- 2 -
Оглавление
1. Введение 10
2. Элементы стандартной модели электрослабых взаимодействий и ее некоторые расширения 17
2.1. Элементы стандартной модели электрослабых взаимодействий и массы................................ 17
2.2. Динамический аналог матриц Кабиббо-Кобаяши-Маскавы или динамическое расширение модели слабых взаимодействий...............................27
2.2.1. Модель динамического аналога матрицы Ка-биббо.......................................... 28
2.2.2. Модель динамической аналогии матрицы Кобаяши - Маскавы...............................31
2.2.3. Реакции, идущие через В±УС±. Ос, Е± бозоны и оценка их масс.............................34
2.2.4. Оценка сечения рождения и ширин распадов векторных бозонов...........................36
- 3-
2.2.5. Расчет недиагонального массового члена при 7г <г+ К мезонных переходах в модели динамической аналогии матриц Кабиббо-Кобаяши-Маскавы.........................................38
2.3. Место майорановского нейтрино в стандартной модели слабых взаимодействий с дираковскими фермионами и безнейтринный двойной бета распад в рамках стандартных слабых взаимодействий 43
2.3.1. Место майорановского нейтрино в стандартной модели слабых взаимодействий с дираковскими фермионами.............................43
2.3.2. Возможна ли реализация майорановского нейтрино и безнейтринный двойной бета распад в рамках стандартных слабых взаимодействий? ......................................49
Майорановское нейтрино....................51
Возможен ли безнейтринный двойной (3 распад в слабых взаимодействиях, если предположить, что нейтрино является майорановской частицей? . . 55
2.4. Выводы из главы 2............................. 61
3. Феноменология смешивания и осцилляции мезонов 65
3.1. Ароматические числа ......................... 65
3.2. Схема смешивания мезонов .....................66
- 4-
3.3. Вакуумные осцилляции К0К°2 {Б0> В0,
мезонов.......................................... 69
3.3.1. 7 р° смешивания (осцилляция?) .79
3.4. тг* о К± смешивания (осцилляции) ................80
3.4.1. Вероятности вакуумных тг <-> К переходов (осцилляций).................................... 81
3.4.2. Вероятности 7г К переходов (осцилляций) с учетом тг-мезонпых распадов 84
3.4.3. Кинематика процесса рождения К мезона . 87
3.5. Выводы из главы 3................................88
Л. Феноменология смешивания и осцилляции нейтрино 89
4.1. Лептонные числа..................................89
4.2. Стандартная схема смешивания нейтрино............91
4.3. Вакуумные осцилляции нейтрино....................94
4.3.1. Стандартная схема вакуумных осцилляций
и ее развитие...............................98
4.3.2. Осцилляций нейтрино в схеме массовых смешиваний без изменения массы нейтрино . . 105
4.3.3. Механизм нейтринных смешиваний через заряды (константы связи слабых взаимодействий) ......................................112
4.4. Поиск вакуумных осцилляции ускорительных, реакторных и атмосферных нейтрино.....................114
4.4.1. Изучение вакуумных осцилляции нейтрино в ускорительных экспериментах.................115
4.4.2. Изучение вакуумных осцилляций нейтрино в реакторных экспериментах....................118
4.4.3. Изучение осцилляции атмосферных нейтрино ..............................................120
4.5. Выводы из главы 4...............................128
Осцилляция нейтрино в веществе 132
5.1. Механизм резонансного усиления осцилляции нейтрино в веществе и его критический анализ .... 132
5.1.1. Механизм резонансного усиления осцилляции нейтрино в веществе и схема его работы 133
5.1.2. Критический анализ уравнения Вольфен-штейна, из которого получено резонансное усиление осцилляции нейтрино в веществе . 137
5.1.3. Нейтрино с гипотетическим лево-право-симмег-ричным слабыми взаимодействиями и резонансное усиление осцилляции нейтрино
в веществе.................................142
5.1.4. Реальные нейтрино в веществе и проблема реализации механизма резонансного усиления осцилляции нейтрино..........................148
