Построение асимптотической теории гиперзвуковых течений неравновесных сред на основе кинетического уравнения Больцмана

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение 6
1 Асимптотический анализ граничных условий для уравнений физической аэродинамики 43
1.1 Общая постановка асимптотической задачи неравновесного
обтекания тел в кинетической теории многоатомных газов. 43
1.2 Анализ макроскопических граничных условий................... 45
1.3 Граничные условия смешанного типа........................... 47
1.4 О необходимых и достаточных условиях установления локально-максвелловского распределения в слое Кнудссна 50
2 Гиперзвуковой ньютоновский предельный переход при асимптотическом исследовании решений уравнения Больцмана 54
2.1 Обоснование нарушения режима течения сплошной среды
при кинетическом описании тонкого вязкого ударного слоя... 54
2.2 Реология течения разреженного газа в кинетическом режиме тонкого, вязкого, гиперзвукового, ударного слоя.................. 57
2.3 Исследование решений уравнений кинетического вязкого ударного слоя с нелинейными процессами переноса.................. 62
2.3.1 Гиперзвуковос ньютоновское обтекание затупленных
тел.................................................... 62
2.3.2 Гиперзвуковое ньютоновское обтекание тонких тел на примере обтекания полубесконечной пластины с острой передней кромкой......................................... 65
3 Исследование влияния поступательной неравновесности в ударной волне на скорости химических реакций 72
3.1 Модели гиперзвуковой ударной волны: Навье-Стокса, Тамма-Мотт-Смита, «5» - модель Грэда, «пучок - сплошная среда».. 72
3.1.1 Оценка толщины ударной волны в гиперзвуковом течении газа..................................................... 72
3.1.2 Толщина скачка в предельном навье-стоксовском течении газа..................................................... 74
3.1.3 Оценка толщины скачка при бимодальном представлении функции распределения в ударной волне.................... 75
3.1.4 Оценка толщины ударной волны в предельном «5»-ре-шенииГ. Грэда................................................ 78
3.1.5 Структура прямой ударной волны в модели «пучок — сплошная среда».............................................. 80
3.2 Модель «пучок - сплошная среда» с учетом диссоциации двухатомных молекул внутри фронта ударной волны.................. 82
3.3 Модель «пучок - сплошная среда» и се применение к диссо-
2
циации воздуха внутри фронта ударной волны.................. 87
3.3.1 Постановка задачи и система уравнений................. 88
3.3.2 Аналитическое представление поступательно-неравновесных констант химических реакций........................... 89
3.3.3 Алгоритм численного решения задачи.................... 93
3.3.4 Результаты численного эксперимента.................... 94
4 Движение многотемпературной газовой среды с колебательно
- неравновесной конденсированной фазой 99
4.1 Решение задачи о смешении колебательно-возбужденного азота и аэрозоля углекислоты..................................... 99
4.2 Влияние колебательной неравновесности сверхзвукового потока на скорость испарения частиц аэрозоля, их время жизни
и глубину проникновения в поток............................ 101
4.3 Перераспределение энергии в неоднородной среде газ-поверх-ность-твердое тело....................................... 107
4.3.1 О физических механизмах, создающих многотемпературную поверхность аэрозоля............................... 107
4.3.2 Передача колебательной энергии от аэрозоля газу при отсутствии фазового перехода на его поверхности 111
4.3.3 Передача колебательной энергии от аэрозоля газу с учетом фазового перехода на его поверхности................. 118
4.3.4 Расчет коэффициента аккомодации колебательной энергии молекул газа при резонансном обмене квантами с частицами молекулярного кристалла.................... 122
5 Исследование вероятностей гетерогенной каталитической рекомбинации и ее влияния на максимальный нагрев космических аппаратов 126
5.1 Моделирование неравновесных тепловых потоков к поверхности с каталитической активностью.............................. 126
5.1.1 Уравнение неравновесного теплового баланса в квази-бинарной смеси газов........................................ 126
5.1.2 Аналитическая зависимость коэффициентов гетерогенной каталитической рекомбинации от давления и температуры по теории Ленгмюра................................. 127
5.1.3 Моделирование суммарной величины натурного теплового потока qw.............................................. 130
5.1.4 Моделирование с учетом минимума ошибки химической составляющей теплового потока ....................... 132
5.1.5 О минимуме относительной ошибки при определении вероятности гетерогенной каталитической рекомбинации....................................................... 135
3
5.116 Эффект преобладания газофазной рекомбинации атомов азота над поверхностной и проблема моделирования тепловых потоков..................................... 137
5.2 Перекрестные процессы гетерогенной каталитической рекомбинации и их влияние на удельные тепловые потоки............... 139
5.2.1 Скорость образования молекул окиси азота на каталитической поверхности по теории Ленгмюра.................... 139
5.2.2 Структурная зависимость коэффициентов каталитической рекомбинации атомов кислорода на кварцевой поверхности с активными центрами............................. 146
5.2.3 Структурная зависимость коэффициентов каталитической рекомбинации атомов азота на кварцевой поверхности с активными центрами................................. 150
5.3 Влияние процессов каталитической рекомбинации на максимальные значения тепловых потоков при планирующем спуске космических аппаратов....................................... 155
6 Асимптотическая ньютоновская теория неравновесных обтеканий тонких крыльев 163
0.1 Об изменении ньютоновского давления в главном приближении при аэродинамическом воздействии на гилерзвуковой поток релаксирующего газа............................ 163
6.1.1 Неравновесное обтекание двойного клина............. 164
6.1.2 Обтекание выпуклого угла предельным гиперзвуковым потоком релаксирующего газа................................ 168
6.1.3 Линейная теория предельного гиперзвукового обтекания выпуклого угла неоднородным релаксирующил: потоком газа............................................... 172
6.2 Определение поправки к ньютоновскому давлению в потоке
релаксирующего газа...................................... 176
6.2.1 О нестационарном пространственном обтекании тонкого крыла гиперзвуковым потоком релаксирующего газа....................................................... 176
6.2.2 Предельное пространственное обтекание тонкого крыла
с отошедшим скачком потоком релаксирующего газа .. 178
6.2.3 О применении правила полос к расчету аэродинамических характеристик в неравновесном гиперзвуковом потоке..................................................... 185
6.2.3.1 Распределение давления на клине и конусе в
г иперзвуковом неравновесном потоке газа 186
6.2.3.2 Аэродинамические характеристики тонких крыльев в неравновесном гиперзвуковом потоке газа............................................ 194
4
6.2.3.3 Положение центра давления на треугольном крыле в гиперзвуковом неравновесном потоке газа................................................ 199
7 Асимптотическая теория неравновесных рециркуляционных
течений с замкнутыми линиями тока 203.
