Оглавление
Введение 6
1 Когерентное пленение населенностей 27
1.1 Введение............................................ 27
1.2 Динамика трехуровневых систем в формализме векторов состояний ......................................... 33
1.2.1 Общий формализм когерентного взаимодействия 33
1.2.2 Анализ решения в упрощенном виде............. 37
1.2.3 Общее выражение для населенностей............ 42
1.2.4 Равные расстройки............................ 43
1.2.5 Феноменологический учет спонтанной релаксации ................................................. 46
1.3 Уравнение распространения монохроматического излучения в среде.......................................... 48
1.4 Прозрачность........................................ 51
1.4.1 Самоиндуцированная прозрачность.............. 51
1.4.2 Электромагнитно-индуцированная прозрачность 52
1.4.3 “Винтовая” прозрачность...................... 53
1.5 Когерентное пленение населенностей в формализме
матрицы плотности .................................. 65
з
1.5.1 Уравнение для матрицы плотности для Л си-
стемы.......................................... 65
1.5.2 Критерий возникновения когерентного пленения населенностей в Л-системе........................ 71
1.6 Самофокусировка лазерного излучения в иодпорого-
вом режиме КПН....................................... 75
1.6.1 Постановка задачи......................... 75
1.6.2 Вычисление элементов матрицы плотности . . 77
1.6.3 Упрощенное уравнение...................... 78
1.6.4 Численные оценки.......................... 79
1.6.5 Результаты численных расчетов............. 81
1.7 Выводы............................................... 85
2 Конденсат Бозе-Эйнштейна 89
2.1 Гамильтониан И-частичной системы..................... 89
2.2 Уравнение Шредингера в представлении первичного
квантования.......................................... 90
2.3 Разложение М-частичного вектора состояний но векторам состояний невзаимодействующей системы ... 91
2.4 Представление чисел заполнения....................... 92
2.5 Уравнение Шредингера в представлении чисел заполнения .................................................... 94
2.6 Операторы рождения и уничтожения бозонов............. 95
2.7 Оператор Шредингера в представлении вторичного
квантования.......................................... 97
2.8 Оператор числа частиц в представлении вторичного
квантования.......................................... 98
4
2.9 Энергия межчастичного взаимодействия ............... 99
, А}
2.10 Приближение Боголюбова............................ 100
2.11 Приближение среднего поля ........................ 102
2.12 Приближение Боголюбова в рамках приближения среднего поля........................................... 104
2.13 Обобщенно-канонический оператор................... 105
2.14 Уравнение Гейзенберга............................. 107
2.15 Диагонализация обобщенно-канонического гамильтониана в приближении Боголюбова.......................... 109
2.16 Уравнение Гросса-Питаевского...................... 111
2.17 Гидродинамические уравнения и приближение Томаса-Ферми .................................................. 112
2.18 Нестабильность конденсата Бозе-Эйнштейна при вза-имодействии с бихроматическим лазерным излучением 114
2.19 Выводы............................................ 118
3 Структурный фактор двухкомпонентного конденсата Бозе-Эйнштейна 119
3.1 Постановка задачи.................................. 119
3.2 Однокомпоиентный конденсат ........................ 121
3.2.1 Приближение Боголюбова для однокомпонентного конденсата.................................... 121
3.2.2 Приближение Томаса-Ферми для однокомпонентного конденсата................................ 122
Ш
3.2.3 Вычисление элементарного возмущения плотности однокомпонентного конденсата.............. 124
5
3.2.4 Связь коэффициентов Боголюбова с элемен-тарным возмущением плотности однокомпонентного конденсата............................... 125
3.2.5 Структурный фактор однокомпонентного конденсата .......................................... 127
3.3 Двухкомпонентный конденсат ..................... 131
3.3.1 Приближение Боголюбова для двухкомпонентного конденсата................................... 131
3.3.2 Приближение Томаса-Ферми для двухкомпонентного конденсата............................... 133
3.3.3 Вычисление элементарного возмущения плотности двухкомпонентного конденсата................ 135
3.3.4 Связь коэффициентов Боголюбова и элементарного возмущения плотности двухкомпо-нентного конденсата............................... 136
3.3.5 Парциальный структурный фактор двухкомпонентного конденсата............................... 138
3.4 Выводы................................ 139
4 Заключение и краткие выводы 142
Введение
Результатом развития экспериментальной техники в конце 20-го века явился качественный прорыв в охлаждении атомов щелочноземельных металлов [1]. Удалось получить ансамбли атомов с температурами в несколько нанокельвинов. Авторы этих работ были удостоены в 1997 году нобелевской премии.'Ансамбли ультрахолодных атомов обладают новыми свойствами, которые невозможно наблюдать при бблыних температурах.