-6-
Можно ли всю энергию взаимодействия нейтрино с веществом перевести (перекачать) на изменение эффективной массы нейтрино? 151
5 2 Механизм накопления осциллирующих нейтрино
разных масс в веществе 155
5 3 Черепковский эффект в слабых взаимодействиях, генерированный нейтрино и новый подход для оценки массы нейтрино 163
5 3 1 Элементы механизма резонансного усиления осцилляций в веществе 163
5 3 2 Черепковский эффект, вызванный слабы-
ми взаимодействиями нейтрино в веществе и новый подход для оценки массы нейтрино 164
5 4 Выводы из главы 5 168
6. Проблема дефицита солнечных нейтрино и ее возможное решение 173
6 1 Элементы стандартной солнечной модели (ССМ) 173
6 2 Краткое описание экспериментальных установок
по измерению потока солнечных нейтрино, измеренные на них потоки и расчеты 178
6 2 1 3'С7 —37 Ar эксперимент (Хоумстейк, США) 178 6 2 2 Детекторы Kamiokande и Super-Kamiokande
(Япония) 180
Камиоканде (Япония) 180
- 7-
Super-Kamiokande (Япония)..................180
6.2.3. 71Ga -71 Ge (GALLEX) эксперимент в Gran Sasso (Италия).............................184
6.2.4. 7lGa —71 Ge (SAGE) эксперимент на Баксане (Россия)...................................184
6.2.5. Детектор SNO (Канада).....................186
6.2.6. Модельно-независимый подход к изучению осцилляции солнечных нейтрино из данных
SNO (расчет) ..............................189
Реакции и используемые приближения . . . 189 Схемы поиска нейтринных осцилляций ... 190
6.2.7. Детектор Борексино (Borexino, Gran Sasso, Italy) ..........................................194
6.2.8. Расчет числа нейтринных событий, которые будут регистрироваться на детекторе Борексино от потока солнечных нейтрино
с энергией Еи = 0.862 МэВ .................195
Поток солнечных нейтрино от реакции Ве-\-е~ -э7 Li 4- ^с, рассчитанный в рамках стандартной солнечной модели 198 Сечение упругого рассеяние ve + е~ —ь ие + е~ 199 Характеристики жидкого сцинтиллятора в
детекторе Борексино................201
-8-
Оценка числа нейтрино, которые будет регистрироваться в детекторе Борек-сино от солнечных нейтрино с —
0.86*2 МэВ.........................202
G.3. Проблема дефицита солнечных нейтрино и ее возможное решение...................................203
6.3.1. Нейтрино - антинейтринные осцилляции . 204
6.3.2. Осцилляции майорановских нейтрино .... 206
6.3.3. Механизмы усиления осцилляции нейтрино в веществе (внутри Солнца)....................209
Механизм резонансного усиления осцилляции нейтрино в веществе....................209
Механизм накопления нейтрино разных масс
в веществе.........................211
6.3.4. Переворот спина нейтрино в магнитном поле Солнца........................................212
6.3.5. Распад нейтрино...........................214
6.3.6. Модификация ССМ ..........................214
6.3.7. Вакуумные осцилляции нейтрино.............215
6.3.8. Решение проблемы дефицита солнечных нейтрино ...........................................216
6.4. Выводы из анализа экспериментальных данных и теоретических схем по осцилляциям нейтрино и возможное решение проблемы дефицита солнечных нейтрино .....................................220
7. Заключение
\
225
A..Приложение А. Смешивания (осцилляции) нейтрино в механизме зарядовых смешиваний 234
B..Приложение Б. Общие выражения для волновых функций и вероятностей при трехнейтринных переходах (осцилляциях) в вакууме в зависимости от времени 238
Литература
254
-10-
Глава 1 Введение
Эта диссертация посвящена актуальной и важной проблеме смешивания (осцилляции) мезонов и нейтрино и дефицита солнечных нейтрино.
Осцилляции мезонов ( т.е. К° —» К0 переходы) были теоретически |1] и экспериментально [2] изучены в 50-ых и 60-ых годах. В последние годы было понято, что процесс осцилляции мезонов идет как двухстадийный динамический процесс |3, 4, 5, б]. Детальное изучение осцилляции мезонов важно, т. к. теория осцилляции нейтрино строится по аналогии с теорией осцилляции мезонов.
