О скорости сходимости спектральной функции распределения случайной матрицы

Оглавление
Введение 3
1 Скорость сходимости по вероятности в случае матриц из GUE 17
1.1 Формулировка результатов......................................17
1.2 Оценка ü>2"нормы..............................................18
1.3 Оценка Zq-нормы...............................................26
1.4 Оценка расстояния Колмогорова.................................26
2 О точности приближения спектра GOE 36
2.1 Формулировка результатов......................................36
2.2 Доказательство теоремы 2.1....................................36
3 Скорость сходимости спектральной функции DGUE 45
3.1 Формулировка результатов......................................45
3.2 Метод наискорейшего спуска....................................46
3.3 Оценка п |An(w) - Дп(г)|....................................55
3.4 Оценки хвостов................................................60
3.5 Критические точки fn(z) ......................................62
3.6 Главный член..................................................64
3.7 Доказательство теоремы 3.2....................................73
А Приложения 79
А.1 Расстояние Леви между функциями распределения.................79
А.2 Преобразование Стилтьеса полукругового закона ................80
А.З Оценка величин Е |е^|2........................................81
А.4 Плотность собственных чисел матрицы из DGUE ..................83
2
Введение
Пусть (Г2, Т,Р) — произвольное вероятностное пространство, (Мтхп, || • \\jjs) — пространство вещественных или комплексных матриц размерности т х п с нормой Гильберта-Шмидта:
ЦА|| Я 5 = \/Тг(АА'), УА £ Мтхп.
Здесь А* = АТ обозначает транспонированную комплексно сопряженную матрицу А, а Тг А — след матрицы А.
Определение 1. Случайной матрицей А называется измеримое отображение А = А(ы), отображающее пространство элементарных событий П в пространство матриц Мтхп.
Обозначим через 95(МтХп) ^-алгебру борелевских подмножеств множества матриц МТпхп. Очевидно, что любая случайная матрица А естественным образом порождает на измеримом пространстве (Мтхп, 95(Л/тхп)) некоторую вероятностную меру РА.
Необходимость изучения свойств случайных матриц впервые возникла в конце 1920-х годов в работах Вишерта, в связи с задачами многомерной статистики. Толчком к последующему бурному развитию данной тематики послужили работы Вигнера [44, 45, 46] 1950-х годов в области ядерной физики. Из квантовой механики известно, что уровни энергии квантовой системы, находящейся в стационарном состоянии, описываются с помощью собственных чисел некоторого эрмитового оператора, называемого гамильтонианом. Спектр такого оператора в общем случае состоит из непрерывной части и некоторого, возможно большого, числа дискретных уровней, а сам оператор действует в некотором бесконечномерном гильбертовом пространстве. Как
3
правило, практический интерес представляет дискретная часть спектра, поэтому, чтобы избежать сложностей, вызванных бесконечномерностью исходного гильбертова пространства, его аппроксимируют конечным гильбертовым пространством, а гамильтониан представляется в виде некоторой эрмитовой матрицы. Ввиду сложности системы, найти точное представление этой матрицы, в большинстве случаев, не представляется возможным. Вигнер был первым, кто заметил, что уровни энергии ядра статистически ведут себя подобно собственным числам некоторой случайной матрицы большого порядка (см. [44]) и предложил использовать такую матрицу для аппроксимации усеченного гамильтониана.
Определение 2. Вигнеровской случайной матрицей размерности п х п называется эрмитова матрица \У = (г%-)^-=1, элементы гпу, 1 ^ ^ ^ ^ п
которой являются независимыми случайными величинами, причем:
1. му, 1 ^ I < $ ^ п — независимые одинаково распределенные комплексные случайные величины, с независимыми вещественными и мнимыми частями, распределение которых не зависит от п, такие что
2. и)ц, 1 ^ I ^ п — независимые одинаково распределенные вещественные случайные величины, с не зависящим от п распределением, такие что
Пусть \¥ вигнеровская случайная матрица. Одним из важных объектов изучения при исследовании спектральных свойств вигнеровских матриц является эмпирическая спектральная функция распределения матрицы.
Определение 3. Пусть А] ^ Аг ^ ^ Ап — упорядоченные по возрас-
Егоу = 0, Е \wijf — а2,
Еюц = 0) Егиц2 = а2.
танию собственные значения нормированной матрицы Эмпирической
спектральной функцией распределения матрицы называется функция
і=і
где 1{#} обозначает индикатор события В.
4
В своей работе [46] 1958 г. Вигнер рассмотрел вещественную симметричную матрицу = (аду)]\-=1, элементы 1 ^ ^ д ^ п которой
суть независимые одинаково распределенные случайные величины со средним Езду = 0 и дисперсией Ечюц = а2. Он показал, при условии ограниченности всех четных моментов элементов гпц и равенстве нулю всех нечетных моментов элементов гиц, что ожидаемая эмпирическая спектральная функция распределения ЕРп(х) нормированной матрицы сходится, в супре-мальной метрике, к некоторой функции распределения (?(ж), с плотностью
д{х) = С(х) = 2~2 '/^ст2 ~ Х<1 1{|х|!$2<т}-
Факт такой сходимости называют обычно сходимостью к иолукруговому закону, а функцию распределения С(я) и плотность д(х) — функцией распределения и плотностью иолукругового закона соответственно. При доказательстве этого факта, Вигнер использовал метод моментов. Для удобства читателей мы приведем схему подобного доказательства в самом простейшем случае — случае, когда элементы матрицы имеют вид гиц = 1 < / ^ ^ п,
где — радемахеровские случайные величины, то есть величины, принимающие с вероятностью 1/2 либо значение 1, либо значение —1 (именно такой случай рассмотрел Вигнер в работе [45] 1955 г.).
