Содержание
ВВЕДЕНИЕ з
1 Течение бозе-эйпштейповского конденсата в квазиодно-мерном канале иод действием поршня 28
1.1 Основные уравнения...................................... 28
1.2 Течение конденсата до момента опрокидывания волны . . 33
1.3 Равноускоренное движение поршня ........................ 35
1.4 Неравноускоренное движение поршня....................... 36
1.5 Образование дисперсионных ударных волн.................. 38
1.6 Эволюция дисперсионной ударной волны при равноускоренном движении поршня 41
1.7 Эволюция дисперсионной ударной волны непосредственно
после опрокидывания при не равноускоренном движении поршня ................................................. 45
1.8 Численная реализация.................................... 51
1.9 Заключение.............................................. 52
2 Условие конвективной неустойчивости темного солитона 54
2.1 Введение................................................ 54
2.2 Основные формулы ....................................... 58
2.3 Переход к конвективной неустойчивости и движение фронта неустойчивости........................................... 68
2.4 Скорость роста длины темного солитона .................. 71
2.5 Численная реализация.................................... 72
2.6 Заключение.............................................. 74
3 Темный косой солитоп, гене рируемый течением поляри-тонного конденсата мимо препятствия 75
3.1 Теоретическая модель.................................... 76
3.2 Гидравлическое приближение.............................. 79
(А
1
3.3 Темный солитон на медленно затухающем фоне............ 82
3.4 Устойчивость темного солитона на неоднородном фоне . . 87
3.5 Численная реализация.................................. 91
3.6 Заключение............................................ 91
4 Динамика темного кольцевого солитона в бозе-эйнштейновском конденсате и нелинейной оптике 93
4.1 Основные уравнения.................................... 93
4.2 Динамика темного кольцевого солитона на однородном фоне 98
4.3 Динамика темного кольцевого солитона с среде с фоторе-фрактивной нелинейностью.................................. 99
4.4 Динамика кольцевого темного солитона на неоднородном фоне......................................................101
4.5 Заключение............................................105
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 105
Благодарности 108
2
Введение
Динамика бозе-эйнштейновского конденсата (БЭК) (далее предполагается отталкивающее взаимодействие между атомами или дефокусирующая нелинейность в аналогичных оптических задачах) привлекает к себе большое внимание с момента его экспериментального обнаружения. Сначала изучались задачи о колебаниях конденсата как целого [1 3] или же течение конденсата из выключенной ловушки [4-8]. Затем много усилий было потрачено на формирование и динамику вихрей (9,10), генерации звуковых волн [11] и солитонов [12-14]. В настоящее время одной из актуальных задач динамики БЭК является проблема образования дисперсионных ударных волн при эволюции больших возмущений конденсата. Впервые на эксперименте такие волны были обнаружены при воздействии относительно интенсивного лазерного луча на цилиндрически симметричный конденсат в параболической ловушке (см. рис. 1), когда луч, распространяющийся вдоль оси конденсата, передавал ему импульс в радиальном направлении. В результате распространяющаяся от оси конденсата волна «опрокидывалась» с образованием цилиндрически симметричной волновой структуры [15], которая была интерпретирована в [16| как дисперсионная ударная волна (ДУВ). Похожие волновые структуры уже наблюдались ранее в течении мелкой воды (например, во время прилива поступающие в широкий залив массы воды нагнетаются в суженное русло, где они концентрируются, образуя волновой фронт или бор [17]), в плазме [18] и в нелинейной оптике [19], но изучение дисперсионных ударных волн стало наиболее актуальным в связи с экспериментальной реализацией в 1995 году бозе-эйнштейновской конденсации [20]. Как известно, дисперсионная ударная волна формируется в результате сильного возмущения плотности, давления или скорости течения, в тех средах, в которых линейные волны обладают настолько сильной дисперсией, что ее эффекты в определенных условиях гораздо более существенны, чем эффекты диссипации или вязкости; тогда имен-
3
но эффекты дисперсии останавливают «опрокидывание» волны, то есть формирование особенности, и вместо скачка параметров, образующейся в классической ударной волне, в ДУВ образуется расширяющаяся во времени область осцилляций.
