Содержание
Введение 3
Экситон Ванье-Мотта............................................ 3
Экситонные ноляритоны ............................................ 10
/
Основное содержание диссертации................................. 22
Основные положения диссертации, выносимые на защиту .... 26
1 Энергетический спектр экситона в нанотрубке 27
1.1 Уравнения движения электрона и дырки на цилиндрической поверхности................................................ 27
1.2 Движение зарядов на однослойной
нанотрубке................................................. 29
1.3 Относительное движение электрона и
дырки на поверхности цилиндра.............................. 31
1.4 Адиабатическое приближение в случае
малых радиусов цилиндра.................................... 33
1.5 Движение экситона на цилиндре
большого радиуса .......................................... 37
1.6 Численное решение уравнения для нанотрубок произвольного радиуса.................................................... 40
1.7 Движение электрона и дырки на
поверхности двухслойного цилиндра.......................... 43
1.8 Обсуждение результатов...................................... 48
2 Бозе-конденсат экситонных поляритонов в ловушке оптической микрополости 51
2.1 Система уравнений типа Гросса-Питаевского для двухкомпонентного газа................................................. 51
0^
1
Содержание . 2
2.2 Аксиально-симметричная экситонная
ловушка.................................................. 55
2.3 Приближение Томаса-Ферми.................................. 59
2.4 Результаты и обсуждение................................... 62
3 Вихревые решения в поляритонном конденсате 69
3.1 Общие уравнения........................................... 69
3.2 Стационарные вихревые решения в
двухкомпонентном конденсате............................. 72
3.3 Аналитическое и численное решения на различных масштабах задачи.................................................... 74
3.4 Обсуждение результатов.................................... 80
4 Осцилляции фазы и плотности экситонной и фотонной подсистем поляритонного конденсата 82
4.1 Общие уравнения эволюции плотностей и фаз компонент конденсата ................................................... 82
4.2 Равновесная система с постоянным
числом частиц ;.......................................... 85
4.3 Система с переменным числом частиц........................ 91
4.4 Обсуждение результатов................................... 100
Заключение 102
Публикации автора по теме диссертации........................ 104
Цитируемая литература........................................ 106
Введение
Диссертация посвящена исследованию возбуждений, таких как экситоны и эксигонные поляритоны, в полупроводниковых структурах пониженных размерностей, в частности, вычислению энергии основного состояния экситона на поверхности однослойных и двухслойных нанотрубок и определению профилей экситонной и фотонной составляющей поляритонного бозе-конденсата в плоской полупроводниковой оптической микрополости при наличии внешнего потенциала, поиску устойчивых вихревых решений в системе, а также анализу временной эволюции компонент поляритонного конденсата в равновесии и при наличии накачки и утечки частиц.
Экситон Ванье-Мотта
Фундаментальное понятие об экситоне как о возбуждении в кристалле было введено Френкелем в 1931 году [1]. Все экситоны пространственно компактны: кулоновское притяжение между отрицательно заряженным электроном и положительно заряженной дыркой удерживает их вместе в координатном пространстве. В зависимости от структуры решетки, степени перекрытия волновых функций валентных электронов агомов и диэлектрической проницаемости, радиус экситона варьируется от размера одного атома, т. е. порядка ангстрема (экситон Френкеля), и до нескольких сотен атомов, охватывая в этом случае множество ячеек кристаллической решетки (экситон Мотта, см. ниже). Вместе с тем, в силу трансляционной симметрии решетки, квазиимпульс экситона как целого является
3
Введение
4
интегралом движения, с чем связана делокализация его центра тяжести. Представление о локализованном возбуждении как о возбужденном состоянии отдельного атома, как указывалось, не всегда является хорошим приближением. Экситон можно рассматривать и по-другому. Основное состояние, “квази-вакуум” в полупроводнике, — это состояние с заполненной валентной зоной и пустой зоной проводимости. В результате перехода одного электрона из валентной зоны в зону проводимости должны изменяться и состояния остальных электронов валентной зоны. Формально такое изменение можно учесть, введя эффективное взаимодействие между электроном и дыркой, образующейся при освобождении одного из валентных состояний (G. Н. Wannier, 1937 [2); N. F. Mott, 1938 [3]). В результате кулоновского взаимодействия электрона и дырки в кристалле возможно появление особых бестоковых связанных состояний электрона и дырки, получивших название экситонов Вапъе-Мотпта. Экситоны Ванье-Могта типичны для большинства полупроводников и являются одним из основных объектов рассмотрения Диссертации.