7.1 Структура неравновесных рециркуляционных течений......... 203
7.1.1 Асимптотическое состояние неравновесного рециркуляционного потока при Re —> оо, G* —* 0.................. 204
7.1.2 Закон подобия для неравновесной концентрации электронов в донной области тел.............................. 206
7.1.3 Асимптотическое представление коэффициентов дифференциальных уравнений.................................. 207
7.1.4 Предельное состояние потока при Re —► оо, G(kp) = const.. 208
7.1.5 Основные режимы неравновесных возвратных течений. 209
7.2 Исследование модели неравновесного объемного трения в рециркуляционной зоне........................................ 210
7.3 Аналог теоремы Прандтля - Бэтчелора для неравновесных течений с замкнутыми линиями тока............................ 214
7.3.1 Вывод уравнения для функции тока ^ рециркуляционного течения с малой величиной завихренности со. 215
7.3.2 Обобщение теоремы Прандтля-Бэтчелора для неравновесных рециркуляционных течений с малыми значениями релаксационных параметров ~ Re*1................... 217
7.3.3 Условия для концентраций компонент химически реагирующей смеси а&(ц/) и решение для конвективной скорости рециркуляционного потока vj( у/, т)............. 219
8 Исследование проблем гиперзвукового двигателя с детонацией
в наклонных скачках 221
8.1 Сверхзвуковой разгон тел при заданной скорости продуктов сгорания..................................................... 222
8.2 Сверхзвуковой разгон с учетом волновых и диссипативных потерь....................................................... 225
Заключение 229
Список литературы 231
5
ВВЕДЕНИЕ
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
В настоящее время асимптотические методы в теории движения неравновесных сред являются едва ли не самым надежным средством в понимании как механизмов различных физико-химических процессов на молекулярном уровне, так и определении влияния этих процессов на движение газа в целом (макроуровне).
В связи с этим уместно отметить, что основополагающее уравнение движения поступательно-неравновесной среды - уравнение Больцмана -получено именно асимптотическими методами из фундаментального теоретического базиса механики — уравнения Лиувилля.
В настоящей диссертационной работе приведены результаты применения асимптотических подходов как к выводу замкнутых систем уравнений для макроскопических параметров движения газа из уравнения Больцмана (или эквивалентной ему бесконечной системы уравнений моментов), так и к их последующему анализу и решению, получению критериев подобия, разработке эффективных аналитических и полуаналитических методик решения задач неравновесного гиперзвукового обтекания тел, исследованию некоторых граничных задач кинетической теории газов и физической газовой динамики.
В работе дано продвижение асимптотического ньютоновского подхода с традиционного Эйлеровского или Навье-Стоксовского уровня решения задач гиперзвукового обтекания тел на структурно более сложный - кинетический уровень и получение благодаря этому фундаментальной замкнутой системы уравнений движения, позволяющей в рамках сплошносредового подхода учесть влияние эффектов разреженности. При этом выявлены решения гиперзвукового обтекания тел, когда эффекты разреженности проявляют себя не только традиционно: в граничных условиях скольжения и температурного скачка, но и в нелинейных по 1радиенту скорости (компоненту вихря) законах трения и теплопередачи (аналогично турбулентным законам сопротивления).
В работе рассмотрены также движения разреженной среды с различными типами неравновесности: поступательной, колебательной, химической и выявлены механизмы их взаимодействия с газодинамическими процессами.
Актуальность темы.
В диссертационной работе большое внимание уделено различным прикладным задачам физической газовой динамики, связанным с решением ряда проблем современной авиационно-космической техники и
6
химической технологии: созданием газодинамических устройств
непрерывного действия (т.е. лазеров, гиперзвуковых прямоточных воздушно-реактивных двигателей (ГГ1ВРД), прямоточных сверхзвуковых ускорителей тел, высокоэнтальпийных аэродинамических труб), прохождением радиоволн через плазменные образования, гетерогенным катализом.
Дели работы:
■ Вывод методами кинетической теории газов замкнутой системы граничных условий для уравнений физической аэродинамики и доказательство соответствующей теоремы единственности.
■ Построение асимптотической теории гиперзвуковых течений вязкого газа на основе кинетического уравнения Больцмана.
■ Исследование влияния эффектов поступательной неравновесности на термодинамические и термохимические параметры высокоэнтальпийного потока воздуха во фронте сильной ударной волны.
■ Анализ механизмов «накачки» внутренних степеней свободы газа многотемпературными частицами аэрозоля в адсорбционном газодинамическом лазере.
■ Формулировка принципов и эффективных методик моделирования неравновесного теплообмена при гиперзвуковом обтекании тел с каталитически активной поверхностью.
■ Исследование структур коэффициентов гетерогенной каталитической рекомбинации с учетом динамики активных поверхностных центров.