История физики нейтрино началась с письма В.Паули Тюбингенскому физическому обществу (7], в котором он постулировал существование новой частицы - нейтрино, чтобы объяснить наблюдаемый непрерывный спектр электронов от ядерного бета-распада. Ознакомившись с этой гипотезой Паули, Ферми предложил свою знаменитую теорию бета-распада [8]. Впервые взаимодействие, вызванное нейтрино, наблюдалось в эксперименте Райниса и Коуэна (9].
Помимо электронного нейтрино, испускаемого в ядерном бета-распаде, были открыты два других нейтрино: мюонное нейтрино 110) и тауонное
- 11 -
нейтрино [11]. Дальнейшее развитие эксперимента и теории привели к созданию современной модели электрослабых взаимодействий [12], которая в расширенном виде с включением всех поколений лептонов и кварков получила название - стандартная модель электрослабых взаимодействий.
Предложение о возможности осцилляции нейтрино но аналогии с К°, К° осцилляцией (т.е. возможность нейтрино - антинейтринных осцилляций і/ -¥ Р), было рассмотрено В. Понтекорво (13] в 1957 г. В последующем была выдвинута гипотеза о возможности смешивания (и осцилляции) нейтрино разных типов ( т. е. іус —» іум переходов) Маки Z. и др. (14] (1962) и В. Понтекорво [15] (1967 г.)
Несмотря на большие успехи стандартной модели, она все же нуждается в расширении и обобщении, так как в нынешнем виде она не объясняет существование семейств кварков и лептонов и не описывает их массы и смешивания [16]. Изучение свойств нейтрино является одним из путей, которые могут привести к новой физике, и это делает весьма интересным изучение нейтрино. Одним из интересных вопросов является существование массы у нейтрино, на что имеются экспериментальные указания [17]. Кроме этого, тот факт, что в заряженном токе слабых взаимодействий нейтрино участвуют симметрично вместе с заряженными лептонами, указывает на то, что нейтрино является массивной частицей [18].
Другой аспект физики нейтрино - проблема лептонных семейств и связанные с ними законы сохранения лептонных чисел. С помощью нейтрино можно с большой точностью проверить законы сохранения лептонных чисел.
-12-
Проблема солнечных нейтрино возникла после первого опыта по измерению потока нейтрино от Солнца 37 С1 —37 Ar методом [19]. Этот метод строится на том что, взаимодействия ис с хлором 3,С/
ve +37 CI ->37 Ar + e“
приводят к превращению Л7С1 в 31 Ar . Далее, родившиеся атомы 3‘Аг извлекаются из емкости и, используя реакцию обратного распада
37 Л г ->37 С1 + ise + е+,
подсчитывается число образовавшихся атомов 37Ar с учетом эффективности извлечения. Поток, полученный этим методом, оказался в несколько раз меньше, чем ожидался из расчетов по стандартной солнечной модели (ССМ) [20]. В работе [21] была высказана идея о возможности объяснения дефицита солнечных нейтрино за счет осцилляций нейтрино.
