Непертурбативные явления в квантовой теории поля при конечной температуре

Содержание
1 Введение 3
2 Непертурбативный КХД вакуум при конечной температуре 10
2.1 Связь термодинамического давления и конденсатов в КХД. Уравнения
ренормализационной группы при Т ф 0................................. 12
2.2 Кварковый и глюонный конденсаты при низкой температуре.............. 15
2.3 Низкотемпературные соотношения в КХД................................ 20
2.4 Адронный резонансный газ и непертурбативный КХД вакуум ............. 23
3 Магнитный конфайнмент в конечно-температурной 8и(]У) теории Янга-
Миллса 29
3.1 Глюо-магнитный коррелятор и пространственно-подобное натяжение струны .................................................................... 31
3.2 Низкие температуры ................................................. 33
3.3 Высокие температуры................................................. 36
4 Непертурбативный КХД вакуум в магнитном поле 41
4.1 Уравнения ренормализационной группы и низко-энергетические теоремы КХД при Т ф 0 и Н ф 0............................................... 41
4.2 Свободная энергия КХД вакуума при Т ф 0 и Н ф 0..................... 44
4.3 Кварковый конденсат при конечной температуре в магнитном ноле . . 46
4.4 Соотношение Гелл-Манна-Оукса-Реннера в магнитном поле при конечной температуре........................................................ 51
4.5 Киральная теория возмущений в магнитном поле. Двухпетлевое приближение .............................................................. 57
5 Фазовые переходы в трех-мерной модели Джорджи-Глэшоу при конечной температуре 64
5.1 3-мерная модель с нолем Хиггса в присоединен пом представлении . . . 66
5.2 Статистическая сумма ............................................... 68
5.3 Петли Полякова...................................................... 70
5.4 Размерная редукция.................................................. 74
5.5 Петли Полякова, солитоны и фазовый переход деконфайнмента .... 76
5.6 Восстановление симметрии............................................ 78
1
5.7 Конечная масса Хиггса и безмассовые фермионы
81
6 Инстантоны в непертурбативном КХД вакууме 84
6.1 Общий формализм............................................................... 87
0.2 Однопетлевая перенормировка инстантона в непертурбативном вакууме 89
6.3 Взаимодействие инстантона с непертурбативными вакуумными полями 96
6.4 Численные результаты......................................................... 103
7 Заключение 109
8 Приложения 112
8.1 Приложение 1: Ультрафиолетовый масштаб редуцированной теории . . 112
8.2 Приложение 2: Вывод 5^ в координатном пространстве.......................... 113
8.3 Приложение 3: Билокальный коррелятор........................................ 115
8.4 Приложение 4: Зависимость 5<ка от функций О и О............................. 116
9 Литература 117
2
1 Введение
Физика сильных взаимодействий, квантовая хромодинамика (КХД), переживает постоянный бурный процесс развития. В последнее десятилетие, особенно актуальными стали исследования поведения сильнодействующей материи под влиянием различных внешних взаимодействий. В реальном мире такими внешними воздействиями являются в первую очередь температура и барионная плотность. Интерес к поведению материи в экстремальных условиях (высокие температуры, сравнимые с характерной шкалой в КХД, Т ~ 200 MeV, и большие барионные плотности г? > п0 — 0.17 frn"3, щ нормальная ядерная плотность) связан в первую очередь с увеличением энергии в экспериментах по столкновениям тяжелых ионов. Тем самым, как ожидается, в этих экспериментах достигаются плотности и температуры при которых возможен фазовый переход в новое состояние сильно-взаимодейсгвующей материи - кварк-глюонную плазму [1, 2].
Экстремальные условия существовали на начальной стадии расширения Вселенной. На временном интервале, t ~ 10_64-10“5 сек., после Большою Взрыва, Вселенная прошла через стадию сильного фазового перехода, при котором система перешла в адронную фазу характеризующуюся сугубо непертурбативными явлениями конфанп-мента и спонтанного нарушения киральной симметрии. Также экстремально высокие барионные плотности (п ~ 10по) существуют в центральных областях нейтронных звезд, в которых может реализовываться, недавно теоретически открытая, так называемая, фаза цветовой сверхпроводимости (см. обзоры |3, 4, 5]).