Рис. 1: Дисперсионные ударные волны в атомном БЭК. образовавшиеся под воздействием силового поля лазерного лума при двух различных значениях мощности лазерного луча (рисунок из (15,20)).
Суть явления бозе-эйнштейновской конденсации заключается в том, что при температуре, близкой к абсолютному нулю, макроскопическое число частиц с целым спином (бозоны) собирается («конденсируется») в одном и том же квантовом состоянии системы. Если частицы не взаимодействуют друг с другом, то есть образуют идеальный газ, то при достижении пулевой температуры они оказываются в этом единственном состоянии и, будучи неразличимыми, описываются единой волновой функцией (параметром порядка) гр. Если же между атомами газа есть слабое взаимодействие, например, когда газ достаточно разряжен, то такой конденсат можно по-нрежнему описывать общей волновой функцией, но уже для частиц, которые движутся в некотором среднем потенциале, возникающим вследствие взаимодействия частиц друг с другом. Впервые описание такого слабо неидеального бозе-газа было введено Бо-
голюбовым [21] для случая газа с однородной равновесной плотностью и позднее оно было обобщено на неоднородные и нестационарные состояния Гроссом [22| и Питаевским [23]. В этом приближении среднего поля волновая функция ф = ф(гЛ) зависит от координаты г и времени £ и подчиняется уравнению Гросса-Питаевского (или нелинейному уравнению Шредингера (НУШ) с нелинейностью /(\ф\) = \ф\2)
где т — масса атомов, II(г) является внешним потенциалом, воздействующим на атомы конденсата (в частности, это может быть потенциал ловушки, удерживающей конденсат), и параметр д = А'кЬга^/т, где а3 длина рассеяния, характеризует взаимодействие атомов друг с другом: положительные значения д > 0 соответствуют отталкиванию атомов, а отрицательные д < 0 — их притяжению. Плотность газа р{г,Ь) и скорость его течения и(г, £) выражаются через волновую функцию ф(гЛ) следую щи м образом:
где <р(г,£) — фаза волновой функции (ф = y/pexp{іір)). Очевидно, что первый член в правой части (1) описывает стандартную квантовую дисперсию частиц, а последний член определяет нелинейный потенциал, обусловленный взаимодействием атомов в конденсате. Таким образом, наличие нелинейности и дисперсии делает возможным формирование дисперсионных ударных волн в среде. Об основных свойствах конденсата в приближении теории среднего поля можно узнать, например, из обзоров |24,25].
Рассмотрим основные свойства конденсата, которые понадобятся в диссертации. Далее считаем, что конденсат состоит из атомов с отталкивающим взаимодействием, то есть д > 0. Пусть конденсат однороден и имеет в невозмущенном состоянии постоянную плотность ро- Еще
H.H. Боголюбовым было показано [21], что в таком конденсате могу г
h ?
ih— = -—Аф + и (г)ф + д\ф\2ф
(1)
ъ
р{г, t) = \ф{г, <)I2, u(r, t) = —Vip(r, t)
m
(2)
5
распространяться волны 8р,6и ~ ехр[г(кг - иі)] с законом дисперсии
-скорость звука в длинноволновом пределе к —> 0. При малых волновых числах закон дисперсии (3) соответствует звуковым волнам, распространяющимся со скоростью с5,
а при больших к он воспроизводит квантовый закон дисперсии свободных частиц с массой щ,
Переход от одного предельного случая к другому происходит при промежуточных значениях волнового числа, соответствующего длине волны порядка величины характерного параметра — корреляционного радиуса
который также определяет длину волны де Бройля частиц, движущихся со скоростью звука.
