Моделирование равновесных свойств квантовых систем методом Монте-Карло в расширенных ансамблях

Оглавление
Введение 4
1 Методы и алгоритмы 10
1.1 Выражение для статистической суммы системы тождественных
частиц......................................................... 10
1.2 Метод интегралов по траекториям............................... 12
1.3 Метод энтропического моделирования............................. 15
1.4 Алгоритм Ванга — Ландау........................................ 18
1.5 Метод расширенного ансамбля.................................... 20
2 Метод расширенного ансамбля для малых квантовых систем 23
2.1 Алгоритм Ванга — Ландау в методе расширенных ансамблей ... 23
2.2 Эстиматоры..................................................... 25
2.3 Точные и конечномерные выражения для систем невзаимодействующих частиц в гармоническом ноле............................... 26
2.4 Система невзаимодействующих частиц ............................ 28
2.4.1 Две частицы ..................................... 29
2.4.2 Три частицы ..................................... 40
2.5 Вычисление энергии............................................. 47
2.6 Система тождественных частиц с кулоновским отталкиванием в
гармоническом иоле............................................. 54
2
2.6.1 Две частицы ............................................ 54
2.6.2 Три частицы............................................. 65
2.7 Системы в кулоновском поле притяжения......................... 68
2.7.1 Аппроксимация для кулоновского потенциала............... 68
2.7.2 Две частицы с кулоновским отталкиванием в гармоническом поле....................................................... 72
2.7.3 Атом гелия................................................ 72
3 Обобщение метода 80
3.1 Системы многих частиц........................................... 80
3.2 Система невзаимодействующих частиц в гармоническом поле. . . 81
3.3 Система частиц с кулоновским отталкиванием в гармоническом
внешнем ноле.................................................... 83
3.3.1 Пять частиц............................................... 83
3.3.2 Шесть и семь частиц....................................... 92
3.4 І Іараллелизация вычислений..................................... 96
4 Метод плотности состояний 98
4.1 Квантовая частица в гармоническом поле.......................... 98
4.2 Система двух различимых квантовых частиц с кулоновским отталкиванием в гармоническом иоле ....................................103
Заключение 109
3
Введение
В далёком 1965 году, на заре компьютерной эры, Гордон Мур, впоследствии один из основателей корпорации Ме1, обратил внимание на интересную закономерность в развитии компьютеров. Он заметил, что новые модели микросхем разрабатывались спустя более или менее одинаковые периоды после появления их предшественников, а емкость их при этом возрастала, каждый раз примерно вдвое. Если такая тенденция продолжится, заключил Мур. то мощность вычислительных устройств со временем будет экспоненциально возрастать. Данная закономерность известна как закон Мура и оказывается справедливой и по сей день. Столь стремительный рост мощностей вычислительных систем открывает ноистине фантастические возможности для компьютерного моделирования и численных эскпериментов, зарекомендовавших себя как один из верных способов решения задач из всех областей знаний.
Одним из наиболее мощных, но зачастую требовательных к ресурсам, стохастических методов является метод Монте-Карло. Идея использовать случайные явления в области приближённых вычислений возникла ещё в XIX веке, когда появилась работа Холла об определении числа тг путём бросания иглы на разграфлённую параллельными линиями бумагу. Однако, годом рождения метода Монте-Карло принято считать 1949-й, когда вышла статья Метрополиса и Улама (1], содержащая основания и общее описание статистического подхода к решению интегральных и диффренциальных уравнений, возникающих в
4
различных областях естественных наук.
Ранние методы квантового моделирования были направлены на решение уравнения Шредингера или уравнения Блоха. Они включают в себя такие методы, как метод Хартри-Фока, метод функционала плотности, диффузионный метод Монте-Карло и другие. Однако все эти методы позволяют найти лишь волновые функции чистых состояний, обычно основного, и не дают возможности получить теромодинамику квантовой системы при конечной температуре. Основанный на Фейнмановской трактовке квантовой механики |2, 3] метод Монте-Карло интегралов по траекториям позволяет решить эту проблему путем сведения статистической суммы квантовой системы к статистической сумме чисто классической системы. Используя групповое свойство, матрицу плотности можно представить в виде произведения высокотемпературных матриц плотности. для которых уже возможно использовать различные высокотемпературные приближения. В результате, в простейшем случае метода вершин квантовая частица представляется в виде траектории -- замкнутого «полимера» с гармоническими связями между вершинами. Существенная положительная особенность данного подхода заключается в том, что здесь без каких-либо приближений полностью учитываются все мсжчастичныс взаимодействия, и как следствие все корреляции.
Первым, кто использовал метод Монте-Карло для численного вычисления статистической суммы квантовой системы был Фосдик [4]. В его работе статистическая сумма записана в терминах интеграла Винера, который выражается через п-кратный интеграл Римана, который, в свою очередь, вычисляется методом Монте-Карло. Фосдик демонстрирует свой подход на двумерной системе двух тождественных взаимодействующих частиц в ящике и даже выписывает выражения для системы трёх частиц. Но в следующих работах [5, б] он де-
5
лает основной упор на использовании интегралов по траекториям для расчёта двухчастичной слэтеровской суммы в Нел при низких температурах. Следующей в середине 70-х годов была серия работ группы Нормана и Филипова по плазме и ферми-системам |7, 8, 9, 10]. Фактически они первые ввели понятие метода вершин. Чуть позже, в 1979 году, Баркер [11] в рамках метода вершин провёл расчёт для энергии и функции распределения систем одной и двух различимых частиц в ящике. Эти авторы считаются основоположниками метода Монте-Карло интегралов по траекториям.