КХД является квантовой теорией взаимодействующих калибровочных полей Янга-Миллса с фермионными полями кварков. В 70-ых годах была открыта асимптотическая свобода |6, 7] и топологи чески-нетривиальная структура вакуума неабелевых калибровочных теорий [8, 9, 10, 11, 12]. Дальнейшее развитие показало, что именно сложная непертурбативная природа вакуума (МП флуктуации вакуумных полей) является ответственной за явления конфайнмента и спонтанного нарушения киральной инвариантности (СНКИ) и тем самым за формирование физическою адронного спектра. Таким образом, потребовалось развитие новых теоретических методов для описания непертурбативных явлений в квантово-нолевых теориях.
Исследования вакуумною состояния при включении температуры, конечного химического потенциала, внешних полей приводит к новым интересным явлениям, типа различных фазовых переходов. Соответственно, возникает необходимость разработки
3
теоретическое аппарат для исследований поведения квантово-нолевой системы и ее вакуумного состояния под влиянием внешних воздействий.
Исследования в КТП при конечных температуре и химическом потенциале происходят в основном по трем направлениям:
1. пертурбативные вычисления и построения различных схем пересуммирования рядов теории возмущений. Прогресс, в основном, достигнут в развитии HTL (hard thermal loop) и HDL (hard dense loop) приближениях [13].
2. построение различных эффективных моделей, описывающих то или иное непер-турбативное явление в реальной КХД. Например, развитие различных подходов основанных на использовании сигма-моделей для описания хирального параметра порядка в КХД. Исследования в рамках эффективной киральиой теории при Т ф 0. Различные обобщения модели Намбу-Иона-Лазинио для конечных температур, хим. потенциала н внешних полей. Развиваются и другие эффективные модели (см. обзоры [3, 5|).
3. исследование сложной непертурбативной структуры вакуума неабелевых калибровочных теорий и в частности КХД при конечных Т и п, проводятся с использованием численного моделирования на компьютерах. В этом направлении получены интересные и важные результаты и как ожидается, увеличение мощностей компьютеров, а также разработка новых вычислительных схем позволит лучше и глубже понять пепертурбативную динамику КХД (см. обзоры [14, 15, 1б|).
Основной целью настоящей работы является исследование различных непертур-бативных явлений в квантовой теории поля при нулевой и конечной температуре. В работе развиваются новые методы, которые позволяют с одной стороны описать имеющиеся "экспериментальные"(полученные численным моделированием КХД на решетке) данные, а также изучить новые физические явления в КХД при конечной температуре и во внешнем магнитном ноле.
В квантово-полевых теориях важную роль играют соотношения, которые являются следствиями симметрийиых свойств теории. Поиски симметрий и ограничений, которые они накладывают на физические характеристики системы, приобретают особое значение в КХД теории с конфайнментом, где "наблюдаемыми "вел и чи нами являются составные состояния-адроны. В понимании непертурбативных вакуумных свойств КХД, принципиально-важную роль играют низко-энергетические теоремы или тождества Уорда (масштабные и киральные). Строго говоря, низко-энергетические теоремы были открыты почти одновременно с применением квантово-полевых методов в физике частиц (см., например, теоремы Лоу [17|). В КХД они были получены в начале
4
восьмидесятых годов [18|. Низко-энергетические теоремы КХД, следующие из общих симметрийных свойств и независящие от деталей механизма конфайнменга, позволяют получить информацию, которую иногда невозможно получить каким-либо другим путем. Также, они могут быть использованы как "физически-разумные"ограничеиия при построении аффективных теорий и различных моделей КХД вакуума. В диссертации развит метод, который позволяют обобщить низко-энергетические теоремы КХД на случай конечной температуры в присутствии внешнего магнитного поля. Используя этот метод, исследован непертурбативный вакуум и получены новые важные и интересные следствия о поведении непертурбативных конденсатов в КХД при Т ф О и Н ф 0.