Одним из наиболее значительных результатов сверхнизкого охлаждения явилось экспериментальное достижение “Бозе-Эйнштейновской конденсации” (БЭК) в парах щелочноземельных металлов [2, 3, 4, 5]. Это достижение также было отмечено нобелевской премией в 2001 году.
Кроме Бозе-Эйнштейновской конденсации, упомянутой выше, в газах при сверхнизких температурах более отчетливо проявляются когерентные эффекты. Например, такое явление как “когерентное пленение населенностей” (КПН), возникающее вследствие деструктивной интерференции каналов возбуждения при распространении многомодового резонансного лазерного излучения в многоуровневой среде, играет значительно большую роль. Это положение имеет экспериментальное подтверждение. В частности, в работе [6] экспери-
ментально исследовалась температурная зависимость скорости распространения резонансного лазерного импульса в среде, находящейся в условиях КПН. В работе [0] наблюдалось, что с уменьшением температуры образца уменьшается скорость распространения импульса в нем. Распространение импульса в такой среде обусловлено переходом части атомов в состояние КПН и накоплением энергии импульса в нераспадающемся когерентном состоянии, созданным квантовой интерференцией. (В то время как при распространении импульса в нормальной резонансной среде, где нет КПН, энергия излучения не может запасаться атомами на необходимое время из-за диссипации вследствие спонтанного распада; что приводит к поглощению импульса.) По завершении прохождения импульса, энергия возвращается обратно в поле. Чем меньше температура атомного ансамбля, тем большая часть атомов находится в состоянии КПН; следовательно, тем большая энергия распространяющегося импульса запасается в нераспадающемся когерентном состоянии и тем меньше скорость импульса. Кроме того, при уменьшении температуры ниже критической температуры конденсации Бозе-Эйнштейна наблюдалось скачкообразное падение скорости распространения импульса (примерно в 4 раза). Это может объяснятся увеличением плотности ансамбля атомов при переходе в состояние БЭК. В работе [6] также отмечается исключительно высокая оптическая нелинейность ультрахолодного газа.
Для оценки масштабности проявления когерентных эффектов в газе ультрахолодных атомов по сравнению с проявлением аналогичных эффектов в газе при комнатной температуре, заметим, что
при нормальной температуре, в условиях КПН, скорость света удалось уменьшить в 165 раза [7], тогда как при температурах чуть выше точки конденсации Бозе-Эйнштейна скорость света в аналогичных условиях уменьшается более чем в миллион раз, а ниже точки конденсации — еще в 4 раза [6].
Таким образом в газе ультрахолодных атомов возможно наблюдение таких когерентных эффектов, проявление которых при ббльших температурах сложно обнаружить. Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию подобных эффектов. В частности, предсказывается наблюдение нового типа прозрачности, названного нами “винтовой”. Эта прозрачность наблюдается только при соблюдение достаточно жестких условий на первоначально наведенную когерентность среды и согласованными с этой когерентностью параметрами падающего импульса. Только при соблюдении этих условий импульс пройдет в среде без потерь, определенным образом изменив при этом свою форму и спектральный состав. Далее рассматривается самофокусировка непрерывного лазерного излучения в когерентной среде. Из-за квантовой интерференции нелинейность среды наблюдается при гораздо меньших интенсивностях, чем в двухуровневой среде. А нелинейность может привести к самофокусировке. Рассматривается также среда в состоянии БЭК. А именно, взаимодействие лазерного излучения с БЭК, приводящее к экспоненциальному росту коллективных колебаний конденсата. Кроме этого исследуется структурный фактор как однокомпонентного, так и двухкомпонентного БЭК.