■ Разработка эффективных численно-аналитических методик расчета аэродинамических характеристик тонких крыльев, обтекаемых потоком релаксирующего газа.
■ Исследование структуры неравновесных рециркуляционных течений в областях с замкнутыми линиями тока и процессов горения в них.
■ Исследование влияния потерь на аэродинамическое сопротивление и теплопередачу при разгоне тел в сверхзвуковом прямоточном ускорителе.
Научная новпзпа работы:
1. Для уравнений физической аэродинамики установлен универсальный «смешанный» тип граничных условий на поверхностях с различными физико-химическими процессами,
7
моделируемых обобщенным законом зеркально-диффузного взаимодействия. Доказана соответствующая теорема единственности решения уравнения Больцмана в слое Кнудсена в полном диапазоне изменения коэффициентов аккомодации. Ранее эта теорема была известна лишь для случая газа, практически полностью аккомодированного к условиям поверхности.
2. На основе асимптотического анализа уравнения Больцмана определены пределы применимости континуальной ньютоновской теории вязких ударных или пограничных слоев. Найдены законы трения и теплопередачи, нелинейные но величине вихря скорости в таких слоях и исследовано их влияние на параметры течения вблизи некоторых тел.
3. Известная модель «пучок — сплошная среда» модифицирована на случай течения многоатомного газа с физико-химическими реакциями. Простота «пучковой» модели позволила распространить методику вычисления констант поступательно-неравновесных реакций, практически, на любую сложную систему реакций, используемых в различных приложениях.
4. При исследовании адсорбционного газодинамического лазера, принцип действия которого был разработан в работах А.М. Прохорова и В.К. Конюхова, установлено влияние теплообмена по внутренним степеням свободы на скорость испарения аэрозоля, а также оценено время испарения и глубина проникновения частиц аэрозоля в поток газа. При некоторых упрощающих предположениях дано аналитическое решение задачи в целом. В модельной постановке (одномерный потенциал) решена задача о расчете коэффициента аккомодации колебательной энергии при резонансном обмене квантами в поле адсорбционных сил.
5. Приведена методика моделирования неравновесного теплового потока к поверхностям с каталитической активностью, которая была одна из первых в период начала разработки теплозащитных покрытий воздушно-космических самолетов многоразового действия (80-е годы).
6. Исследован эффект «перекрестной» поверхностной рекомбинации, приводящий к существенному отличию коэффициентов гетерогенной рекомбинации в воздухе, от соответствующих коэффициентов в отдельных парциальных газах (азот, кислород).
7. Разработана модель гетерогенной каталитической рекомбинации, учитывающая динамику поверхностных активных центров.
8
8. Выделены параметры подобия и соответствующие универсальные зависимости, определяющие максимальные значения тепловых потоков на теплонапряженном участке траектории планирующего спуска ЛА.
9. На основе асимптотической ньютоновской теории тонкого ударного слоя сформулирован метод расщепления задачи неравновесного обтекания тонкого крыла на две последовательно рассматриваемые части. При этом газодинамическая часть задачи представляется в аналитическом виде, а кинетическая - сводится к расчетам изменения плотности в релаксирующем одномерном течении за ударной волной.
10. Дана асимптотическая классификация неравновесных рециркуляционных течений с замкнутыми линиями тока, когда характерное значение числа Рейнольдса Яе —>■ оо. Для рециркуляционных течений низкотемпературной плазмы установлено существование характерных неравновесных уровней концентрации электронов. Для возвратных течений с выделением энергии (горением) показано существование узких по толщине областей с большими градиентами температуры и концентраций, расположенных вблизи внешней границы рециркуляционной зоны.
Научная и практическая значимость работы
Научная значимость работы заключается в разработке достаточно простых асимптотических моделей движения неравновесных сред, полученных из фундаментальных принципов кинетической теории газов.
Строгость исходной теоретической базы обуславливает научную состоятельность разработанных моделей, а их относительная газодинамическая простота позволяет усложнять их при необходимости практически неограниченным набором различных физико-химических процессов. При этом усложненная математическая модель остается все еще доступной для обозримого аналитического или (достаточно экономного по затратам машинного времени) численного исследования.
Практическая важность этого подхода обусловлена его непосредственным применением к решению ряда актуальных проблем гиперзвуковых неравновесных течений, связанных с разработкой перспективных воздушно-космических аппаратов и газодинамических устройств непрерывного действия, таких как адсорбционные лазеры и гиперзвуковые воздушно-реактивные двигатели, а также проблем неравновесного гетерогенного катализа.
9
і
На защиту выносятся следующие результаты
- Теорема единственности решения £ уравнения Больцмана в слое Кнудсена, совпадающего в главном приближении ^ по числу Кнудсена К
—» 0 (или -> 0 в пограничном слое) с термодинамически и механически сильно неравновесной локально-максвелловской функцией распределения молекул ^0)(и,Т). Существенно отметить, что в отличие от обычных, асимптотически малых условий скольжения
Аи
А и
00
-/к-» о
и температурного скачка АТ
т
.и»
справедливых в области значений соответствующих коэффициентов аккомодации порядка единицы, в области малых значений этих коэффициентов {~4к\ макропараметры газа вблизи стенки и и Т могут отличаться от параметров самой стенки и = О, Т =Т\У на свою характерную величину.
- Продвижение асимптотического ньютоновского подхода к решению задач вязкого гиперзвукового обтекания тел с континуального на структурно более сложный кинетический уровень. Определение условий, при которых вязкие ударные или пограничные слои становятся кинетическими, т.е. требующими учета эффектов разреженности в виде нелинейных по компоненте вихря законов трения и теплопередачи. Исследование нелинейных явлений переноса при решении задач гиперзвукового обтекания затупленных и тонких тел.