На эксперименте активно изучалась реализация БЭК, когда движение частиц «заморожено» в одном или двух направлениях [26-28]. Для экспериментальной реализации квазиодномерного конденсата, например, используют оптические дипольные ловушки, в которых облако конденсата принимает сильно вытянутую сигарообразную форму [29). Квазидвумерный конденсат был реализован в дискообразных ловушках, образованных периодическим потенциалом лазерного луча [30]. Если потенциалы таких ловушек достаточно глубокие, то движение поперек диска «заморожено» и конденсат расщепляется на несколько независимых квази-двумерных облаков. Для примера рассмотрим квазиодномерное течение
(3)
где
(4)
іо ~ с3к, к 0
(5)
кк2
си 2 -—, к —> оо. 2т
(б)
її п
(7)
конденсата в «сигарообразной» .ловушке (канале). Если течением поперек канала можно пренебречь, то уравнение (1) допускает упрощение (см., например, [31]). Предположим для конкретности, что в поперечном направлении конденсат удерживается потенциалом магнитной или лазерной ловушки, причем в хорошем приближении этот потенциал можно считать гармоническим:
где и(х,1) — потенциал в продольном направлении. В пренебрежении нелинейным взаимодействием в (1) поперечное движение описывается состояниями частицы в цилиндрически симметричном гармоническом потенциале с уровнями энергии, равными
причём характерный размер конденсата в радиальном направлении имеет порядок величины ____
Тогда энергия нелинейного взаимодействия на единицу длины имеет порядок величины
Если эта энергия много меньше, чем энергия поперечного движения атомов в первом возбуждённом состоянии порядка
и(г,1) = {у2 + г2) + (УОМ)
(8)
£±,П = Ьы± (п + I), п = 0,1,2,,
(9)
(10)
Пусть погонная плотность конденсата вдоль ловушки равна
(П)
то есть выполняется условие
а8р < 1
(12)
7
то можно считать, что поперечное движение атомов описывается волновой функцией основного состояния частицы в цилиндрически симметричном гармоническом осцилляторе. Таким образом, волновая функция конденсата факторизуется:
Ф(т,г) = ^(хіг)ф(у)г)е~ш±іі (13)
где
Л'2)=^ехр(-з!г)' (|4)
Подстановка (8) и (23) в (1) с последующим умножением на ф и интегрированием по поперечным координатам даёт эффективное уравнение движения конденсата вдоль ловушки [31):
К1
іЛЖ = -^ + ^’і)ф + ^|ф|ф’ (15)
где
310 = 2^1 {16) — перенормированная константа нелинейного взаимодействия. Уравнение (15) описывает квазиодномерную динамику конденсата.
Для дальнейшего удобно перейти к безразмерным переменным. Если в задаче существует характерная плотность ро (например, плотность в центре ловушки или вдали от препятствия) и соответствующая характерная скорость с3 и длина £, то можно ввести безразмерные переменные
г - Сс и ~ ф II , ч
г = 7» і = и = и = С17)
£ - \/2£ с$ у/рй рро
так что уравнение Гросса-Питає вс ко го принимает вид
гфь + - \Ф\2Ф - иф = 0, (18)
где для удобства обозначений тильды опущены. В этих переменных закон дисперсии (3) волн в однородном конденсате принимает простую форму
сД/с) = ку 1 4- (19)
8
Очевидно, что фазовая скорость всех гармоник больше скорости звука, равной единице в безразмерных переменных.
Помимо линейных волн, в конденсате могут распространяться и нелинейные волны, характерным примером которых является темный соли-тон: решение, зависящее лишь от одной пространственной координаты, к качестве которой выберем х. впервые найденное в [32J в виде
ф — ф3(х — Vt) = \/1 — V2 tanh (^у/1 — V2(x - 4* iV exp(—it).
(20)
Глубина темного солитона зависит от его скорости V, которая не может превышать скорость звука.
Удобно перейти от параметра упорядочения ф(r,t) к гидродинамическим переменным посредством подстановки
ф(r,t) = y/p(r,t)exp J u(r',l)dr'j , (21)
где p(i'.t) - локальная плотность атомов в конденсате, u(г,t) — потенциальное поле скоростей течения конденсата. В результате приходим к системе
Pt + V{pu) = 0,
U( Н- (uV)u + Vp + V
(Vp)2 Ap"
(22)
= -W( r,0,
8р2 4 р
допускающей наглядную гидродинамическую интерпретацию: первое уравнение здесь является уравнением непрерывности для плотности конденсата, а второе — модифицированным уравнением Эйлера для скорости течения, причем дополнительный последний член в левой части отражает квантовую дисперсию атомов конденсата. Если пренебречь дисперсией, то второе уравнение переходит в классическое уравнение Эйлера для газа с показателем адиабаты 7 = 2. В этих переменных солитоииое решение (20) имеет вид
1 -V2
- Київ+380960830922