Глава 2 посвящена исследованию термодинамических свойств непертурбативного КХД вакуума в адронной фазе, т.е. при температурах ниже кварк адронного фазового перехода. Исходя из рассмотрения статистической суммы КХД и ее ренорм-групповых свойств, без каких либо модельных предположений, получено выражение связывающие аномальный вклад в след тензора-энергии импульса с термодинамическим давлением в КХД с легкими кварками. Получены аналитические выражения для температурных зависимостей кваркового и глюонного конденсатов, в области низких температур, Т < М„. Выведено низкотемпературное соотношение в КХД: показано, что температурные производные аномального и нормального (кварковый массовый член) вкладов в след тензора-энергии импульса в КХД равны друг другу в низкотемпературной, Т < Л/я, области. Получены лидирующие поправки, к этому соотношению, связанные с возбуждением массивных К и г/-мезонов. Эти поправки меньше 4% в области Т < 140 MeV. Изучен странный кварковый конденсат, (ss), и показано, что он значительно слабее спадает с температурой, чем легко-кварковый конденсат (гш) = (dd). В рамках адронного резонансного газа получены выражения лля кваркового и глюонного конденсатов как функции температуры вплоть до критической Тп. Показано, что кварковый и только половина (хромо-электрическая компонента ответственная за конфайнмент и формирование струны) испаряются при одной температуре и при учете температурного сдвига адронных масс, Тс ~ 190 MeV. В области этой температуры, плотность энергии достигает значения, € ~ 1.5 GeV/fm3. Глава 2 написана на основе работ [19, 20, 21, 22, 23, 24, 25].
В 3 главе изучаются свойства магнитного сектора 4d SU(N) Янг-Миллсовской теории при конечной температуре |26, 27| и рассматривается интересное явление магнитного конфайнменга. Показано, что конечно-температурное поведение физических
о
величин в магнитном секторе является качественно различным в двух температурных областях. Для определенности, мы далее будем определять Т < 2ТС как низкотемпературную и Т > 27’. как высокотемпературную области.1 Аналитически найдена температурная зависимость калибровочно-инвариантного билокального коррелятора напряженностей хромо-магнитного поля и пространственно-подобного натяжения струны (тДГ) [26|. Показано, что хромо-магнитный конденсат при Т < 2ТС слабо растет с температурой, {Н2)т = (//2>осо1Ь (М/2Т), где Л/ = 1/£т ~ 1.5 ГэВ есть обратная магнитная корреляционная длина, которая не зависит от температуры при Т < 2Тс. В области Т > 2ТС амплитуда магнитного коррелятора растет, (Н2)т ос д*(Т)Т'\ и корреляционная длина надает, £т(Т) сх 1 /(д2(Т)Г), с ростом температуры. Данное поведение магнитного коррелятора обт»ясняет явление магнитного конфайнмента в 4<1 8и(.\) Янг-Миллсовской теории при конечной температуре. Полученная температурная зависимость пространственно-подобного натяжения струны полностью согласуется с решеточными данными во всей области температур. Найдена температурная область перехода к редуцированной Зб-теории, т.е. к описанию динамики глюмаг-нитного сектора на языке статических корреляционных функций. Вычислен относительный вклад даваемый ненулевыми Мацубаровскими модами в пространственноподобное натяжение струны. При Т = 2Тс этот вклад составляет ~ 5%.
В четвертой главе изучается непертурбатнвный КХД вакуум при конечной температуре во внешнем магнитном поле. На основе метода развитого во второй главе, получены соотношения связывающие непертурбативные конденсаты с термодинамическим давлением при Т Ф О и Н ф 0 [28, 29|. Выведены низко-энергетические теоремы в конечно-температурной КХД в магнитном поле |28|. Построена кнральная термодинамика в магнитном поле [29]. Вычислена свободная энергия КХД вакуума в адронной фазе при Н ф 0 и получены выражения для кваркового и глюонного конденсатов (28, 29] 2. Исследованы различные предельные случаи для поведения конденсатов при низких и высоких температурах, в слабых и сильных магнитных полях. Найдено новое интересное явление “замораживание” кваркового конденсата магнитным полем |28, 29]. Изучен характер спонтанного нарушения киральной инвариантности в конечно-температурной КХД в магнитном иоле (30]. Для этих целей
1 Заметим, что ”2” в 2ТС не следует рассматривать как точное число. Этот вопрос обсуждается в последнем параграфе главы.
