2
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ .................................................... 5
ГЛАВА I НЕКОТОРЫЕ ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ, СВЯЗАННЫЕ С ДИАГНОСТИКОЙ ВНУТРЕННЕГО ТЕМПЕРАТУРНОГО СОСТОЯНИЯ
СТАЛЬНЫХ ЗАГОТОВОК................................ 18
§ I. Общая постановка задачи .......................... 18
§ 2. О единственности восстановления начальной
теше хату ры образца прямоугольного сечения по измерениям на некоторой части поверхности 22 § 3. О единственности восстановления начальной
температуры образца прямоугольного сечения
по показаниям движущегося датчика ................ 27
§ 4. О единственности восстановления начальной
температуры цилиндра по измерениям на поверхности (одномерная осесимметричная модель) 30 § 5. О единственности восстановления начальной температуры цилиндра конечной длины по измерениям на боковой поверхности (двумерная модель) ................................................. 34
§ 6. 0 единственности восстановления начальной температуры заготовки цилиндрической формы по показаниям датчика, движущегося по боковой
поверхности (трехмерная модель) ............... 38
§ 7. Формулировка алгоритмов численного решения
обратных задач ................................... 44
§ 8, Результаты математических экспериментов на ЭВМ по восстановлению начального распределения температуры........................................47
3
ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ВНУТРЕННЕГО ТЕПЛООБМЕНА ЗАГОТОВОК В
ТЕПЛОИЗОЛИРОВАННОМ КОНТЕЙНЕРЕ ..................... 50
§ I. Общая постановка задачи и вопросы выбора
различных моделей описания процесса ............... 50
§ 2. Математические модели и алгоритмы численного решения задач ..................................... 56
§ 3. Результаты расчетов на ЭВМ и их анализ 62
§ 4. О возможности статистического подхода к
моделированию внутреннего теплообмена 64
ГЛАВА 3. ОЦЕНКИ ТЕПЛОВЫХ ЭФФЕКТОВ ПРИ ГОРЯЧЕЙ
ПРОКАТКЕ ........................................... 73
§ I. Общая постановка задачи и выбор математических моделей описания процесса ....................... 73
§ 2. Алгоритм численного решения обратной задачи восстановления функции источника и его экспериментально-математическое обоснование .................................................... 78
§ 3. Модель и алгоритм расчета мощности тепловыделения и температурного поля заготовки
81
§ 4. Результаты математического моделирования
процесса прокатки и их анализ ..................... 87
4
ПРИЛОЖЕНИЕ I. О другом способе доказательства единственности восстановления начального температурного поля, связанном с анализом рядов Дирихле.. 91
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Некоторое обобщение теорем единственности восстановления температурных полей для
............... 94
ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Модель и алгоритм расчета внутреннего теплообмена заготовок, имеющих форму восьмигранников .............................................. 99
ПРИЛОЖЕНИЕ 4. Программы-датчики температурного состояния заготовок в теплоизолированном контейнере .................................................. 103
ПРИЛОЖЕНИЕ 5. Графики и таблицы ........................ 115
ЗАКЛЮЧЕНИЕ .................................................. 132
ЛИТЕРАТУРА .................................................. 135
5
ВВЕДЕНИЕ
1. В настоящее время метод математического моделирования физических процессов на ЭВМ широко применяется и при решении технологических задач организации производства
[1-?] . Если составлена математическая модель процесса,
то математический эксперимент позволяет воспроизвести его на ЭВМ, что даст возможность решать задачи управления.
Математическое моделирование предполагает, что технологический процесс может быть описан системой уравнений с известными краевыми условиями и параметрами, что не всегда возможно. В последнем случае часто можно воспользоваться методом обратных задач, алгоритмы решения которых доставляет теория регуляризации. Так, в работах [8~12использование метода обратных задач позволило провести моделирование конкретных процессов в целом.
2. Кафедра математики физического факультета МГУ, на которой выполнена настоящая диссертационная работа, развивает интенсивное сотрудничество с АВТО-ЗМ. В ходе этого сотрудничества в работах [ 5", решен ряд задач, ка-
сающихся конкретных технологических процессов.
Настоящее исследование связано с проектированием на ЗИЛе непрерывного технологического цикла. Речь идет об организации процессов разливки и термической обработки стальных заготовок таким образом, чтобы утилизовать отходы производства и свести к минимуму энергетические потери при переключении элементов технологического цикла. Такое направление
6
работы, отвечающее директивам ХХУ1 съезда КПСС, а также примыкающее к широко развиваемой проблематике математического моделирования, определяет ее актуальность.
В диссертации в рамках подходящих математических моделей решен ряд вопросов, относящихся к организации такого цикла.