Рассмотрим подробнее явления КПН и БЭК, лежащие в основе
перечисленных выше эффектов.
КПН возникает вследствие наведения в среде некой нетривиальной когерентности. Поясним этот момент более подробно. Когерентность в среде, как правило, возникает при распространении в ней резонансного лазерного излучения. Эта когерентность выражается в отличии от нуля недиагонального матричного элемента матрицы плотности:
Рпт — СпС-гп ~ І^п^тоІ ехР [г{9п ^т)] (1)
где Сп, Сщ — комплексные амплитуды вероятности нахождения атомов в стационарных состояниях \фп) и |(рт) (то есть вектор состояния атома \ф) = с,г \<рп) + с,п \<Рт) + ...), а 9п, 9т - фазы и с™; черта означает статистическое усреднение но всему ансамблю атомов. Очевидно, что (1) отлично от нуля только если А9 = 9п — 0т примерно одинаково для различных атомов среды. То есть когда между фазами волновых функций атомов существует определенная корреляция. Если попытаться найти классическую аналогию для понятия когерентности для среды, то можно сказать, что электроны каждого атома среды колеблются с частотой перехода |п) — |т) с одинаковой фазой.
Предположим теперь, что в среде наведена когерентность на двух смежных переходах. (Например, переход из сверхтонкого подуровня основного состояния в возбужденное состояние и смежный переход из другого сверхтонкого подуровня основного состояния в тоже возбужденное состояние.) Причем частоты переходов примерно одинаковы, а фазы противоположны. Тогда несмотря на приложенные резонансные поля колебания электронов не происходят,
поскольку колебание с одной частотой происходит в противофазе с колебанием с другой, примерно равной, частотой. Этот эффект можно назвать деструктивной интерференцией каналов возбуждения. Вследствие такой интерференции резонансное излучение не переводит атомы среды в возбужденное состояние, происходит, так называемое, “когерентное пленение населенностей” (КПН).
Явление КПН было открыто в 1976 году [8). В этих экспериментах среда состояла из трехуровневых Л-атомов Иа (рис. 1.1 на стр. 30). Среда облучалась многомодовым лазерным излучением, в котором расстояние между модами лазера равнялось сверхтонкому расщеплению основного состояния (расстоянию между уровнями |1) и |2)). При этом флуоресценция с состояния |3) существенно редуцировалась.
Состояние КПН, при определенных условиях, возникает в трехуровневых (и вообще говоря, многоуровневых) квантовых системах [8, 9, 10, И, 12, 13, 14]. Когерентное пленение населенностей заключается в возникновении в квантовой системе, взаимодействующей с электромагнитным излучением, особого суперпозиционного состояния |^л'<7), не связанного взаимодействием с остальной системой: V • \ipNc) — 0) где V — оператор взаимодействия атома с полем. Состояние |фке) ~ одно из собственных состояний возмущенного га-
АЛА
мильтониана (гамильтониана системы атом плюс поле) Я = #о-Ь V. Состояние |фяс) является суперпозицией собственных состояний |1) и |2) невозмущенного гамильтониана Яо-
Если спонтанная релаксация в атомах направлена таким образом, что заселяется, кроме прочих, и состояние \ф^с)> которое
само является стабильным, то через некоторое время практически вся населенность атомной системы будет аккумулирована, иными словами, пленена, захвачена в \фнс) ~ происходит когерентное пленение населенностей (здесь термин “когерентное” отражает образование когерентной суперпозиции состояний).