Дж. Бакалом и др. были уточнены параметры ССМ и произведен расчет светимости и потока нейтрино от Солнца [22], обеспечиваемых ядерными процессами [23], протекающими внутри него. Поток энергии Солнца обеспечивается двумя циклами: рр и CNO (см. п.6.1). При этом основной поток нейтрино возникает в рр цикле. Следует отметить, что доля энергии, приходящейся на нейтрино (т.е. прямо уносимая нейтрино), составляет несколько процентов от полной энергии, выделяемой в ядерных реакциях на Солнце. Основная доля энергии, выделяемая в этих реакциях, уходит от Солнца в виде тепловой энергии. Впоследствии. когда результаты эксперимента в Камиоканде [24] подтвердили наличие дефицита солнечных нейтрино относительно расчетов по ССМ, одним из привлекательных подходов для объяснения дефицита
-13-
солнечных нейтрино стало резонансное усиление осцилляций нейтрино в веществе [25]. Резонансное усиление осцилляций нейтрино в веществе было получено из уравнения Вольфенштейна для нейтрино в веществе [26]. В основе механизма резонансного усиления осцилляции нейтрино в веществе лежит предположение о том, что эффективные массы электронного и vfn vT нейтрино, возникающие за счет разности их взаимодействия с веществом (ие взаимодействует с веществом через W, Z бозоны, а V,,. 1УТ только через Z бозоны) будут приводить к примерному равенству этих масс при соответствующих плотностях вещества, и это будет приводить к резкому росту угла смешивания нейтрино в веществе. Однако, в работе автора [27] было замечено, что уравнение Вольфенштейна для нейтрино в веществе является уравнением для нейтрино, где нейтрино взаимодействует с веществом не через слабые взаимодействия, а через гипотетическое взаимодействие, которое является лево-право симметричным (более детальное обсуждение этого вопроса см. глава 5). Так как в стандартных слабых взаимодействиях принимают участия только левые компоненты нейтрино, то результаты, полученные из уравнения Вольфенштейна. не имеют прямого отношения к реальным нейтрино, т.е., остается открытым вопрос о доказанности возможности реализации механизма резонансного усиления осцилляции нейтрино в веществе. Было также обнаружено [175], что в уравнении Вольфенштейна [26] предполагается, что энергия нейтрино в веществе изменяется, а его импульс остается неизменным (т.е. закон сохранения энергии-импульса не выполняется). В решении уравнения, в котором учитывается изменение не только энергии но, а также импульса нейтрино в веществе, отсутствует сколь заметное усиления осцилляций нейтрино в солнечном веществе.
- 14 -
Далее были получены первые результаты на 71 Ga -71 Ge эксперименте в Gran Sasso [28], которые в пределах За не противоречили расчетам по ССМ. Новые данные из SAGE эксперимента [29] достаточно близки к результатам Gran Sasso.
В работе автора [30] предложен новый механизм усиления осцилляции нейтрино в веществе, который реализуется за счет слабых взаимодействий осциллирующего нейтрино с веществом, если толщина этого вещества достаточно большая (см. гл. 5). Появились данные |31|, которые можно интерпретировать как проявление осцилляции атмосферных нейтрино, наблюдаемых сквозь толщу Земли (см. п. 4.4).
В последующем в работах автора |32| было показано: из-за того, что слабые взаимодействия не могут генерировать массу, из-за кираль-ной инвариантности лагранжиана слабых взаимодействий, при реализации механизма резонансного усиления осцилляции нейтрино в веществе закон сохранения энергии-импульса будет нарушаться. Экспериментальные данные, полученные в Super-Kamiokande (Япония) по энергетическому спектру солнечных нейтрино и эффекту вариации день-ночь (см. [33] и п. 5.1) не подтверждают этот механизм. А именно, энергетический спектр солнечных нейтрино не имеет излома, а эффект день-ночь не наблюдается.
Кроме отмеченных выше установок, регистрирующих солнечные нейтрино, в настоящее время запущена установка Super-Kamiokande |33[ для регистрации солнечных [34] и атмосферных нейтрино [35]. На этой установке при изучении атмосферных нейтрино [36] получены указание на переход в vT и при этом угол их смешивания близка к максимальному. Запущена установка SNO [37] для регистрации
-15-
нейтрино от Солнца. Па этой установке получены исключительно важные результаты [38], которые указывают на наличие смешивания между нейтрино различных типов и при этом углы смешивания близки к максимальным. Полученные на ЭНО данные можно будет использовать для модельно-независимого анализа осцилляций нейтрино. Также появились новые данные, полученные на установке КатЬАИО (Япония) [39] по изучению йс —» 0И переходов от реакторных антинейтрино, где также получены указания на наличие таких переходов с углом смешивания близким к максимальному. Анализ результатов этих экспериментов вместе с результатами расчетов по Стандартной солнечной модели [40) дают вполне надежное указание на наличие переходов между нейтрино различных типов с углами смешивания близким к максимальным углам. В работах автора [41, 42, 43] было найдена интерпретация недиагональных массовых членов массовой матрицы, которая используется в стандартной схеме осцилляции, оказалось что их можно интерпретировать как полуширины переходов между нейтрино. Кроме стандартной схемы смешивания (осцилляций) были также предложены ещё два механизма смешивания (осцилляции) нейтрино )42, 43).