Поскольку задачи управления процессом литья достаточно подробно изучены в специальной научной литерату2 ,
18- 2 1[ » они в наст0Я1Дей работе не затрагиваются. Задачи химико-термической обработки /закалка, цементация/ также изучены, в частности, в работах[14 17,22 ~25]• В настоящей диссертации рассматриваются вопросы, связанные с экономией энергии в процессах транспортировки и первичной термообработки заготовок. Необходимо отметить, что вопросами снижения потребления энергии в процессе непрерывного литья стали в последнее время занимаются и за рубежом /см.»например, [26']/. Тем не менее,эти вопросы еще не достаточно хорошо разработаны, и новизна возникающих здесь задач определяет и новизну полученных в диссертации результатов.
Научная достоверность конкретных результатов подтверждена точным математическим анализом проблемы, либо /для результатов методического плана/ численными экспериментами, а там, где возможно, - сопоставлением с данными эксперимента физического.
3. Основное содержание диссертации изложено в трех главах.
Первая глава посвящена задачам контроля над внутренним температурным полем заготовки, полученной методом непрерыв-
7
ного литья. Такой контроль необходим для оценок степени равномерности внутренней температуры и установления на их основе времени начала очередного этапа термообработки. Целью этой части работы является обоснование и планирование физического эксперимента, предназначенного для измерений температуры некоторой части поверхности. По данным этих измерений, представляющих собой априорную экспериментально доступную исходную информацию, необходимо определить внутреннее температурное поле заготовки как решение обратной задачи.
Обоснованию постановки эксперимента служит решение проблемы единственности восстановления начального температурного распределения / /поскольку при заданном </ температура в любой момент времени Ь >0 определяется однозначно/. Вопрос о восстановлении начального температурного поля рассматривался наряду с другими в работах [ 2 7 - 2 в . Однако постановкам задачи в [ 2 7? 2 8 ] соответствует заданное распределение температуры всюду в некоторый последующий момент времени. В [2 7, 2 £2 вопросы единственности не затрагивались . В работе [ 2 исследовалась единственность ре-
шения одномерной обратной задачи, причем в качестве дополнительной информации использовались показания датчика, движущегося равномерно по отрезку (О, 1) .В отличие от этого, в §§ 3,6 Главы I минимальной экспериментально доступной информацией для доказательства единственности неодномерных обратных задач служат данные о температуре на границе области, снимаемые движущимся датчиком в течение отрезка времени О < £1 - £ ^ • Проблема единственности рассмотрена
8
нами в рамках ряда конкретных линейных моделей. Установлены, в частности, следующие теоремы.
Теорема I. Двум различным начальным температурным полям
% (х, у) £ Я (х, УЛ {х> = { (К у) • о <х< ,
0< €г }, К* £ Кх , £ = 1-2 , отвечают различные
( Ко -класс функций / , имеющих ограниченные ^ у9
^ ------------
( К-1,2) в и ограниченную ^ в (^> ).
Теорема 2. Двум различным начальным у9 (Х,У) ~ф. У) (х,
уЛ (Х,У)еЯ> = {(Х>У):0<Х<е*у 0<*<ег.У, Ъ*К9,
отвечают различные (£) =-12 О, ■£), <> = 1,2
( /С -класс функций У9 , имеющих ограниченные ' Д/2 ^ (’Хг,Кг1,2) * и ограниченные ?
(КиК^1,2, К1 + К1<*) В Q).
Теорема 3. Двум различным начальным (%)
= <?**<£}, ^6 Р± , 5=1^,
отвечают различные ?$-£<,(£) = (2$ С (К, ±),
( ^ -класс функций (/ , имеющих ограниченные
2)^ И’ (И-1,2) в и ограниченную^1^ в <^) ).
Теорема 4. Двум различным начальным У* /'?’ V?, Х?
(1,г)£&={(?,?'): о<гг<£, 0<г*е}’ г,е<%\ ’
отвечают различные /5 = Л = (2$ (К 2 £)
<>=1,2, класс функций у9 , имеющих ограниченные (К~1?2) в ^ и ограниченную У в ).
Теорема 5. Двум различным начальным '/{('2,4', 2)^ Я С
7,г, 2) , (Гг)г}г)е& = {(гх?). о<г2<£> сх?<е,
отвечают различные
9
Ь--Ь(Ь)* пу£, О, 0<и<Ь*Ь,
0<п<ж, 0<и-6<е, ^и~ } , Лй,2,Ъ}...
( ^-класс функций ^ , имеющих ограниченные V
и ограниченные
Кг--1,2,Ъ.* а Ях
В Приложениях 1,2 приведены альтернативный метод доказательства единственности решения одной из рассмотренных обратных задач и некоторое обобщение Теорем 1,3,4.