Существует большое число результативных исследований с использованием метода Монте-Карло интегралов по траекториям [12, 13], но, к сожалению на данный момент указанный метод успешно применялся лишь для ферми-систем с малым числом степеней свободы или для систем, удовлетворяющих статистике Бозе. Это связано с тем, что для ферми-частиц волновая функция, а равно и матрица плотности меняет знак (антисимметрична) при перестановке любых двух частиц. Это приводит к тому, что веса траекторий оказываются знакопеременными и не могут быть непосредственно интерпретированы как вероятности. Более того, при понижении температуры разность положительных и отрицательных вкладов в статистической сумме и в выражениях для средних экспоненциально уменьшается и становится трудно различимой на фойе статистического шума. Указанная проблема известна как проблема знака [14].
Проблема знакоперемеииости веса решалась путем перехода к усреднению по положительной весовой функции, в простейшем случае — по абсолютному значению [15, 16]:
но проблема знака всё равно оставалась, выражаясь в стремлении (\¥)) + к
/ с*-С^п(1У) |1У| /с1т\Ш\ (Ов^п (IV)} + . .
/*-з8п(И0|1У| ^п(И0)+ ’
нулю.
6
Одна из первых попыток использовать метод Монте-Карло интегралов по траекториям для исследования термодинамических свойств систем тождественных частиц принадлежит Такахаши и Имаде [17. 18, 19]. Они предложили в методе вершин симметризовать (антисимметризовать) каждую высокотемпер-татурную матрицу плотности в разложении, таким образом на каждом шаге мнимого времени происходит учёт всех перестановок частиц. В качестве вероятности в методе существенной выборки Такахаши и Имада использовали абсолютное значние веса траектории, а учёт знаков производили при накоплении канонических средних. Данный подход, в силу геометрических особенностей конфигурационного пространства, позволил даже решить проблему знака в одномерном случае, но для систем с большей размерностью он оказался малоэффективен.
Через некоторое время, Холл [20, 21, 22, 23] предлагает ввести проекционный оператор, который исключает из рассмотрения траектории с весом меньше ошибки конечномерного приближения. Подход позволяет заметно уменьшить дисперсию ошибки вычислений методом Монте-Карло, но поскольку поверхности в фазовом пространстве, на которых веса траекторий равны пулю, неизвестны. приходится использовать приближенную проекцию.
Ныоман и Куки в 1992 году [24] разработали метод для ослаблания проблемы знака в системе двух фермионов, в котором на каждом МК-шаге усредняется несколько эквивалентных траекторий, полученных путём вращения исходной. Данный подход является численно-точным, но сформулировать его для большего числа частиц пока не удалось.
В это же время Цеперли предпринял попытку решить проблему знака, введя так называемый «метод интегралов по траекториям с ограничениями» [25, 26|, идея которого отчасти перекликается с идеями Холла. Суть подхода заклю-
7
мается в исключении из усреднения отрицательных слагаемых статистической суммы путем ограничения области интегрирования. Этот метод действительно снимает проблему знака, по поверхности, ограничивающие область интегрирования, известны лишь приблизительно, они становятся крайне сложными в случае многочастичных систем с сильным взаимодействием, и правомочность такого ограничения оказывается спорной. Кроме того, как было показано Филиповым |27], данный метод приводит к неправильному поведению при низких температурах простой системы, имеющей аналитическое решение.
Интересная схема была предложена Маком [28, 29]. Она представляет собой рекурсивную процедуру систематического сокращения знаков путем группирования вершин в блоки. Ограничением данного подхода является необходимость хранить в памяти большое количество конфигураций блоков.
Следует также упомянуть работы других авторов: Карлсона и Калоса [30], предложивших концепцию зеркальных потенциалов, Коржениовского и др. [31], указавших на возможность использования метода Фейнмана-Каца для получения основного состояния многочастичных систем, Жанга [32], исследовавшего ферми-системы при конечных температурах в большом каноническом ансамбле, Корнея и Драммонда [33, 34], записавших гауссовы представления для ферми систем в фазовом пространстве и ряд других |35, 36, 37, 38].
Уже было отмечено, что метод Монте-Карло интегралов по траекториям позволяет перейти от квантовой к формально классической системе. Это открывает возможность использовать всю совокупность классических методов моделирования для решения квантовых задач.
В настоящей работе рассматривается использование методов Монте-Карло в расширенных ансамблях для моделирования равновесных свойств квантовых систем в рамках формализма интегралов по траекториям. Предлагаемый в ра-
8
боте способ ослабления проблемы знаков основан на точном вычислении отношений вкладов в статистическую сумму системы тождественных частиц.
Диссертационная работа построена следующим образом. В первой главе выписывается общее выражение для статистической суммы системы тождественных частиц и подробно излагаются лежащие в основе подхода методы и алгоритмы. Вторая глава посвящена применению метода расширенных ансамблей с настройкой весов по алгоритму Ванга — Ландау для моделирования равновесных свойств малых квантовых систем. Подход аппробирован на системах двух и трёх невзаимодействующих фермионов в гармоническом ноле и применён к системам с кулоновским отталкиванием двух и трёх фермионов в гармоническом поле и двух фермионов в кулоновском поле притяжения. В третьей главе предложено обобщение данного подхода на случай многочастичных систем. Подход апнробируется на системе пяти невзаимодействующих фермионов в гармоническом поле и применяется к системам пяти, шести и семи фермионов с кулоновским отталкиванием в гармоническом поле. Четвёртая глава посвящена применению метода плотности состояний для моделирования квантовых систем без учёта обмена. Этим методом проведены расчёты для системы двух фермионов с кулоновским отталкиванием в гармоническом поле и даны сравнения с результатами из второй главы.
9