ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 4
1. КОЭФФИЦИЕНТ ГОТОВНОСТИ ПРИ НЕСЛУЧАЙНОМ ОБЪЕМЕ ВЫБОРКИ 10
1.1. Асимптотические свойства оценки К\.................... 14
1.2. Асимптотические свойства оценки К*.................... 22
1.3. Асимптотические свойства оценки/^2.................... 25
1.4. Асимптотические доверительные границы для К, ностро-
енные с помощью оценки К ............................... 29
2. ОЦЕНКИ МИНИМАЛЬНОГО ОБЪЕМА ВЫБОРКИ ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТА ГОТОВНОСТИ 32
2.1. Постановка задачи..................................... 32
2.2. Оценки минимального объема выборки.................... 33
2.2.1.Решение, основанное на центральной предельной теореме . 34
2.2.2.Решения, принимающие во внимание точность нормальной аппроксимации............................................... 35
2.3. Точность нормальной аппроксимации и гарантированные
доверительные интервалы для коэффициента готовности . 39
3. О РАСПРЕДЕЛЕНИИ СТЬЮДЕНТА КАК АСИМПТОТИЧЕСКОЙ АППРОКСИМАЦИИ 42
3.1. Постановка задачи..................................... 42
3.2. Распределение Стьюдента как масштабная смесь нормальных законов ............................................... 44
3.3. Распределение Стьюдента как асимптотическая аппроксимация ..................................................... 47
3.4. О точности аппроксимации отрицательного биномиального распределения гамма-распределением...................... 52
3.5. О скорости сходимости распределений некоторых статистик к распределению Стьюдента............................. 61
2
4. КОЭФФИЦИЕНТ ГОТОВНОСТИ ПРИ СЛУЧАЙНОМ ОБЪЕМЕ ВЫБОРКИ 68
4.1. Постановка задачи.................................... 68
4.2. Коэффициент готовности при случайном объеме выборки, имеющем отрицательное биномиальное распределение . . 70
4.2.1.Асимптотические свойства оценки К\г ............... 73
- __
4.2.2. Аси митотические свойства оценки ................ 75
4.2.3.Асимптотические свойства оценки 77
4.2.4.Асимптотические доверительные границы для К} построенные с помощью оценки Кип......................... 79
ПРИЛОЖЕНИЕ 80
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 88
3
ВВЕДЕНИЕ
Развитие современной математической теории надежности, основанной, в первую очередь, на результатах и методах теории вероятностей и математической статистики, имеет не только вполне естественное серьезное теоретическое значение, но и огромную практическую важность. Это обусловлено, в первую очередь, насущной необходимостью решать на практике большое число конкретных задач, связанных с анализом рисковых ситуаций, то есть определением как размера возможных потерь, так и самой возможности потерь критического, например, катастрофического уровня из-за отказа тех или иных технических или информационных систем. Ситуации, связанные с риском отказов таких систем, чрезвычайно разнообразны. Они могут возникать в самых разных областях человеческой деятельности и могут иметь самые разные последствия -от больших материальных потерь и человеческих жертв при недооценке риска землетрясений, ураганов, наводнений или других природных катаклизмов большой силы при проектировании зданий или защитных сооружений, до значительных материальных и финансовых потерь при недооценке риска отказов энергетических или инфотелекоммуникацион-ных систем.
Многие классические методы оценки показателей надежности, разработанные, как правило, в середине XX века, основаны на идеальных предположениях о том, что параметры, характеризующие, скажем, воздействие внешней среды, имеют нормальное распределение, а параметры, характеризующие надежность составных частей изучаемой системы, например, время жизни (наработки на отказ) имеют показательное (экспоненциальное) распределение. Однако, к сожалению, зачастую применение классических методов приводит к недооценке риска отказов. Причины иногда имеющей место несостоятельности классических моделей могут быть разными. К примеру, если показатели надежности
4
вычисляются на основе статистических данных, накопленных за определенное время, то существенную роль будет иметь то обстоятельство, является или нет ноток событий, в результате которых накапливаются статистические данные, однородным. То есть, стремится ли отношение количества зарегистрированных в течение определенного интервала времени событий к длине этого интервала времени к некоторому числу с течением времени. Если такое сближение указанного отношения с некоторым числом имеет место, то классические модели могут давать адекватные результаты. Однако, если такое сближение не наблюдается, и указанное отношение сильно колеблется, оставаясь случайным (то есть непредсказуемым), то классические модели неадекватны и приводят к весьма существенной недооценке риска. В частности, вместо ожидаемого в соответствии с классической теорией нормального закона в подобных ситуациях (например, если упомянутое выше отношение ведет себя как гамма-распределенная случайная величина) могут возникать, скажем, функции распределения ущерба типа распределения Стьюден-та с произвольно малым числом 7 степеней свободы ( см. например [21], [9], [11]). Например, функция распределения Стьюдента при 7 = 2 (ему соответствует интенсивность потока информативных событий, имеющая асимптотически экспоненциальное распределение) имеет вид
Ф(ж) = \ + х/(2\/2 + х2), хбЕ.
