Оглавление
1 Введение 4
2 Вычисление лагранжианов с симмстризованиым следом 19
2.1 Симметрированный след................................ 19
2.2 Случай сферической симметрии......................... 22
2.3 Са симметричная полевая конфигурация................. 24
2.4 Цилиндрическая симметрия............................. 29
2.5 Аксиально симметричное поле.......................... 31
3 Сферически симметричные решения 34
3.1 Сфалеронные решения в плоском пространстве........... 34
3.2 Гравитирующие решения и черные дыры.................. 43
3.3 Мононоли............................................. 59
4 Космологические и однородные решения 73
4.1 Однородные и изотропные космологические решении . . 73
4.2 Космологии типа «мир на гипербрано» ................. 90
4.3 Однородные решении в плоском щюстранетвс............. 90
4.4 Аксиально симметричные решения ......................102
4.5 Анизотропные космологические решения.................105
2
Заключение
Глава 1
Введение
В последние годы основной прогресс в развитии теории струп связан с изучением 0-гиііеі>6рап. П-гипербраны это (гиперповерхности, на которых могут заканчиваться концы открытых струн |1. 2. 3|. Их динамика описывается нолевой теорией открытых струн. например 15 формулировке Виттена |4]. Однако, работать с такой теорией очень сложно, поэтому очень часто приходится ограничиваться рассмотрением низкоэпсргстического эффективного действия получаемого при усреднении по всем массивным модам сохраняя только безмассовый (супер)максвслловский мультиплот. Однако это тоже; весьма сложно. Подчас иаилучпюе, что можно сделать это ограничиться рассмотрением медленно изменяющихся по сравнению со струнной шкалой нолей, т.е. сохраняя напряженности нолей, но не их производные. При таком подходе нет ограничения на абсолютные величины напряженностей полей но отношению к струнной шкало, за исключением естественно возникающего ограничения на электрическое ноле, которое не может превышать определенной величины.
Существенным отличием между ранее известными р-гинербранами и
1
сунерсимметричными П-гинорбранами является включение' в действие калибровочного поля заданного на мировом объеме гииербраны. Это моле ссютвеггствуот виртуальным состояниям открытой струны ЧЬИ КОНЦЫ движутся.
Ипфельда или его модификацией действием Дирака-Борна-Ипфелі»да
свободы Э-гинербраны |7|. Даже' до установления этого факта, данное' действие как действие фоновых калибровочных нолей е- необходимо-стью возникало при интегрировании всех внутренних степеней свободы открытых струн В Предположении 1ІЄХ ТЄ)ЯИІІЄ)Й напряженности фоиово-го калиброночного поля |8|. Уникальность данного действия в те>м, чте> е)ію содержит вклады все'х стонеіюй по струпной посте>янной а' и являемся суммой всех древесных струнных диаграмм. Таким образом, лагранжиан Борна Ипфельда по своему происхождению из струйной тоо-рии во многом аналогичен лагранжиану Гейзенберга Эйле'ра в квантеь вой электродинамике. Берлее» того, существует лагранжиан непрерывно интерполирующий ме'жду двумя этими действиями, ееютвететвующий открытой струне с массивными заряженными частицами на концах |0).
Действие Борна Ипфельда для р-гииербраны в так называемой статической калибровке имеет вид
где 0 параметр, имеющий смысл максимально возможной папряжеипеь сти электрического ноля. В теории супорструн оказывается 0 = 2тгет'. В
ал)
дальнейшем мы будем рассматривать только четырехмерные мировые многообразия, в которых действие (1.1) можно переписать в виде
в = I + - ^(/>>''Г2. (1.2)
В такой форме сразу видно, что при малых напряженностях калибровочного ноля теория Ворна Инфельда переходит и обычную электродинамику.
Оригинальной мотивацией погтрехчшя данного действия |Г>, 1()| являлось желание иметь пюрию свободную от расходимостей па классическом уровне. Кроме того, первоначально авторы предполагали, что свободные уравнения поля позволят описать заряженные частицы как солитонные объекты. Последнее предположение оказалось не верным: кулоповский потенциал генерируется 5-образным внешним ис точником. С расходимостью тоже не все оказалось гладко: несмотря на то, что полная энергия такого точечного электрического заряда оказывается конечной, ее плотность оказывается бесконечной в точке расположения источника. Кроме того из за высокой нелинейности данной теории, содержащей члены взаимодействия сколь угодно высокого порядка но /?-1, не существует квантовой теории для данного действия1.
Несмотря на указанные трудности, данное действие обладает целым рядом привлекательных свойств: оно удовлетворяет условиям причинности, обладает электрическо магнитной дуальностью. Следует заметить, что дуальными векторами оказываются не непосредственно элск-
1В контексте струнной теории действие Вориа-Ии<}х\чьдаеамо является эффективным действием струнной теории и потому квантовать его нот необходимости. Вместо этого иккчт смысл рассматривать струнные поправки к данному действиюэя счет членов с н|юиэводпыми |11. 12. 13. I 1|
О
тричоскио и магнитные1 составляющие напряженности поля, а напряженность электрического ноли и индукция, магнитного и наоборот*. Причем индукции чнвиеит от напряжен пости нелинейным обратом. Например. решением дуальным точечному та ряду окатывается и точности ди-раков монополь. Таким обратом, абелева теория Борна Ин(|)ельда по ряду признаков аналогична электродинамике нелинейных сред.