- Модификация асимптотической гиперзвуковой “ 8” — модели ударной волны Трэда в ее простейшем варианте - «пучок - сплошная среда» на случай течения разреженного газа с физико-химическими процессами. Определение на основе этой модели констант поступательно-неравновесных химических реакций нсаррениусовского типа.
- Постановка и принципиальное решение задачи, связанной с возможностью передачи колебательной энергии в газ от конденсированной фазы с одновременным учетом наиболее существенных физических механизмов, происходящих в газе, на поверхности и внутри частиц. Определение условий, необходимых для осуществления эффективного смешения аэрозольных частиц углекислоты с потоком колебательновозбужденного азота, а также времен жизни частиц и глубины проникновения их в газовую фазу.
- Принципы моделирования неравновесного теплообмена при обтекании поверхностей с каталитической активностью.
- Эффекты гетерогенного и гомогенного взаимодействия компонентов диссоциированной смеси газов при обтекании ими каталитически активных поверхностей.
10
- Модель гетерогенной каталитической рекомбинации,
учитывающей динамику активных центров поверхности.
- Параметры подобия и соответствующие универсальные
зависимости, * определяющие максимальные згтчения неравновесных тепловых потоков при движении их в атмосфере Земли по траекториям планирующего спуска.
- Асимптотическая методика расчета распределения давления и аэродинамических характеристик клина, конуса и тонких крыльев, обтекаемых колебательно и химически неравновесными потоками воздуха.
- Аналитическое исследование задач обтекания двойного клина и выпуклого угла гиперзвуковыми потоками релаксирующего газа.
- Классификация, структура и параметры подобия неравновесных рециркуляционных течений.
Апробация работы
Результаты диссертационной работы доложены и обсуждены на:
- Международной научно-технической конференции «Фундаментальные проблемы высокоскоростных течений» (г. Жуковский, 2004 г).
- Международной научной конференции по механике «Четвертые Поляховские чтения» (СГ16-ГУ, 2006 г).
- Всероссийском семинаре «Физико-химическая кинетика в газовой динамике» под руководством профессора С.А. Лосева и профессора А.И. Осипова (НИИМех МГУ, 2006 г)
- XXV Международном симпозиуме по динамике разреженных газов (Репино, 2006 г.).
Публикации
По теме диссертации автором лично и в соавторстве опубликовано свыше 36 печатных работ, в том числе 18 статей в журналах, рекомендованных ВАК.
Структура н объем диссертации
Диссертация состоит из введения, 8 глав, содержащих 51 фигуру и 6 таблиц, заключения и списка литературы, состоящего из 264 наименований. Полный объем 252 страницы.
И
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Хорошо известно, какое стройное теоретическое здание представляет собой классическая теоретическая газовая динамика, с обширным выбором разнообразных точных и приближенных аналитических подходов. В противоположность этому «арсенал» аналитических решений современной физической газовой динамики значительно менее полон. Связано это в первую очередь со сложностью феноменологических и кинетических моделей движущихся сред и рассматриваемых в них неравновесных явлений. Поэтому здесь каждое новое аналитическое решение даже относительно простых газодинамических задач обтекания, но со сложной физической структурой среды может рассматриваться как несомненное достижение.
К настоящему времени, как оказалось, наиболее плодотворным в аналитическом исследовании неравновесных сред стало применение разнообразных асимптотических подходов, связанных с изучением предельной структуры течений сложных сред, когда величины определяющих безразмерных параметров (числа Кнудсена, Маха, Рейнольдса, Дамкёлера, степень сжатия в ударной волне р„р~1, степень энергоемкости и т.д.) стремятся к своим экстремальным значениям.
Выделение асимптотических пределов оказалось особенно плодотворным в задачах кинетической теории газов, связанных с выводом уравнения Больцмана из фундаментальных принципов статистической механики и методами его решения [1-31], в исследованиях взаимодействия газов с поверхностью тел [32-34], в теории гиперзвуковых [35-39] и отрывных течений [40-41].
Несмотря на аналитический, в основном, характер данной работы, ввиду широкого круга задач, рассмотренных в ней, следует отметить также (не претендуя на полноту) ряд принципиальных результатов, полученных численно [42-52].
Ниже в диссертационной работе рассмотрен ряд моделей неравновесных сред, имеющих разнообразное физическое содержание, но допускающих аналитическое исследование в рамках, по-существу, единого асимптотического подхода.
В первой главе на основе асимптотического анализа уравнения Больцмана при малых значениях числа Кнудсена К (К « 1, К = Н/1, где /-средняя длина свободного пробега, Ь — характерный линейный масштаб течения), данного в работах В.Н. Жигулева, В.М. Кузнецова, Б.В. Егорова и автора [3,8,53-62], рассмотрена общая проблема получения замкнутого гидродинамического описания движения разреженного газа с соответствующими граничными условиями. Сущность этого метода состоит в том, что предполагается зависимость функции распределения от
12
нескольких характерных масштабов, различающихся между собой по порядку величины. Это могут быть «быстрые» и «медленные» масштабы времени, длины (например, невязкая «эйлеровская» область течения, вязкие пограничные «прандтлевские» или «ченговские» слои, ударная волна, пристеночный слой Кнудссна и т.д.). Роль «быстрых» или «медленных» масштабов могут играть также различные по порядку величины характерные скорости молекул газа или сечения элементарных процессов и т.д. Далее, в соответствии с характерными масштабами, как показано в разделе 1.1., записывается обобщенное уравнение Больцмана, которое содержит больше переменных, чем исходное. Однако, из любого решения этого более общего уравнения можно получить решение исходного, если учесть тот факт, что между «быстрыми» и «медленными» переменными имеются связи. Обычно это та или иная степень числа Кнудсена К, предполагаемого малым. Решения для функции £ ищется в виде ряда по различным степеням числа К. Одним из преимуществ применяемого метода является возможность явным образом определить форму вхождения малого параметра в кинетическое уравнение и построить соответствующее асимптотическое разложение. В качестве основной модели среды рассматривается многоатомный газ с поступательными степенями свободы, описываемыми классически, и вращательноколебательными степенями, описываемыми квантово-механически.