'Поведениеглюонного конденсата {О2) в абелевом магнитном ноле, строю говоря, являегся нетривиальным явлением. Глюоны не несут электрического заряда, однако, порождаемые ими виртуальные кварки, взаимодействуя с Я, приводят к сдвигу величины (С2).
6
выведено соотношение Гелл-Манна-Оукса-Рен пера, связывающие массу М„ и аксиальную константу связи Е* с кварковым конденсатом, при Т ф 0 и II Ф 0. Показано, что оно сохраняет свой вид при конечной температуре после включения магнитного поля, т.е. не появляется дополнительных, независящих от Т и И слагаемых. Таким образом, схема мягкого нарушения киральной симметрии остается прежней. Развита киральная теория возмущений в магнитном поле [31, 32, 29]. В двух-петлевом приближении вычислены непертурбативная плотность энергии вакуума, кварковый и глюонный конденсаты как функции напряженности магнитного поля [31, 32|.
Известно, что в неабелевой калибровочной теории при конечной температу-
ре происходит фазовый переход деконфайнмента. Существуют различные модели, в рамках которых делаются попытки описать динамику этого перехода. Однако, последовательной теории до сих пор не существует. В первую очередь, это связано с тем, что при нагревании системы происходит существенная перестройка непертурбативного вакуумного состояния и построение последовательной микроскопической теории пока еще не представляется возможным. Следует отметить, что в конечно-температурных теориях с нолями Хиггса, фазовый переход с восстановлением симметрии происходит при достаточно высоких температурах, где применимо использование размерной редукции п тем самым фазовый переход может быть изучен, как аналитически, так и численно (см. обзор [33]). В реальной КХД и в чистой глюодинамике, фазовый переход деконфайнмента происходит при температурах порядка или меньше массовой щели и идеология размерной редукции не применима. Существует квантово-полевая теория, (2г1)-мериая модель Джорджи-Глэшоу, в которой линейный конфайнмент возникает нетривиальным образом, за счет IГГТ вакуумных флуктуаций. Эта модель была исследована Поляковым (34|. Выло показано, что в режиме слабой связи, вакуумное состояние представляет собой разреженную кулоновскую плазму магнитных монополей и антимонополей (они играют роль инстантонов в 3(1). В таком вакууме возникает конфайнмент электрических зарядов и натяжение струны вычисляется точно, с контролируемыми экспоненциально малыми поправками. Пятая глава этой работы посвящена исследованию трех-мерной модели Джордж и-Глэшоу при конечной температуре. Показано, что при температуре Тс ос д2, где д есть размерная константа связи, происходит фазовый переход деконфайнмента [35]. Этот фазовый переход, возникает в следствии того, что монополи и антимонополи связываются в пары и тем самым вакуумное состояние в виде кулоновской плазмы с конфайнмеитом переходит в фазу молекулярного газа с деконфайнментом. В трех-мерной модели Джордж и-Глэшоу
7
при Т = О фотон, в следствии Дебаевского экранирования в плазме, приобретает экспоненциально малую массу, т* ос ехр(-4тгmw/g2), пропорциональную плотности плазмы. Фазовый переход деконфайнмента происходит при температуре параметрически много большей массовой щели в теории, Тс У>> т7, т.е. в области, где динамика системы описывается двумерной редуцированной теорией. Двумерный кулоновский газ сводится к модели синус-Гордон, которая является точно решаемой и мы изучаем критическое поведение системы [35]. Далее, показано, что при значительно более высоких температурах, 7’. » raw, происходит фазовый переход с восстановлением симметрии и построена фазовая диаграмма трех-мерной модели Джорджи-Глэшоу при Т ф 0 (35]. В рамках реиорм-группового подхода изучено влияние конечной массы Хиггса на температуру перехода деконфайнмента [36]. Исследован фазовый переход деконфайнмента в трех-мерной модели Джорджи-Глэшоу с динамическими ферм ионами [37].