Методическим результатом этой части исследования является разработка регуляризирующего по Тихонову оператора /РО/ для решения поставленных обратных задач, который заключается в нахождении решения уравнения Эйлера у> г о1 /_, Л =
/ГзоЛ . где А - линейный интегральный опера-тор прямого отображения, Д * -сопряженный оператору Д ,
$ -неточно заданная температура части поверхности, о1 -параметр регуляризации, который выбирался квазиоптимальным способом.
С помощью этого алгоритма проведен численный эксперимент на ЭВМ по восстановлению начальной температуры. В результате установлена эффективность РО и даны оценки точности, с которой должна быть измерена температура поверхности для получения нужной точности прогнозирования.
Разработанная программа-датчик температурных состояний может в перспективе служить целям оперативного прогнозирования в комплексе с измерительной установкой.
В дополнение к изложенному выше следует заметить, что разработанная в Главе I методика восстановления внутреннего
10
температурного поля детали по измерениям температуры на ее поверхности может быть эффективно использована и в других технологических задачах. Примером этого может служить, в частности, задача определения температуры конца штамповки вытяжкой [ Ъ 1^ •
Во второй главе рассматривается задача, связанная с транспортировкой заготовок квадратного сечения от места отливки к месту последующей термической обработки. Предполагается, что в целях экономии тепловой энергии заготовки помещаются в теплоизолированный контейнер. Такой контейнер, наряду с сохранением тепла заготовок, способствует выравниванию их температур, что важно для последующей обработки.
Задача состоит в том, чтобы оценить время теплообмена в контейнере £ * до установления квазиравномерного распределения и средний температурный уровень /А , а также оптимальные размеры контейнера с учетом плотности упаковки заготовок, при которых стационарное поле формируется в приемлемые сроки.
Это задача решалась с помощью серии математических экспериментов. Для этой цели разработана экономичная /точечная/ модель процесса теплообмена, позволяющая проводить расчеты трехмерной конфигурации заготовок. Процесс теплообмена описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений, имеющей общий вид
й~Г(и)> О-Оа), ь>о,
1/(0) = Ос ,
где ]}- { и; {'б)} -температуры выбранной системы конеч-
II
ных элементов { Т} как функции времени Ь
В двумерном варианте модель опробирована сопоставлением с более точной, описываемой системой уравнений в частных производных. Относительное расхождение результатов при расчетах времени теплообмена £ * В обеих моделях не превосходит 24I, что соответствует различиям в температурных полях, не выходящим за границы допуска при оценках степени равномерности нагрева £ 1 4
Установлено, что величина / * существенно возрастает с увеличением размеров контейнера. Тем самым, малые контейнеры более экономичны. Установлена также зависимость времени теплообмена от величины воздушного зазора между заготовками 8 /см. Рис. 12 /. Это дает возможность выбрать оптимальную внутреннюю конструкцию контейнера. В Приложении 3 приведены также алгоритм и результаты расчетов времени теплообмена заготовок, имеющих форму восьмигранников.
Результатом работы над этой проблемой являются также программы-датчики, предназначенные для диагностики температурного состояния системы заготовок в контейнере /Приложение 4/.
Наряду с этим во второй главе даны среднестатистические оценки уровня температуры в квазиравновесном состоянии ОС по ансамблю начальных распределений, поскольку последние носят статистический характер. Именно, на основании неравенства Чебышева получены вероятностные оценки вида
12
Р{ II №(*) £> (х, ^)Ис(я) ^ &),
где и (X 7 Ь , и> с 3 )
-температура, рассматриваемая как функция пространственных координат X = {Л<} , времени -£ и независимых случайных величин СО[\ » (х,"Ь) -математи-
ческое ожидание /среднее значение/ величины (/_ , £> -задаваемый уровень отклонения температуры от среднего значения. Рассмотрены двух- и трехмерные модели плотной упаковки заготовок.
В третьей главе изучается задача о перераспределении температурного поля заготовок, подвергаемых горячей поперечно-винтовой прокатке. Оценка соответствующего эффекта позволит уменьшить энергоемкость последующих стадий процесса термообработки.
Основные элементы теории прокатки /геометрия и кинематика процессов, напряженно-деформированное состояние металла в очаге деформации, направление и действие сил трения на контактной поверхности, расчет усилий и моментов прокатки, тепловой расчет станов/ достаточно подробно изложены как в учебной, так и в специальной технической литературе/ см., напри-мер, [32-34] /• Ляя проведения инженерных расчетов имеются надежные и опробированные формулы, использующие также накопленный экспериментальный материал. Содержанием настоящего исследования является математическое моделирование на ЭВМ тепловых процессов внутри заготовки и на ее поверхности, происходящих в течение прокатки, с использованием некоторых элементов теории прокатки, а также математических методов теории
- Київ+380960830922