P(8,Z). Симплектичсские преобразования связывают различные голоморфные сечения пространства модулей. Хотя все сечения эквивалентны, конкретная форма теории зависит от выбора голоморфного сечения. Физическая интерпретация полей теории имеется в голоморфном сечении, связанном с компактифи-кацией гстсротической теории. Однако в этом голоморфном сечешш отсутствует нрено-тенциал (см., например, (70, 17|), и калибровочные константы взаимодействия векторных компонент супермультнплетов вычисляются с помощью симплектических преобразований из констант взаимодействия, вычисленных в голоморфном сечешш с ирепотеицналом. В древесном приближении теории имеются явные выражения как для препотенциала (в голоморфном сечении, и котором препотенциал существует), так и для калибровочных констант в гетеротическом голоморфном сечешш. Это позволяет построить явную форму симплектического преобразования, связывающего два сечения. В однопетлевом приближении имеются два источника неопределенности формы симплектического преобразования, связывающего два сечения: во-первых, неопределенности, связанные с принципиально неустранимым произволом одиоиетлевого приближения для ирсиотенциала (26, 17, 71), во-вторых возникающие из-за отсутстствия явного замкнутого выражения для калнбро-
вочных констант векторных компонент супермультиплотов модулей в гстеротическом сечении. Показано, что неопределенность в симплектичсском преобразовании сводится к четырем вещественным константам и убирается в произвол препотенциала.
Представляет интерес сравнить вид поправок к супсрсимметрнчным древесным решениям уравнений движения, следующих из струпного эффективного действия в супер-симметричной гстеротической теории, с не суперсиммотрнчными решениями в бозонной теории струн. Во второй главе работы рассматривается вычисление эффсктииого действия теории в однопетлевом приближении теории струп и струнные поправки к решениям уравнений движения типа черных дыр и черных струп.
В бозонной теории перенормированный производящий функционал корреляторов вершинных функций &п(<Рц), дающий эффективное действие теории £’(у?и), СТ1ЮИТСЯ путем обобщения нертурбативиой перепормирусмости производящего функционала Zn(^pl(e),€) в теории возмущений по параметру а' на мировой поверхности фиксированного рода п на псрсиормируемость как по отношению к разложению по параметру а#, так и к разложению по струнным петлям. Поля <р1 представляются в виде разложения но перенормированным полям <рц'
В струнной теории возмущений статсумма Z равна сумме статсумм, вычисленных интегрированием по мировым листам струны различных топологий
Для .построения перенормированного эффективного действия, включающего вклады от высших топологий мирового листа струны, необходимо использовать согласованную регуляризацию ультрафиолетовых и модулярных расходимостей производящего функционала. Такая регуляризация достигается отображением мирового листа замкнутой струны, представляющего собой поверхность с п ручками, на комплексную плоскость с 2п удаленными дисками с попарной идентификацией границ [31, 32, 34). С помощью параметризации Шотгки строится расширенное пространство модулей. На комплексной плоскости С группа Мебиуса действует как группа 51.(2, С). Поверхность с п ручками описывается Зп комплексными модулями. Для каждой пары вырезанных дисков на комплексной плоскости, соответствующих ручке на сфере, б вещественных модулей определяют положение центров дисков, отношение радиусов и твист в отожествлении точек границ дисков. Если мебнусовская симметрия не фиксирована, то в N > З-точечиые амплитуды объем группы 51.(2, С) входит как универсальный расходящийся множитель. При фиксации трех комплексных параметров группы 52,(2, С), число независимых комплексных модулей становится Зп-З. Ультрафиолетовые расходимости, возникающие при сближении точек присоединения внешних линий к мировому листу струны (пунктаций) и стягивании в точку дисков от ручек, на комплексной плоскости рсгуляризуются с помощью одного параметра
10