Содержание
Введение 4
1 Квантовополевая ренормгруппа в задачах стохастической динамики. 8
1.1 Стандартная форма стохастических уравнений........... 8
1.2 КП формулировка стохастической динамики. Диаграммная техника......................................... 9
1.3 УФ-расходимос/ги, ренормировка...................... 11
1.4 РГ-уравнения........................................ 14
1.5 Решение РГ-уравнений................................ 16
2 Ренормгруппа в Н-модели критической динамики, константа Кавасаки. 19
2.1 Введение............................................ 19
2.2 Упрощенная Щ - модель............................... 21
2.3 Ренормировка и РГ-аналнз Но -модели................. 25
2.4 Двухпетлевой расчет в схеме МЭ...................... 32
2.5 Расчет константы Я................................... 41
2.5 Поправки к скейлингу................................. 46
3 Ренормгруппа в теории турбулентности. 52
3.1 Введение............................................ 52
3.2 Стохастическое уравнение Навье-Стокса и выбор коррелятора случайной силы 55
2
3.3 КП формулировка и ренормировка модели.............. 58
3.4 Двухпетлевой расчет константы ренормировки......... 64
3.5 РГ-функции, неподвижная точка и поправочный индекс 71
4 Универсальные амплитуды в теории турбулентности, константа Колмогорова. 73
4.1 Универсальные амплитуды............................ 73
4.2 Парная корреляционная функция...................... 74
4.3 Расчет константы Колмогорова....................... 81
4.4 (/-мерный случай.................................... 88
Заключение 91
Приложение 93
3
Введение
Эксперимент в теории критического поведения показывает, что различные физические системы могут иметь схожее критическое поведение. Это привело к появлению понятия универсальности: различные физические системы объединяются в классы универсальности с одинаковым критическим поведением. Универсальными величинами являются критические индексы - показатели в степенных законах поведения. Другим примером универсальных величин являются универсальные амплитуды. Простейшей из них является отношение амплитуд А+/А- в законах, описывающих сингулярное поведение теплоемкости при приближении к критической точке (при т —^ 0):
С(т) =т—>±0 А±\т\~а/и, (1)
где т - безразмерное отклонение от критической температуры Тс.
Предложенный Вильсоном в теории критического поведения метод ренормгруппы и е-разложения позволил рассчитать критические показатели и универсальные отношения амплитуд для многих статических физических моделей вплоть до высоких порядков теории возмущения. Аналогичные расчеты в динамических задачах намного сложнее и редко когда выходили за рамки однопетлевого приближения.
Основной задачей этой работы является ренормгрупповой расчет универсальных амплитуд и критических индексов (с двухпетлевой точностью) в двух задачах стохастической динамики путем исполь-
4
зования наиболее эффективного квантовонолевого варианта ренорм-групповой техники. Этими задачами являются Я-модель критической динамики, описывающая эффект критического замедления в окрестности критической точки перехода жидкость-газ, и стохастическая теория развитой турбулентности.
Для модели Я ранее (1976-78гг) в двух различных работах [1,2] были произведены двухпетлевые расчеты критических индексов и универсальной амплитуды Кавасаки. В первой работе [1] были рассчитана константа Кавасаки, а также индексы х\ — 4 — г — г] и Хц = г — й, выражающиеся через г - критическую размерность частоты, г) - статический индекс Фишера и с1 - размерность пространства.
Во второй работе [2] были рассчитаны отсутствующие в первой работе поправочные индексы ш. Однако приведенные в этой работе выражения для РГ-функций содержат явные опечатки и не согласуются с результатами первой работы.
Несмотря на столь явные противоречия, эти работы постоянно используются при обработке экспериментальных данных, а также в других теоретических работах, имеющих отношение к Я-модели. Поэтому была поставлена задача произвести расчет этих величин при помощи современной техники (размерная регуляризация, схема МБ и т.п.).
Вторая часть данной работы посвящена исследованию стохастического уравнения Навье-Стокса со случайной силой (модель Уайлда). Одной из главных задач последовательной статистической тео-
рии является обоснование знаменитого закона 5/3 для распределения энергии по размеру пульсаций
£(*;) = С'к82/Зк-5^, (2)
где £- скорость диссипации энергии на единицу массы. Этот закон был открыт Колмогоровым еще в 1941 году и неоднократно подтвержден экспериментально.
Метод РГ позволил успешно объяснить показатель 5/3. Однако вычисления безразмерной амплитуды С'К, предпринятые в нескольких работах методом РГ, неожиданно дали сильно различающиеся между собой результаты (все эти расчеты были произведены в однопетлевом приближении).
Рассмотрев упомянутые выше работы, мы выяснили, что подобные различия обусловлены тем, что авторы пытались вычислять е-разложение константы Колмогорова, тогда как эта величина не является универсальной и ^-разложение для нее не может быть определено однозначно. Поэтому константа Колмогорова не может быть вычислена при помощи теории возмущения непосредственно, а должна быть выражена через какую-нибудь универсальную величину.
Ниже кратко поясняется структура работы.
Обзор состояния исследований по теме диссертации приводится в основном тексте.
Глава 1 является вспомогательной. В ней изложена техника квантовополевой ренормгруппы в применении к задачам стохастической динамики.
О
В главе 2 проведен анализ Н-модели критической динамики. Произведен двухпетлевой расчет констант ренормировки, РГ функций и поправочных индексов. С точностью до вклада а2 вычислена константа Кавасаки 7?,. Также произведен анализ поправок к скейлингу. Показано, что двух поправочных индексов, введенных в работе [2], недостаточно для описания поправок к скейлингу.
Главы 3 и 4 посвящены исследованию стохастической модели турбулентности.
В главе 3 проведен расчет константы ренормировки, РГ функций и поправочного индекса с двухпетлевой точностью. Предложен новый способ вычисления диаграмм, основанный на независимости от инфракрасной регуляризации констант ренормировки и РГ функций и позволяющий существенно упростить вычисление двухпетлевых диаграмм.
В главе 4 проведен расчет скыоиес-фактора в инерционном интервале и константы Колмогорова. Предложен новый метод вычисления константы Колмогорова, лишенный указанного выше недостатка. Значение константы Колмогорова выражено через значение универсальной величины с хорошо определенным г-разложением.
7
1 Квантовополевая ренормгрупна в задачах стохастической динамики.
1.1 Стандартная форма стохастических уравнений
Под динамикой в широком смысле понимаются любые задачи с временем, в стохастической динамике речь идет о случайных величинах и их статистических характеристиках. В реальной ситуации сто-хастичность порождается внутренними причинами — хаотическими соударениями молекул из-за броуновского движения и т.п. На современном этапе математически строгое описание таких процессов очень сложно. Поэтому стохастичность обычно моделируют феноменологически путем введения в динамические уравнения “шума” — случайных сил или других параметров, обычно с гауссовым распределением. Гауссово распределение задается коррелятором шума, который подбирается из каких-либо физических соображений.
Стандартная задача стохастической динамики формулируется следующим образом:
д^(х) = и{х\ч>) + т](х), (г)(х)г)(х')) = Р(х,х'), (3)
где <р(х)- искомое ноле (система полей), и(х; <р) - функционал, зависящий только от полей и их производных в один и тот же момент времени и не содержащий производных полей по времени, г](х) - случайная внешняя сила, а г]{х) - любая ее конкретная реализация. Для т) пред-
8
- Київ+380960830922