За исключением газовых сред, рассмотренных в главах 2 и 3, исследуется наиболее часто встречающийся на практике случай, когда поступательно-вращательные степени свободы релаксируют значительно быстрее колебательных (в главах 2 и 3 это не всегда так).
Вся последующая структура данной работы такова, что в ее главах исследуются по отдельности типы течений из характерных областей, рассмотренных в разделе 1.1.:
Глава 1 - кнудсеновский слой (область «С»);
Глава 2 - гиперзвуковой вязкий ударный или пограничный слой, (область «В»);
Глава 3 - структура сильной ударной волны (область «П»);
Глава 4 - течение лазерной дисперсной среды, где движение газового компонента рассмотрено в невязком эйлеровском приближении (область «А»), а его взаимодействия с аэрозолем в вязком навье-сгоксовском (область «В»);
Разделы 4.3.4. и 5.1.-5.2. — анализ структур коэффициентов аккомодации колебательной энергии и каталитической гетерогенной рекомбинации, входящих в макроскопические граничные условия на дне
области «С»;
13
Раздел 5.3. - гиперзвуковое химически неравновесное обтекание критической точки носка ЛА (область «В»);
Глава 6 - гиперзвуковые невязкие ньтоновскис ударные слои (область «С»);
Глава 7 - неравновесные течения с замкнутыми линиями тока и процессами диссипации из области «В»;
Глава 8 — сверхзвуковое одномерное течение с выделением энергии и процессами диссипации из области «В».
С феноменологической точки зрения проблема постановки фаничных условий на дне области «С» заключается в получении необходимых дополнительных соотношений, замыкающих интефальные законы сохранения потоков массы, импульса, энергии и т.д., записанных для поверхностей разрыва характеристик сред [63,64]. Конкретный вид этих дополнительных соотношений зависит от физической природы и молекулярной структуры поверхности разрывов, исследование которых для диссипативных сред уже невозможно в рамках феноменологических теорий и требует более детального молекулярно-кинетического анализа. В кинетической теории газов поверхностями разрывов соответствуют пристеночные кнудсеновские слои (область «С»), исследование которых было начато еще Максвеллом [65]. В этой основопола^ющей работе он сформулировал два основных положения, которые сохранили свое принципиальное значение и по настоящее время. Суть их состоит в том, что для определения макроскопических фаничных условий необходимо:
а) построить физическую модель поверхности, рассеивающей молекулы газа;
б) определить функцию распределения молекул в пристеночном слое.
Первое положение является наиболее сложным. В настоящее время оно трансформировалось в отдельную научную дисциплину -взаимодействие молекул газа с поверхностью [32-34].
В данной работе первое положение Максвелла нашло отражение, как уже отмечалось, в разделах 4.3.4. и 5.1-5.2. Второе положение рассмотрено в разделах 1.2. - 7.5., где для получения макроскопических фаничных условий, задаваемых на поверхностях с произвольной аккомодацией импульса и энергии, исследованы условия сохранения потоков массы, импульса и энергии по толщине слоя Кнудсена. При этом, как показано в разделе 1.2., объемным влиянием слоя Кнудсена на искомую функцию распределения молекул вблизи стенки в главном приближении можно пренебречь. Учет этого влияния необходим в
14
следующих приближениях по малому параметру л[к при получении более точных граничных условий.
Вследствие этого, а также благодаря тому, что зеркально-диффузную схему Максвелла можно распространить в обобщенном смысле на ряд других физических взаимодействий: адсорбцию, десорбцию, испарение, конденсацию, колебательный энергообмен, каталитическую рекомбинацию и т.д. [59], макроскопические граничные условия в главном приближении приобретают математически универсальный, т.н. смешанный тип
(и
ду
где у - нормаль к поверхности, g и V - соответственно вектор-столбцы безразмерных и размерных характеристик газа: средне-массовой скорости, поступательной температуры, энергии колебательных степеней свободы, концентраций и т.п.
Например, при тепловой аккомодации, характеризуемой коэффициентом а, для газа, имеющего температуру Т вблизи поверхности с температурой ТЛ9, будет: у = Т — Тт а /л[К .
Отметим, что при g ~ 1 граничные условия (1) будут сильно отличаться от термодинамически и механически равновесных условий прилипания, т.е. на дне области «С» газ будет находиться в неравновесном состоянии, сильно отличающемся от состояния термодинамически равновесного со стенкой.
В этом состоит главное отличие теоремы единственности, доказанной в разделе 1.5., от установленных ранее теорем [28,66]. Заметим также, что теорема единственности, доказанная в работе [67] для газа в термостате, покоящегося относительно его стенок, не имеет отношения к состоянию газа на дне области «С». Различие будет особенно заметным
при ga = 1, где = -2=, К —» 0, а - коэффициент аккомодации
VК
тангенциального импульса. В этом случае скорость скольжения газа на дне области «С» сравнима по величине со скоростью на внешней границе пограничного слоя (область «В»).
С асимптотической точки зрения результаты работ [28,66] соответствуют частному виду предельного перехода: а —> 0, а —> О,
(сг / л/^) — £0 »1, ^al^fк) = ga»\. В общем случае, когда g0. и ga могут быть величинами порядка единицы, теорема единственности приобретает формулировку, данную в разделе 1.5.:
15
Единственным решением уравнения Больцмана в слое Кнудсена на непроницаемой в главном приближении (при К « 1) зеркальнодиффузной поверхности является локально-максвелловская функция распределения f\v) с макроскопическими параметрами v, удовлетворяющими граничным условиям (1).