Пусть М1п) обозначает А:-ый момент ожидаемой эмпирической спектральной функции распределения ЕД(а:), а т* — к-ый момент функции распределения иолукругового закона С(я). Тогда
ос
М{”] = I ЛЕЕп(х) = 1еТг\У*,
-00
„ . / г*д(х)Лг - \^В (* + 1.1) - - <4*
-2а
ГП2Ш = О,
где Ск, к ^ 0, обозначают числа Каталана, определяемые рекуррентным соотношением
Так как носитель плотности д(х) предельной функции распределения й(х) компактен, то для сходимости ожидаемой эмпирической спектральной функции распределения Е.Рп(я) к функции распределения (3(ж) достаточно, чтобы все моменты сходились, при п -» оо, к соответствующим моментам тк.
Мы покажем сначала, что не умаляя общности можно считать все диагональные элементы гс?//, 1 ^ I ^ гг, матрицы равными нулю. Действительно, пусть матрица \¥ получена из матрицы \У замещением всех диагональных элементов нулями. Обозначим через А] ^ А2 ^ ^ Ап собственные значения
нормированной матрицы а через Еп(х) ~ ее спектральную функцию
распределения. Несложно проверить, что
сю
/1 1
Fn(x) - Fn(x) dx = - У А* - Хк ^ —т= У К*| = А=-
п^\ v/i
Здесь, в последнем неравенстве, мы воспользовались тем, что
к=1 к=1 4V 7
для любой непрерывной выпуклой функции (р(х) (см. [1, стр. 552]). Далее, заметим, что функция распределения полукругового закона G(x) удовлетворяет условию Липшица с константой Поэтому, применяя леммы А.1.1-А.1.2, получим
ln / \ гч/ \\ ^ 1 + 7Г(Т _ 1 1 + ТГСГ Ту ( \ \
SUP\Fn(x) - G(x)| ^ -=-п 4 -j------sup Fn(x) - G(x)
x 7Г yО 7Г(7 x
Таким образом, мы можем полагать, что wkk = О, при 1 ^ к ^ п. Рассмотрим теперь подробнее fc-ый момент ожидаемой эмпирической спектральной функции распределения. Нетрудно убедиться, что
“Е TrWfc = -щх £ Е •
jirjk
Заметим, что слагаемые в последней сумме отличны от нуля только для тех наборов индексов (Д,..., Д), для которых каждая случайная величина произведения • • • wjkj] входит в это произведение ровно четное число
б
раз. Поэтому М^ = 0, при к = 25 +1. Для четного к = 25 разобьем множество наборов «), для которых математическое ожидание произ-
ведения отлично от нуля, на два класса. В первый войдут все те наборы Оъ • • •»&$), которые содержат не более 5 различных индексов. Очевидно, что число таких наборов не превосходит п*. Поэтому суммирование по этому классу, с учетом нормировочного множителя, вносит вклад порядка 0(п~1). Во второй класс войдут наборы, которые содержат ровно 5 + 1 различных индексов, и которым соответствуют ровно 5 различных случайных величин в произведении и)^юЫъ • • • ь)^х. Таким образом, каждая случайная величина входит в произведение ровно два раза. Определим характеристическую последовательность Щ, 1X2, . . . , и,2$ произведения . Положим
щ = 1, если последовательность Wjlj2, ги^3,..., не содержит случайной величины , и щ = -1 — в противном случае. Очевидно, что последовательность 111,1x2,... ,г/2* удовлетворяет условию ^1=1 и1 ^ О, для всех ^ = 1,..., 25. Поэтому каждой такой последовательности соответствует путь в верхней полуплоскости длины 25, исходящий из нуля и возвращающийся в нуль. Число таких путей равно . Учитывая, что 5 + 1 различных индексов мы можем выбрать п(п — 1) • • • (п — 5) = п5+1(1 + 0(п~1)) способами, получим, что суммирование по элементам второго класса, с учетом нормировочного множителя, даст величину + 0(п~1). Тем самым, сходи-
мость моментов, а значит и сходимость ожидаемой эмпирической спектральной функции распределения, доказана.
Результат Вигнера был обобщен Арнольдом в работе [12] 1967 г. Так же, с помощью метода моментов, он показал, что при условии ограниченности четвертого момента элементов следует сходимость эмпирической спектральной функции распределения Рп(х) к функции распределения (?(я) по вероятности, а при условии ограниченности шестого момента — сходимость почти наверное.
В конце 60-х Марченко и Пастур [6| разработали более мощный метод исследования распределения спектра случайной матрицы, основанный на анализе элементов резольвентной матрицы Это позволило им
распространить полукруговой закон Вигнера на случай эрмитовых матриц,
7