Экситоны в общем случае могут перемещаться внутри кристалла. В случае экситонов Френкеля это перемещение представляет собой перескоки возбуждения от одного атома к другому [4].
В случае модели экситонов Ванье-Мотта, возбужденный электрон и дырка существуют как свободные частицы в эффективном периодическом потенциале, создаваемом окружающими их валентными электронами и остовами атомов решетки, и экситон представляет собой связанное состояние электрона и дырки. Такая связанная пара может как целое перемещаться но кристаллу, обладая волновым вектором к, причем полное движение экситона складывается из внутреннего движения электрона вокруг дырки и движения пары как единого целого по кристаллу. В этом случае поле окружающей экситон решетки учитывается при помощи введения эффективных изотропных масс электрона га* и дырки га£, а также введением экранировки кулоновского притяжения за счет диэлектриче-
Введение
5
ской проницаемости среды е. Кроме тою, в общем случае следует учитывать рассеяние экситонов на фононах и неоднородностях кристалла.
В простейшем случае параболических зон с экстремумами, расположенными при к = 0, энергии электронов проводимости и дырок в валентной зоне определяются формулами (см., например, [5))
Я2 к2 Я2к2
Ecmd(k) = Eg + — -, Eval{ к) = -—, (1)
с h
где Ед — энергия щели между дном зоны проводимости и потолком валентной зоны.
Если предположить, что электрон и дырка взаимодействуют по закону Кулона —е2/бх, где г = |ге — г/J , и перейти к системе центра инерции, то мы получим уравнение, определяющее энергию электронно-дырочной пары:
Я2 д2 е2\
“ — <РШт{ Г) =
2/iex<9r2 er
п Я2к2 Яп(к) -Ед-
Еп(к) = -пГ_Т?-л ~ + Е, - (3)
2(т* + т')
где /хех = т*гад/(га£ + гпд) — приведенная масса электрона и дырки.
В этом случае решением <£пЛп(г) является волновая функция водородоподобного атома, эффективный заряд которого 2е равен е/у/ё, а уровни энергии связанных состояний для каждого к могут быть представлены в виде суммы трех слагаемых
2 (т* + Шд) 2 Н2€2п2
Первое слагаемое в (3) соответствует кинетической энергии свободного совместного движения электрона и дырки. При к = 0 второе слагаемое соответствует дискретным (п = 1,2,...) возбужденным состояниям во-дородоиодобного атома с приведенной массой /хех, находящегося в непрерывной среде с диэлектрической проницаемостью е. Состояние с п = 1 является наинизшим энергетическим состоянием. Радиус экситона с квантовым числом п выражается формулой
Введение
6
где тпе — масса свободного электрона, ао == fï2/mee2 æ 0,5 * 10-8см — боровский радиус атома водорода. Например, в кристалле германия при значениях приведенной массы Де* & 0.2 тпе и е æ 16 радиус первого состояния » 80 ао значительно превышает постоянную решетки, что оправдывает макроскопическое описание взаимодействия между электроном и дыркой по закону Кулона —е2/бт.
Первое экспериментальное доказательство подтверждения существования экситонов Ванье-Мотта путем наблюдения водородоподобного спектра вблизи края собственного поглощения было получено Гроссом в 1962 году [6]. Прямое доказательство перемещения экситонов Ванье-Мотта в кристаллах было получено в работе Хопфилда и Томаса (D. G. Thomas & J. J. Hopfield, I960 [7]).
Модель экситонов Ванье-Мотта пригодна для описания низколежа-щих возбужденных квазидискретных состояний в кристаллах с большой диэлектрической проницаемостью £. Энергия связи трехмерного эксито-иа в состоянии с п = 1 (экситонная постоянная Ридберга) равна энергии, необходимой для отрыва электрона от дырки, и составляет Е= fiexe4/2e2h2. Следовательно, она в fiex/mc£2 раз меньше энергии связи электрона в атоме водорода (~ 13 эВ). Это состояние часто называют “основным состоянием экситона” [5].