Следует отметить, что в общем случае при совершении двойного предельного перехода по числу Кнудсена К —> 0 и соответствующему малому параметру (аналогу а или а) в обобщенном зеркально-диффузном взаимодействии единственность 1раничных условий (1) будет определяться единственным выбором критерия g в однопараметрической зависимости v = v (g).
Во второй главе на основе асимптотического анализа уравнения Больцмана для газа с внутренними степенями свободы исследовал вопрос о границах применимости феноменологического описания гиперзвуковых течений вязкого газа. Найдена асимптотическая форма макроскопических уравнений гиперзвукового движения разреженного газа при совершении ньютоновского предельного перехода
Mqq —» со, Re v ->оо, s -> 0, еМ^ ~ 1 (2)
в бесконечной цепочке кинетических моментов функции распределения по скоростям молекул (здесь Мод - число Маха в набегающем потоке, Res, е -соответственно число Рейнольдса и степень сжатия во фронте ударной волны).
Видно, что в силу предельного перехода (2) появляется еще один малый параметр е, помимо числа Кнудсена К, которое непосредственно связано с числом Рейнольдса Res'
р V L
г,„ 00 00 00
здесь р* — коэффициент динамической вязкости при температуре за фронтом скачка Т5.
Малый параметр е пропорционален обратной величине числа возбужденных степеней свободы молекул I » 1 (поступательных, вращательных, колебательных и т.д.).
Наличие второго малого параметра £ позволяет провести асимптотический анализ уравнения Больцмана даже в тех случаях, когда его левая и правая части имеют одинаковый порядок величины, что, по
16
принятой в кинетической теории газов терминологии, соответствует не континуальному, а т.н. переходному режиму течения разреженного газа.
Асимптотические оценки, проведенные в разделе 2.1., привели к следующему заключению, устанавливающему границы применимости асимптотической континуальной теории вязких гиперзвуковых течений:
Гиперзвуковые вязкие ударные или пограничные слои, в которых число Кнудсена К$ , определенное по толщине этих слоев (при Ь — 6) и приблизительно равное величине, обратной числу Маха, определенному при температуре за ударной волной Т5 (или при температуре То в пограничном слое) являются не континуальными, а
кинетическими, причем К6 ~ М'5Х ~.
Таким образом, в ньютоновской кинетической теории нарушение континуального режима вязких гиперзвуковых течений происходит не при числе Кнудсена К ~ 1, а несколько ранее, поскольку е « 1.
С асимптотической точки зрения предельный переход но двум малым параметрам К& —» 0 ие-> 0 будет приводить, как в главе 1, когда (о —» О, К —> 0) или (а —> 0, К —> 0), к разным предельным состояниям вязкого гиперзвукового потока в зависимости от соотношения малых параметров Кие:
К с
1) (Кз —* 0, £ —* 0 и —т=«1) - континуальный тонкий вязкий
л/£
ударный слой [39];
2) (Кз —> 0, 8 —► 0 и -рг~1) - кинетический тонкий вязкий
л/е
ударный (или пограничный) слой с нелинейными явлениями переноса [68].
Наличие второго малого параметра 8 при совершении ньютоновского предельного перехода позволяет расщепить конвективный оператор на главную и поправочную части. При этом для главной части конвективного оператора будет отсутствовать зацепление уравнений моментов п-го порядка с уравнением (п+1)-го порядка. Это позволяет произвести строгий асимптотический обрыв бесконечной системы уравнений моментов и получить замкнутые выражения для вектора потока тепла тензора напряжения, нелинейных по компоненте градиента скорости, нормальной к обтекаемой поверхности [68-72].
17
Заметим, что в отличие от уравнений Барнетта, супер-Барнетта и т.д. система итоговых макроскопических уравнений моментов имеет тот же порядок, что и уравнения Навье-Стокса (Прандтля), а также то же число граничных условий. Система уравнений является замкнутой, однако замыкающие реологические соотношения имеют нелинейную структуру по компоненте градиента скорости.
Численная верификация полученной замкнутой системы уравнений была проведена в работах [73-75] при исследовании гиперзвуковых течений многоатомного газа в вязких ударных слоях на поверхности нетонких затупленных тел. В дальнейшем в работах [76-77] аналогичный подход был развит для анализа гиперзвукового обтекания тонких тел, а также для течений газа в гиперзвуковых пограничных слоях. В случае бесструктурного газа (при равной нулю теплоемкости внутренних степеней свободы) уравнения с нелинейными эффектами, рассмотренные в главе 2, переходят в уравнения, полученные на основе приближения 13-ти моментов Трэда [78-80].
Численные исследования нелинейных уравнений переноса (раздел
2.3.) были проведены при решении следующих задач:
1. гиперзвукового обтекания параболоида вращения фреоном - 14 (СЕД имеющим 12 внутренних степеней свободы, при Me,. = 12, Re*= 145;
2. гиперзвукового обтекания сферического затупления молекулярным азотом при Мг,, = 26, Re<*>= 65;
3. гиперзвукового обтекания скользящего цилиндра % = 750 (х - угол скольжения), М*> = 20, Res = 10;
4. гиперзвукового обтекания пластины с острой передней кромкой потоком вращательно-возбужденного азота при M«, = 23.
Эти исследования показали лучшее совпадение найденных характеристик течения (в частности, давления) с расчетами по методу Монте-Карло, чем расчеты упрощенных уравнений Навье - Стокса, т.н. уравнений вязкого ударного слоя.
В третьей главе исследовано влияние поступательной неравновесности на величину констант химических реакций в сильной ударной волне (Мда » 1, - число Маха перед ударной волной).