Особый интерес представляет вопрос: какой тип и какая схема осцилляций реализуется в природе? Диссертация также посвящена изучению этих вопросов. Итак, к настоящему времени можно считать доказанным наличия смешивания (переходов) между нейтрино, и имеются указания на наличия осцилляции нейтрино, но строгое доказательство пока не получено. Для этого необходимо зарегистрировать вторые или более высокие моды осцилляций. Также требуется уточнения параметров перехода между нейтрино в земных длинобазисных
-16-
экспериментах с большой статистикой, которые можно, в дальнейшем использовать, для детального изучения процессов в глубине Солнца, а также ядерный его состав.
В литературе широко обсуждается вопрос о том. является ли нейтрино дираковской или майорановс.кой частицей (15], |21|? Автором показано, что предположение, о том, что нейтрино является майора-новской частицей нарушает калибровочную инвариантность и противоречить экспериментальным данным по ускорителям (44). Нейтрино и антинейтрино в слабых взаимодействиях рождаются с противоположными спиральностями. Тогда в кирально инвариантных слабых взаимодействиях одновременно не могут рождаться нейтрино и антинейтрино. Майорановское нейтрино есть частица со спином 5 = ^ у которой (левая) проекция $ = сопоставляется с нейтрино, а (правая) проекция 5 = сопоставляется с антинейтрино. Это в свою очередь означает, что в слабых взаимодействиях не может реализоваться безнейтринный двойной бета распад.
Основная часть диссертации строится на материале обзора автора [45] и последующих работах автора. Диссертация состоит из 7 глав. 1-ая это-Введение, а 7-ая глава-Заключение. 2-ая глава посвящена изложению элементов модели электрослабых взаимодействий и обсуждению модели динамической аналогии матриц Кабиббо-Кобаяши-Маскавы. место майорановекого нейтрино в стандартной модели. 3-ая глава посвящена обсуждению феноменологии смешивания и осцилляции мезонов. 4-ая глава посвящена обсуждению феноменологии смешивания и осцилляции нейтрино. 5-ая глава посвящена обсуждению осиилляп.ий нейтрино в веществе. В б ой главе обсуждается проблема дефицита солнечных нейтрино и ее возможное решение.
-17-
Глава 2
Элементы стандартной модели электрослабых взаимодействий и ее некоторые расширения
К настоящему времени установлено существование трех семейств пептонов и кварков (46]
и ; с „„ ; и (2Л)
с1 е Б 1У Ь т
В стандартной модели слабых взаимодействий 112], т. е. при обмене IV и Z бозонами, не происходят переходы между разными семействами кварков и лентонов.
2.1. Элементы стандартной модели электрослабых взаимодействий и массы
В настоящее время все имеющиеся экспериментальные данные хорошо согласуются со стандартной моделью электрослабых взаимодействий
-18-
[12], предложенной Глешоу-Вайнбергом-Саламом. Приведем основные элементы этой теории.
В лагранжиан этой теории входят левые дублеты лептонов и кварков
Фа =
/ \
VI
ч1/*
, 1 = е,ц,т,
г — 1 г = 2 г = 3
\ \ . \ и с Ь ,
Фи, = , , , (2-2)
\ ^ 5 /£ 6 //,
и правые синглеты заряженных лептонов и кварков.
Ф»я = ЗД-. ОД, од; £д-. 6д; Ф*д.
Модель строится на локальной группе 56г(2)я х £/(1) и содержит две константы связи <7, </, и удлиненные производные имеют следуЕО-щий вид:
деФц
-
да^1Я ~ д0Ф*д ->
да ~ гдТ-А'а - гд'Уи”'Ва
да ~ гд^Л'а - гд'Г^кВа
Фи,
Фи,
д„ - <|ти»В„ да - г1-т'"лгкв„
Ф(Л,
ф.я,
(2.3)
- 19-
где Ага, В0- калибровочные поля, ассоциированные с SU{2)i и U( 1) -группами; Т - гиперзаряд лептонов и кварков.
Аналогом соотношения Гелл-Манн-Нишиджимы в рассматриваемом случае является соотношение
Q = (2.4)
где Q - электрический заряд, а Т3И - третья проекция слабого изосиина.