Экситоны в общем случае метастабильны, т. е. существует конечная вероятность рекомбинации возбужденного электрона и дырки с испусканием фотона. Таким образом, экситон образуется с поглощением фотона, затем движется в полупроводнике, претерпевая процессы рассеяния, и затем рекомбинирует с испусканием фотона, возможно, в точке кристалла, далекой от его точки рождения. В зависимости от зонной структуры (например, совпадения или несовпадения минимума зоны проводимости и максимума валентной зоны в зоне Бриллюэна, что отражается на степени перекрытия волновых функций), время жизни экситона может варьироваться от пикосекунд вплоть до миллисекунд и дольше. В общем слу-
Введение
7
чае скорость распада экситона пропорциональна квадрату нормированной электронно-дырочной орбитальной волновой функции <р2(0) = 1/тта1х (умноженной на матричный элемент дипольного момента межзонного перехода между указанными точками зоны Бриллюэна) [8].
Будучи нейтральной электронно-дырочной парой, связанной кулонов-ским взаимодействием, экситоны могут вести себя как (композитные) бозоны при невысоких плотностях [9): па?ех 1, т. е. в случае, если расстояние между частицами велико по сравнению с эффективным размером экситона. В этом случае экситонная система представляет собой слабо-взаимодействующий бозс-газ, константа взаимодействия которого может быть оценена [10] как
Л-тгЬ^п -
(5)
ТПех
Для экситоиов в полупроводнике, эффективная масса которых приблизительно равна массе свободного электрона, и чей эффективный радиус имеет порядок от 10 до 50 А, константа д имеет порядок приблизительно 10“32—10~33 эрг-см3.
В системе с пониженной размерностью свойства экситона Ванье изменяются. В низкоразмерных системах пространственный конфайнмент обеспечивает большее перекрытие волновых функций электрона и дырки, тем самым увеличивая энергию связи экситона. Так, в двумерном пределе (например, в квантовой яме) энергия связи экситона в 4 раза больше, чем в трехмерном случае: &2> = 2}1ехеУеЧ2 [11].
В данной работе теоретически исследуются уровни энергии экситона Ванье-Мотта в однослойных и двухслойных углеродных нанотрубках, в зависимости от радиуса (соотношения радиусов) стенок и диэлектрической проницаемости среды, в которую погружена нанотрубка. Нанотруб-ка в этой задаче является системой пониженной размерности (И = 1 или 2 в зависимости от соотношения её длины и диаметра). Рассмотрен кроссовер между системой с размерностью Ши 2&. Углеродные нанотрубки представляют собой новый физический объект, уникальные свойства ко-
Введение
8
торого позволяют рассчитывать на его эффективное использование в различных областях науки и технологии. Наиболее привлекательными представляются те направления использования нанотрубок, которые связаны с разработками в различных областях современной электроники. Такие свойства нанотрубок, как их малые размеры, управляемая электропроводность, высокая механическая прочность и химическая стабильность, позволяют рассматривать эти объекты в качестве основы будущих элементов микроэлектроники.
Для решения задачи о кулоновском взаимодействии электрона и дырки на поверхности одностенного (двустенного) цилиндра использованы теория возмущений и адиабатическое приближение. Для численных расчетов при любых значениях параметров был применен метод мнимого времени и вариационный метод Ритца.
Экситон в квантовой яме
Физика пониженных размерностей может быть также изучена естественным образом в полупроводниках: в настоящее время прогресс в техниках молекулярно-лучевой эпитаксии позволяет производить полупроводниковые материалы с точностью до атомных слоев, что привело к появлению новых квантовых структур, таких как двумерные (2Б) квантовые ямы, одномерные квантовые проволоки и нульмерные квантовые точки.
Квантовая яма — это тонкий слой полупроводника с узкой запрещенной зоной, помещенный между двумя слоями полупроводника с запрещенной зоной большей ширины (см. Рис.1).
Толщина квантовой ямы (I сравнима с эффективным экситонным боровским радиусом а^, поэтому движение электрона и дырки в такой яме ограни-
РИС. 1. Уровни энергии
чено перпендикулярной К яме (к направлению роста экситоиа в квантовой яме. слоев) плоскостью, и их энергетические уровни квантованы. В таком дву-
- Київ+380960830922