Найдены аналитические неаррсниусовскис представления широкого класса констант таких реакций. Ранее аналогичные представления для отдельных типов реакций были получены В.В. Великодным [81].
Показано, что в рамках асимптотической гиперзвуковой “д” -модели ударной волны Грэда [82], в ее простейшем варианте - «пучок -сплошная среда», дополненной учетом химических реакций [72],
18
поступательно неравновесные константы могут быть получены для любых бинарных реакций, аррениусовский вид которых известен. Проанализировано влияние ряда определяющих факторов, прежде всего, таких как энергетический барьер химической реакции и скорость газодинамического потока, на неаррениусовский характер химических реакций внутри ударной волны. Установлено, что в сильной ударной волне малое аррениусовское среднее сечение неупругих сверхстолкновений, инициирующих протекание барьерной химической реакции, может быть существенно повышено эффективным снижением порога реакции в высокоскоростном газодинамическом потоке.
Теоретические и экспериментальные исследования, проведенные в работах [81,84-87], показали, что течение в ударной волне является неравновесным но поступательным степеням свободы. Следствием поступательной неравновесности является значительное увеличение скоростей химических реакций и других релаксационных процессов за счет роста эффективности неупругих столкновений в ударных волнах.
Рассматриваемый эффект может влиять на термофизические параметры гиперзвукового обтекания тел газом низкой плотности на режимах, когда толщина ударной волны соизмерима с величиной ее отхода от поверхности обтекаемого тела. Строго говоря, в этом случае необходимо использовать прямое численное моделирование течения на основе метода Монте-Карло. Однако, применительно к задачам гиперзвукового обтекания с учетом сложных и многообразных неравновесных процессов (химические реакции, ионизация, излучение, формирование и распад кластеров и т.д.) в вязком ударном слое использование метода прямого численного моделирования требует очень больших ресурсов памяти и быстродействия современных компьютеров [88]. Поэтому возникла необходимость разработки приближенной, но более экономичной модели расчета таких течений.
В работах [83,89-90] была разработана простая физическая модель -«пучок - сплошная среда», эффективно учитывающая повышенную концентрацию высокоэнергетических молекул в. ударной волне путем введения моноскоростной среды - «пучка», взаимодействующего посредством столкновений с хаотически движущимися молекулами, имеющими распределение Максвелла-Больцмана с поправкой Энскога на диссипативные процессы. В процессах упругих столкновений молекулы «пучка» необратимо переходят в молекулы «хаоса», поэтому концентрация молекул «пучка» уменьшается от значения в набегающем потоке до нуля. Концентрация же молекул «хаоса» возрастает от нуля в набегающем потоке до максимального значения на задней стороне фронта скачка.
19
Следует отмстить, что модель «пучок - сплошная среда», по существу, является упрощенным вариантом модели Тамма - Мотт-Смита [91-92], а с асимптотической — как уже отмечалось выше — упрощенным вариантом “5'-модели ударной волны Трэда [82], учитывающим сильную несимметрию молекулярной функции распределения в гиперзвуковой ударной волне. С физической точки зрения сильная неештетрия позволяет учесть роль “первых” высокоэнергетических столкновений, приводящих к возбуждению внутренних степеней свободы и химическим реакциям [81]. Использованная для расчетов гиперзвуковьтх течений газа в работах [89-90,93], эта модель устранила многие недостатки описания процессов в ударной волне с использованием модели Навье-Стокса. Она позволила учесть основные кинетические эффекты, приводящие к увеличению ширины ударной волны, более интенсивному росту локальной средней температуры и превышению ее максимального значения величиной «продольной» температуры [93].
В работах [72,86,94-96] анализ поступательно неравновесных процессов в ударной волне был проведен на основе модели «пучок -сплошная среда», дополненной учетом химических реакций. Было показано, что направленный пучковый характер функции распределения по скоростям молекул в ударной волне непосредственно определяет неаррениусовский характер констант скоростей химических реакций. Этот пучковый характер сохраняется на значительной длине внутри вязкого фронта ударной волны, сравнимой с ее толщиной [94,95].
Вследствие этого, как показано в разделе З.З.2., в поступательно неравновесных константах скоростей химических реакций предэкспоненциальный множитель остается, практически, таким же, как и в равновесных, а экспоненциальный множитель ехр(-Э) заменяется на более сложное выражение
^“'(х2 -0)л+^{ехрН>-2)2]-ехр[-(х + г)2]}<&, (3)
где X и Г) - соответственно безразмерная скорость «пучка» относительно «сплошной среды» и безразмерный энергетический порог реакции, причем первая величина отнесена к тепловой скорости, а вторая - к тепловой энергии молекул «сплошной среды», п - показатель степени предэкспоненциального множителя в константе аррениусовской химической реакции.
При Ъ = 0 выражение (3) переходит в соответствующий аррениусовский множитель в равновесной константе.
20
Выражение (3) дает существенное увеличение скорости химической реакции по сравнению с законом Аррениуса, поскольку из-за большой не нулевой скорости относительного движения «пучка» и «сплошной среды» происходит как бы эффективное снижение порога реакции.
В противоположность этому для непороговых процессов упругого столкновения частиц в однокомпонентном газе поступательная неравновесность, как показали численные и аналитические исследования, проведенные С.В. Куликовым и др. [97-98], оказалась незначительной. Для газовых смесей с сильно различающимися величинами концентраций и масс молекул аналогичные исследования, основанные на применении численного метода Монте-Карло и аналитического метода Мотт-Смита [81,99], показали значительное превышение количества пар высокоэнсргетичных молекул внутри фронта волны по сравнению с их поступательно равновесным количеством за ее фронтом.