Для гиперзаряда лептонов и кварков из выражения (2.4) получаем значения
Тlepl = _1( Т£ШГ* = 1 (2 5)
О
T'jf = -2, ТУ'7* = 2e„
где е7 - электрический заряд соответствующих кварков.
Из (2.3) и (2.5) по стандартной схеме можно прийти к следующему выражению для лагранжиана взаимодействия
С, = igjK’aAZ + ig+jr-°Ba, (2.6)
где ^
jK,a = £ t7aL_,p( t+
»=1 Z
Е (2.7)
1=6,ц.т *
а
1/’“ = Г - 23’“, (2.8)
(jem'a- электромагнитный ток кварков и лептонов).
При переходе от полей Ва к полям Za, Аа
Za = Al cos Q\v - Ва sin $w> (2.9)
- 20-
Aq = A'l sin Ow 4- Вa cos Qwi
лагранжиан взаимодействия для полей ZQ, АС1 приобретает следующий вид:
С, = i—L—j^Za + ief" nAai (2.10)
I COS vw
где j°,a = 2j3cr -2 sin2 0wJem'a - нейтральный ток стандартной модели.
Заметим, что лагранжианы (2.6) и (2.10) получены для дираков-ских (частиц) лептонов и кварков с зарядами длд* или е,д с использованием принципа локальной калибровочной инвариантности. При требовании SU(2)/, х /7(1) калибровочной инвариантности массы всех частиц должны равняться нулю, т.е. в этой теории, из-за его левостороннего характера, не могут появляться массы у частиц [47, 48).
Давайте покажем, что в стандартной электрослабой модели, т. е. в модели слабых взаимодействий, входящей в эту модель как составная часть, массы у частиц не могут появляться за счет этих взаимодействий.
Рассмотрение мы будем проводить для /7(1) теории.
Уравнение Дирака для гр = фц + имеет вид:
{Е + <т%Нх)фь - Мфл = 0, г = 1 - 3, (2.11)
(Е - <TtHt)ipR - Мфь = 0, Е = с - еА4, где Я1 = Рг — еАг. <7t - матрицы Паули.
То же самое уравнение в новых переменных, не учитывающее взаимодействие через Лд, можно записать в виде:
(Е' + ОгР^ь- М'гря = 0,
(2.12)
ч
- 21 -
(& - агР^н - М'фь = 0. Из (2.11) и (2.12) получаем
((В -£?) + ах(Н1 - р;))фь = АМфн, ((Е - Е') - аг(Нг - Р.;))фЕ = АМфь,
(2.13)
где ДМ = М — М\
что вклад взаимодействия через поле Л,, ведет к появлению разности масс ДМ, которая симметрична по отношению к правой и левой компонентам фермиона. Далее, используя (2.13) мы можем рассмотреть случай, когда во взаимодействии принимает участие только левая компонента спинора, как это имеет место в теории слабых взаимодействий. Тогда, (2.13) можно переписать в виде:
т. к. фь отличен от нуля в (2.14) то ДМ = 0.
Итак, если только левая компонента спинора принимает участие во взаимодействии, то масса фермиона не меняется. Не представляет труда обобщить рассмотренный случай 1/(1) теории на 5ЪГ(2) теорию, и мы приходим к выводу, что из-за отсутствия правых компонент в слабых взаимодействиях, кварки и лептоны не могут получить массы в этих взаимодействиях.
Чтобы получить массы частиц стандартная модель электрослабых взаимодействий, основанная на предположении 5(/(2Д х 1/(1) - ка-
((Е - Е') + <т,(Нг - Р^))Фь = О,
0 = А Мфь
(2.14)
-22-
либровочной инвариантности, нарушается спонтанно до (/(1)) через механизм Хиггса [49].
Кратко рассмотрим этот механизм. Это рассмотрение будет проводиться одновременно для трех семейств кварков. При этом появляются смешивания (или переходы) между семействами кварков.
Вводится дублет скалярных хиггсовских полей
с гиперзарядом, равным единице (2.4). Предполагается, что этот дублет взаимодействует с векторными и с фермионными полями таким образом, что локальная калибровочная инвариантность не нарушается. К лагранжиану электрослабой модели подключается хиггсовский потенциал К(Ф+,Ф)
(к./л2 - положительные константы), который приводит к вырождению вакуума и к ненулевому вакуумному среднему < Ф° > поля Ф°.