Шестая глава посвящена инсталтонам в КХД. Инстаптон является первым явным примером непертурбативной флуктуации глюонного ноля и может играть существенную роль в целом ряде явлений в кваггтово-полевых теориях (см. книгу [38] гг обзор [39]). В то же время в инстантонной физике в КХД существует ряд проблем. Во-первых, это инфракрасная (ИК) расходимость интегралов по размеру инстанто-на /0, что делает невозможным вычисление инстантонного вклада в некоторые физические величины, например, в вакуумный глюонный конденсат. Во-вторых, 41закон площадей” для петли Вильсона нельзя объяснить в рамках модели инстантонного газа, т.е. в квазиклассическом инсганюн-антиинстантонном вакууме нет коггфайнмента, который ответствен за формирование адронного спектра. Решению проблемы стабилизации инстангона по его масштабу р было посвящено большое количество теоретических работ. Все они, в той или иггой степени, сводятся к попыткам стабилизировать инстантонный ансамбль ну-тем учета эффектов взаимодействия между псевдочастицами. Наиболее популярной сгала модель “инстантонной жидкости”, феноменологически сформулированная Шуряком [40, 411. В работе Дьяконова и Петрова |42| количественно были получены аналогичные результаты для параметров инстантонной жидкости. Однако дальнейшее развитие [43] показало, что инстантонный ансамбль гге может быть стабилизирован чисто классическим взаимодействием. Таким образом, только в рамках ансамбля инстантонов и антиинстантонов отсутствует динамический механизм подавления инстантонов большого размера. Однако, кроме к вазн класс и ч ес к и х инстантонов гг вакууме существуют другие ненертурбативные поля, которые позво-
8
ля ют, в частности, решить "инфракрасную проблему "инстантонов. НТТ вакуум КХД может быть параметризован набором нелокальных калибровочно-инвариантных вакуумных средних напряженности глюонного поля |44, 45, 46, 47|. В данном подходе вакуумное среднее от Вильсоновском петли, используя неабелев аналог теоремы Стокса, выражается через билокальный коррелятор напряженности глюонного поля (ії Си1/{х)Ф(х,у)С0\(у)Ф(у,х)), 3 где Ф(:г,?/) - оператор параллельного переноса и достаточно быстрое уменьшение коррелятора (коррелятор спадает но экспоненте) позволяет объяснить наблюдаемое натяжение струны. Численные расчеты на решетке [48, 49, 50, 511 показывают, что корреляционная длинна в непертурбативном вакууме. Тд, оказывается достаточно малой ~ 1 Осу-1. Таким образом, взаимодействие ин-етантона (е характерным размером ~ 0.3 Пи) с вакуумными полями, ответственными за конфайнмоит, является сугубо нелокальным. В 6 главе последовательно развивается калибровочно-инвариантный метод вычисления эффективного действия для ин-стантона в НГІ вакууме [5*2, 53, 54). Показано, что инстантон существует как стабильная топологически нетривиальная полевая конфигурация с характерным размером рс. Значение рс функционально определяется свойствами билокального коррелятора НП ноля (1гС:(т)Ф(х,у)С(у)Ф{у,х)), т.е. параметрически двумя величинами: (С2) значением глюонного конденсата - и “мерой его неоднородности” Тд - корреляционной длиной в конденсате. Найдена зависимость характерного размера ннсгантона от величины глюонного конденсата и корреляционной длины в непертурбативном вакууме [54, 55]. Полученное распределение инстантонов по размерам [54, 55] хороню согласуется с данными расчетов на решетке. Таким образом, глюонные поля, ответственные за коифайнмент приводят к инфракрасной стабилизации инстантона.
В Заключении сформулированы основные результаты полученные в диссертации.
3Детальное обсуждение роли высших корреляторов см. в обзоре (47)
9