Однако подобное относительное превышение пар молекул, достигающее в ряде случаев -значения порядка 106, обеспечивалось довольно искусственным приемом: заданием начальных концентраций смеси и масс молекул с чрезвычайно большим их различием (100-кратным по составу и 10-кратным по молекулярной массе). В условиях же, типичных для высокоскоростного обтекания тел, например при спуске космических аппаратов в атмосферах планет, таких соотношений по составу смесей газов и массам их молекул, как правило, не наблюдается. Тем не менее, для таких «аэродинамических» сред эффект поступательной неравновесности был получен В.А. Гореловым и др. экспериментально
Как следует из аналитического и численного анализа, приведенного в разделе 3.3.у реальный физический механизм такого роста, обусловлен двумя факторами:
• эффективным снижением энергетического барьера химической реакции вследствие глубокого проникновения • молекул высокоскоростного пучка в область ударной волны (вплоть до
• немонотонным характером изменения температуры вследствие перехода части поступательной энергии молекул газа в его внутреннюю энергию.
Таким образом, в высокоскоростных газодинамических потоках указанные факторы обеспечивают эффективное протекание высокопороговой химической релаксации, не требуя значительного различия молекулярных масс и концентраций компонентов смеси. -
[86].
21
Выражение (3) представляет интерес также и для т.н. обратной задачи: определения сечений молекулярных столкновений по известным температурным зависимостям констант скоростей химических реакций. Для поступательно равновесной кинетики такая проблема была рассмотрена ранее М.А. Рыдалевской [100].
В разделе 3.2. дана численная оценка ускорения скоростей диссоциации двухатомных молекул (02, N2) эффектом поступательной неравновесности в ударных волнах. Анализировался случай, когда энтальпия «пучка» соизмерима по величине с удельной энергией диссоциации двухатомных молекул, а скорости трехчастичной рекомбинации были заморожены на масштабе толщины вязкого фронта ударной волны. Сравнивались величины поступательно неравновесной концентрации атомов сц, концентрации, обусловленной термической
Т V
диссоциациеи сс$ и равновесной концентрации ае.
Значения концентраций а5 и а[ вычислялись на характерном масштабе внутри вязкого фронта ударной волны, где концентрация «пучковых» молекул падала до 10% от первоначальной. Уровни равновесной концентрации ас параметрически зависели от высоты полета Н, км и скорости набегающего потока У«, км/с.
Оказалось, что для практически реальных соотношений между удельной энергией диссоциации молекул и полной энтальпией пучка значения поступательно неравновесной концентрации а5 значительно
7*
превосходили значения концентрации аЛ , обусловленной термической диссоциацией, причем а] « а* < ас.
Расчеты более сложной модели диссоциации высокотемпературного воздуха, представленные в разделе 3.3.4., показали, что эффект поступательной неравновесности наиболее сильно влияет на протекание скоростей обменных реакций. В частности, из-за многократного возрастания скорости обменной реакции 02 + N —► О + N0 внутри фронта ударной волны профиль концентрации молекул N0 приобретает довольно резкий максимум.
В противоположность этому, при Навье-Стоксовом описании ударной волны с поступательно равновесной термической диссоциацией профиль концентрации молекул N0 строго монотонен.
В главе 4 ‘исследованы течения дисперсных сред с внутренними степенями свободы, с учетом процессов колебательной релаксации в газе, на поверхностях раздела фаз и внутри аэрозольных частиц, а также фазовых переходов - испарения и конденсации.
22
Идея создания адсорбционного-газодинамического квантового генератора была сформулирована в работе В.К. Конюхова и А.М. Прохорова в 1971 г. [101]. В 1978 г. в работе автора, совместно с Кузнецовым В.М. [102], была обоснована принципиальная возможность существования сильной уровневой неравновесности в течениях дисперсной среды за ударными волнами. Было получено, по-видимому, первое аналитическое решение газодинамической задачи, учитывающее процессы гомогенной и гетерогенной релаксации, протекающие одновременно. Согласно основной идее работы [102], как показано в разделе 4.3. /., эффект инверсной заселенности в газовой смеси 80% N2 + 10% С02 + 10% Н20, где содержались не только пары, но и капли жидкости Н2О, достигался за счет замораживания возбуждения симметричной (1 = 1) и деформационной (1 = 2) колебательных мод молекул С02 при адсорбции их на каплях воды. При этом приток энергии вследствие V — Т релаксации за ударной волной к модам \ = 1,2 аннулировался соответствующим стоком на каплях Н20. Сток энергии мод колебаний 1 = 1,2 происходил во время адсорбции и характеризовался значением коэффициента аккомодации для обеих мод а, = 1.
В противоположность этому, колебания антисимметричной моды \ =3, происходящие вдоль поверхности при адсорбции С02 на каплях Н2О [101], характеризовались значением коэффициента аккомодации аз = 0. Таким образом, населенность уровней моды \ =3 возрастала, а населенность уровней мод \ = 1,2 оставалась неизменной, что и вызывало в конечном итоге эффект инверсной заселенности в релаксационной зоне.
В работе [103] был предложен способ создания активной лазерной среды путем ввода в колебательно-возбужденный поток азота (воздуха) аэрозоля углекислоты С02. Двухфазное смешение потоков имело целью повысить плотность инверсии, энергетические характеристики и однородность активной среды.
В разделе 4.1. процесс смешения двухфазных потоков проанализирован на основе законов сохранения потоков массы, импульса и энергии для течения в канале постоянного поперечного сечения.
Аналитическое решение этой задачи показало, что в результате квазиспутного смешения величины давления и температуры смеси растут с увеличением числа Маха газовой фазы, или нормальной компоненты скорости частиц аэрозоля. Рост давления особенно нежелателен, поскольку он может приводить к нарушению однородности течения. Однако при специальном выборе исходных параметров потока, как показано в разделе
4.1., можно добиться минимальных изменений итоговых параметров смеси, в частности неизменности величины давления до и после смешения.
23