'Го есть (фиксируя вакуумное состояние) мы можем генерировать массовый член полей промежуточных бозонов, фермионов и хиггсовского бозона. В качестве примера рассмотрим схему получения массы кварков. Для этой цели используется лагранжиан юкавовского типа, который является Зи{2)1 х Ц( 1) инвариантом
ф(°)
\ /
V (Ф+; Ф) = к( Ф+,Ф)2 - ^2(Ф+,Ф),
(2.15)
(2.16)
(2.17)
- 23-
Со =
^ Е Ф^М,2,дйФ + Н.С.,
где М1,М2 - комплексные 3x3 матрицы, а Ф
Ф = гт2<У =
(2.18)
есть дублет хиггсовских полей с гиперзарядом, равным (-1).
Учитывая (2.16) и используя калибровочную инвариантность лагранжиана (2.13), (2.17), можно выбрать (в унитарной калибровке)
Ф(.т) =
О
^72 /
Ф(.т) =
( Лч Я°(х)
72
о
(2.19)
где 11°{х) нейтральное скалярное поле Хиггса.
Подставляя (2.19) в (2.17) мы получим следующие выражения для масс кварков
£1 = ~р1^'\Ря + (2.20
£2 = -ПьМ'ъПп + Я. с.,
где
/ \ иьл / \ йья
/->ДЛ =
Итак, элементы массовой матрицы кварков М'\, М'г совпадают с константами юкавовской связи кварк - Хиггс - бозон с точностью до фактора \/2/А.
Диагонализация матриц М\ и Л//'2 в (2.20) осуществляется стандартным способом [50)
М\ = иьтхи^ (2.21)
- 24-
М' 2 = Уьт2У^
где ЬТ1д и Ущ - унитарные матрицы, а гп1,т2 - диагональные матрицы с положительными элементами. Тогда выражение для массового лагранжиана (2.20) приобретает вид:
С — С\ + С2 = -р'ггцр — п'т2п = (2.22)
= Е тчс1 </; р' = р'ь 4- р'Л> п' = п'1 + п'д,
Я=и,..
где
/М.я = = ^1Яп^Л' (2.23)
и с/(х) -> с1'(х), $'{х), ...,^(х) - кварковые поля с определенными массами.
При учете (2.23), выражение для заряженного и нейтрального токов кварков приобретает вид:
7(+)о = 2рц°пь = 2р'г,7“Укмп'ь,
|pV V + (-фп'УV
/“ = ЙУУ* - n'Lyan'L- (2.24)
-2 sin2
где 14-
Индекс ЯМ матрицы К связан с именем ученых Кобаяши-Маскавы, впервые получивших вид этой матрицы в параметризованном виде
|5Ц-
Рассмотрим параметризацию матрицы V = Укм-Унитарная 3x3 матрица V
-25-
I/ =
1 УиЛ Ка Кб
Уы К, Усь Уы Уи Кб
(2.25)
содержит 9 параметров
N = 2 • З2 - З2 = 9.
(2.26)
Из этих 9 параметров, после учета унимодулярности, остаются 8. Из них
2 • 3 - 1 = 5,
5 параметров являются нефизическими, которые мы можем включить как фазы в ферм ионы. Остающиеся 4 параметра
К = 9 — 5 = 4,
являются физическими параметрами. То есть матрица (2.25) параметризуется четырьмя физическими параметрами. Из этих четырех параметров 3 являются параметрами, которые производят ортогональные повороты, а один угол есть фазовый множитель. Из общих выражений
Пто1 = 7^п{п - 1), Пр^азе = ^(п - 1 )(п - 2), (2.27)
при п = 3 получаем пго1 — 3. а пр^с = 1.
Приведем в явном виде параметризацию матрицы Кобаяши-Маскавы |50] (в которой использованы углы Эйлера #1, $2, $3 и фаза 6 )
1 0 о' / С] •51 0 ] 1 1 0
0 с2 в2 -5! О 0 0 сз 53
1 0 \ -52 С’, 1 0 0 ехр^б) -5з
(2.28)