Состояние Бозе-Эйнштейновской конденсации (БЭК)
— это состояние трансляционного движения атомов. То есть здесь атом рассматривается как единое целое. БЭК наступает при охлаждении атомного ансамбля до такой степени, что длина волны де Бройля атома, определяемая соотношением Х^в = Л/р (Л. — постоянная Планка, р — модуль импульса атома), становиться больше или порядка межатомного расстояния. При этом атомы среды занимают наинизшее энергетическое состояние своего трансляционного движения, определяемое потенциалом ловушки в которой атомы удерживаются.
Конденсация Бозе-Эйнштейна была теоретически предсказана Эйнштейном [15, 16, 17] и Бозе [18] в 1924-1925 годах. БЭК является ключевым элементом в объяснении таких макроскопических явлений, как сверхпроводимость и сверхтекучесть. Однако БЭК в чистом виде так и не удавалось получить вплоть до 1995 года, когда несколько экспериментальных групп [2, 3, 4, 5], почти одновременно, получили БЭК в парах щелочных металлов.
Эйнштейн [15, 16, 17] обобщил работу Бозе [18] о квантовой статистике фотонов на случай идеального газа бозонов (атомов с целым спином, как у фотона) с заданным числом атомов. Оказалось,
12
что функция распределения атомов по импульсам равна
-1
пр —
г (^) -1
т> т£,
(2)
где р — химический потенциал газа, кв— постоянная Больцмана и е(р) = р2/2т. Ситуация меняется при температуре фазового перехода (мы полагаем фактор вырождения д = 1)
Т? = 3.31
—гг2/3
квт
(3)
где п — плотность газа. Ниже этой температуры число атомов N0 в состоянии с р = О макроскопически велико, то есть пропорционально полному числу атомов Аг:
No = N
( Т \
т<т9.
(4)
Остальные атомы распределены согласно распределению (2), но с химическим потенциалом р = 0:
пр =
(5)
Явление становиться понятнее, если учесть, что при температуре, близкой к де-бройлевская длина волны атомов газа, которая характеризует неопределенность в позиции атома, связанную с тепловым распределением импульсов, \(1В = (2тгН2/тпквТу12, становиться сравнима со средним межчастичным расстоянием п”1/3. То есть при выполнении условия
п^4В ^ п^1в\т=Т°~ 2*612
(6)
наинизшее состояние трансляционного движения приобретает макроскопическую населенность.
Таким образом можно сказать, что среда находящаяся как в состоянии КПН, так и в состоянии БЭК обладает нетривиальными свойствами. Эти свойства проявляются, в частности, при распространении излучения в таких средах.
В первой главе1 настоящей диссертационной работы рассматривается трехуровневая Л-среда, находящаяся в состоянии “когерентного пленения населенностей” (КПН). Рассматриваются два нетривиальных явления в такой среде: 1) явление “винтовой” прозрачности, возникающая при распространении 27г-импульса в среде; и 2) явление самофокусировки, проявляющееся при непрерывном взаимодействии лазерного излучения со средой.
Следует подчеркнуть, что при рассмотрении этих явлений пре-нсбрегается тепловым движением атомов, то есть наблюдение “винтовой” прозрачности и самофокусировки в подпороговом режиме КПН будет более ярким именно в ультрахолодном разреженном газе, где тепловое движение минимально и эффекты квантовой интерференции проявляются максимально.
Прежде чем говорить о новом типе прозрачности, названной нами “винтовой”, кратко остановимся на известных типах прозрачности — электромагнитно-индуцированной прозрачности (ЭИП) и самоиидуцированной прозрачности (СИП).
СИП [30, 31, 32] наблюдается как в двухуровневых системах, так и в многоуровневых. СИП возникает вследствие того, что составляющие среду частицы подвергаются действию ноля не одновременно, а по мере прохождения импульса через занимаемую ими
Основные результаты этой главы опубликованы в работах [19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29]
- Київ+380960830922