Хвосты этого распределения столь тяжелы, что у него отсутствуют моменты порядков 6 > 2. Несложно видеть, что ДЛЯ 1 < р < 1, (3-квантиль этого распределения равна \/2(2(3 — 1)/у/1 — (2(5 — I)2. Поэтому, например, расстояние между квантилями порядков 0.975 и 0.025 этого распределения (что в определенном смысле соответствует длине “наикратчайшего доверительного интервала” с коэффициентом доверия 0.95) оказывается почти в 2.2 раза больше соответствующей характеристики нормального распределения с тем же параметром масштаба. Этот при-
5
мер наглядно иллюстрирует, насколько важно учитывать случайность интенсивности потока событий, несущих регистрируемую информацию. В противном случае можно существенно недооценить размер возможного ущерба или саму возможность критического ущерба (легко видеть, что реальная доверительная вероятность “95%-ного нормального” интервала, вычисленная по приведенной выше функции распределения Ф(л), оказывается меньшей, чем 0.82).
В такой же ситуации с асимптотически гамма-распределенной интенсивностью потока информативных событий вместо классического экспоненциального закона возникают распределения Парето с произвольно тяжелыми хвостами [16].
Неоднородность потока информативных событий, приводящая к возникновению неклассических вероятностных моделей с “тяжелыми хвостами”, является, увы, не исключением, а правилом. Поэтому особую важность приобретает изучение именно внутренних, аналитических механизмов формирования вероятностных моделей рисковых ситуаций.
Асимптотический подход, основанный на предельных теоремах теории вероятностей, дает возможности получить не только сами формальные вероятностные модели рисковых ситуаций, традиционных для теории надежности, но и в некотором смысле дать разумное теоретическое объяснение их адекватности на основе минимальных предположений о внутренней структуре изучаемых характеристик, что чрезвычайно важно при решении задач анализа надежности технических и информационных систем и рисков, связанных с их отказами, в условиях стохастической неопределенности.
При изучении надежностных характеристик сложных технических и информационных систем (в том числе модифицируемых) возможны как минимум два подхода. Первый из них - параметрический - заключается в том, что распределения параметров, определяющих надежностные характеристики систем, считаются известными. Эти распределения за-
6
даются заранее исходя из каких-либо предположений или заключений (см., например [46], [49], [43], [14]).
Второй подход - непараметрический - стал предметом систематических исследований только в последнее время (см., например [32], [22]). Непараметрический подход заключается в рассмотрении моделей изменения самих надежностных характеристик, минуя задачу идентификации распределений. Если распределение времени безотказной работы известно хотя бы с точностью до параметра (известна модель), то параметрический подход может привести к более точным результатам. Однако, если модель неизвестна, то параметрический подход неприменим. Более того, если модель распределения времени безотказной работы выбрана неправильно, то параметрический подход может привести к существенно неверным результатам. В то же время непараметрический подход является устойчивым по отношению к выбору модели, так как непараметрические методы не зависят от конкретной модели распределения времени безотказной работы.
Именно непараметрический подход рассматривается в данной диссертации. В рамках этого подхода удается построить методы анализа показателей надежности сложных систем, и, прежде всего, коэффициента готовности, свободные от конкретного вида распределений времени безотказной работы технической или информационной системы и ремонтновосстановительных работ. Более того, в диссертации изучается трансформация этих методов при случайной интенсивности потока информационных событий, в частности, при случайном объеме доступной выборки. Приведен достаточно общий пример такой организации испытаний сложных агрегированных систем, при которой объем выборки имеет отрицательное биномиальное распределение.
Основным объектом исследования в диссертации является коэффициент готовности, который в условиях стационарного режима работы системы имеет смысл вероятности того, что система окажется работо-
7
- Київ+380960830922