Несмотря на то, что уравнения данной теории сложнее’ уравнений Максвелла, получено множество различных решений описывающих рат-личные объекты, ратвнты техники 1чч1ерации новых решений ит уже существующих |15, 16|: ПОМИМО НрОСТСЙШСГО р(МП('ИПЯ для точечного таряда, тапиеывающегося с помощью эллиптического интеграла 1-го рода, существуют мулЬТИцентровые JMMIieilMM, р('П1(‘ПИЯ с внешними полями, (хчнения тина плоских волн и т.д. Помимо чис то мат ('магичес кого интереса некоторые ИТ ЭТИХ решений имеют прямую струпную ИПТС’р-претацию. Например точечный таряд можно интерпретировать просто как конец фундаментальной струны, нрищхчиюниой к гип('|)браие, тогда как магнитный монополь интерпретируется как конец солитопной струны, т.е. 2-гиисрбраны.
Действие1 (1.1) описывает* D-гинербрапу в гак называемой статической калибровке, в которой поперечные ксюрдниаты брапы тнфикоиро-ваиы. Если же откататься от этого требования, то в действие необходимо ввести скалярные поля, соответствующие поперечным координатам браны. В результате возникает действие Дирака Борна Ипс|к'льда:
(1.3)
Хоти в случае? абелевых калибровочных нолей е* помощью надлежащего выбора координатной системы можно избавиться от скалярных полей, находящихся под корном, члены, содержащие поперечные координаты становятся существенным при рассмотрении неабелевых калибровочных полей, когда такую калибровку наложить в общем случае п(*воч-можно.
Неабелевы калиб]ювочныс ноля в струнную теорию традиционно вводились с помощью факторов Чапа Паттона |17|. Использование I)-гинербран позволяет придать этой операции новый смысл: пеабелевы калибровочные ноля возникают, если вместо одной О-гинорбраиы рас-сматривать N совпадающих гипербран. В такой системе существует уу2 типов струи, каждая ич которых начинается на одной ич этих брап п заканчивается на другой. что размерность присоединенного представления группы ПОЭТОМУ В мировом объеме такой СИСТСМЫ воч-
н и кает неабелсво Г/( Д^) калибровочнех* поле. Классический же способ введения (факторов Чана Паттона можно включить в рассмотрение, если использовать 09-гипербраиы заполняющие веч? нроетранетво |18|. Ничкоэнерготичоскос эффективное действие*, описывающее* данную теорию, должно быть неабелевым аналогом действия Борна Ипфсльда. С одной стороны, в пределе слабых полей данное действие должно пе-ре'ходить в действие Янга Миллса с калибровочной группой 11(УУ), с другой стороны, для абелевоподобных нолевых конфигураций данное* действие должно совпадать с действием Борна Инфсльда.
Определить точную структуру такого действия до сих пор не ]Х'-
темная задача. Так как компоненты напряженности калибровепного ноля Р/ИУ являются некоммутирующими матрицами, упорядочивание членов в неабелевом обобщении действии (1.1) плохо определенная без дополнительных требований операция. В абелевой теории высшие члены действия Борна Ипфельда по а' подвергаются поправкам за счет членов с производными Р. В неабелевой теории выделить такие члены сложно из-за упомянутой неоднозначности упорядочивания матриц Р. поскольку [О^О^Рхо ~ Рц!/Р\о- ЦеЙТЛИИЫМ |Ю| был Пр('ДЛОЖ('П рецепт устраняющий данную неоднозначность, заключающийся в замене взятия следа по неабелевым индексам особой операцией: «симметризован-ным следом». Симметризованный след определяется как обыкновенный след, но усредненный по всем возможным перестановкам некоммутирующих матриц Рпи и неабелево действие Борна Ипфельда (ИБИ) с учетом данного предписания можно записать как
Введение операции симметризовашюго еледа позволж'т об])ащатьея с матрицами входящими в соответствующие выражения как с коммутирующими величинам и развить ряд функциональных методов для получения решений |20|. но с другой стороны существенно усложняет
Кроме' того, действие! ИБИ с симмстризованиым следом, хотя и содержит члены веч'х порядков по параметру /?, не* являемся столь полным как действие Борна Ипфельда для абелевой теории: в высших порядках теории возмущений существует расхождение! между формулой (1.4)
(1.4)
9
и детальными вычислениями на основе струнной теории |21, 22. 23, 24, 25|.
Еще одним возможным ешхобом построения нсабслового расшире-иия действия Борна Инфельда в четырехмерном пространство является использование в качестве' отправной точки формулы (1.2)
Данное действие (на которое мы будем в дальнейшем ссылаться как па действие с обыкновенным следом) уже исполь зовалось в ряде работ |26, 27, 28, 29, 30, 311 и его ’значительно проще использовать в конкретных вычислениях. Кроме того можно надеяться, что оно обладает всем основными качественными свойствами действия ПНИ струнной теории, поскольку совпадает с действием с симметричоваипым следом на абеловоподобных нолевых конфигурациях и обладает тем же пределом Богомольного IТрасада Соммсрфельда.
Для лучшего понимания ненертурбативпых аспектов динамики I)-гшк’рбрап, свя занных с калибровочными полями, необходимо ичучить классическую динамику нолей описываемых соответотвуюмшми пичко-знергетичоскими действиями. Целью настоящей диссертационной работы является развитие методов получения классических решений в теориях содержащих поля е неаболевым действием Борна Инфельда, получение таких решений и исследование их свойств. Следует заметить, что большинство получаемых здесь решений имеет своих непосредственных предшественников в теориях без нелинейностей Борна Инфельда и потому основной упор делается на выявление отличий и
10
- Київ+380960830922