РАЗДЕЛ 2
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ИДЕНТИФИКАЦИИ
2.1. Дискретные динамические системы
Рассмотрим линейную стационарную причинно-обусловленную дискретную систему со
скалярным ограниченным входом и скалярным ограниченным выходом (рис. 2.1).
Рис. 2.1. Система
Любая такая система может быть описана импульсной реакцией
, (2.1)
где — дискретное время. Зная и , , можно произвести последовательный расчет
выходного сигнала для любого входного сигнала. Таким образом, импульсная
реакция (импульсная решетчатая переходная функция) полностью определяет
поведение системы.
Удобно ввести оператор единичного запаздывания
.
Тогда можно переписать формулу (2.1) в виде разностного уравнения
,
где используется обозначение
. (2.2)
— передаточный оператор линейной системы.
На основании (2.2) дискретная передаточная функция данной системы имеет вид
, (2.3)
где к последовательности применено -преобразование. Функция представляет собой
комплекснозначную функцию от комплексной переменной .
Далее, чтобы работать с правильной частью ряда Лорана функции , а не с
правильной и бесконечной главной частями, используется подстановка . Поскольку
сумма степенного ряда аналитична в области сходимости, то после названной
подстановки функция аналитична в круге с центром в нуле и радиусом , то есть
всюду, где сходится ряд .
В работе будут рассматриваться системы с ограниченными передаточными функциями:
, , .
Тогда коэффициенты ряда (2.3) ограничены по модулю . Для устойчивости системы
требуется, чтобы выполнялось , что равносильно выполнению условия
.
Тогда полюса функции после описанной выше подстановки будут по модулю больше
единицы. Значит, все полюса передаточной функции (2.3) должны быть по модулю
меньше единицы, что гарантирует устойчивость.
Передаточная функция вида (2.3) описывает достаточно широкий класс систем —
линейных стационарных причинно-обусловленных дискретных. При этом для их
оценивания используются три подхода. В первом функция раскладывается в ряд по ,
и оцениваются коэффициенты разложения . Это разложение в равносильно
непараметрическому оцениванию, поскольку не выделяется множество возможных
моделей.
Во втором подходе на основе знаний о системе выбирается конкретная структура
функции и оцениваются параметры этой структуры. Среди таких структур — модель
конечной импульсной реакции (FIR), авторегрессионная (AR) модель, модель
скользящего среднего (MA), модель авторегрессии и скользящего среднего (ARMA),
модель авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего, модель
авторегрессии и скользящего среднего с дополнительным входным сигналом (ARMAX),
временные ряды и т.д. Все они в случае устойчивости системы эквивалентны (2.3)
в силу разложения
, .
Помимо разложения (2.2) возможны и другие виды разложения передаточного
оператора, линейные по параметрам
,
где — некоторый набор линейных базовых фильтров. При получается FIR модель.
Выбор , даст модель Лагерра (Laguerre), хорошо аппроксимирующая системы низкого
порядка с быстро затухающей передаточной функцией.
А при
, , получится модель Коца (Kautz) для идентификации систем с резонансом. Кроме
того, в общем случае может быть линейной комбинацией перечисленных выше
фильтров либо набором ортонормированных базисных функций.
Третий подход является смешанным — параметрически-непараметрическим. При этом
передаточная функция представима в виде суммы двух слагаемых: передаточной
функции модели некоторой упрощенной, грубой структуры (конечного числа членов
разложения (2.3) или одной из описанных выше) и передаточной функции динамики,
не учтенной моделью выбранной приближенной структуры.
По конечному числу наблюдений можно оценить только конечное число параметров
модели. Поэтому всегда имеет место немоделируемая динамика системы, вызванная
конечностью и зашумленностью экспериментальных данных. В результате получается
оценка некоторой номинальной модели и возмущенного множества.
Описанные модели систем ориентированы на дальнейшее применение при решении
проблемы синтеза робастного управления [46, 57, 60, 61, 90, 97]. В зависимости
от того, в какой норме будет оцениваться качество идентифицируемой модели (по
ошибке оценки передаточной функции в или по ошибке оценки импульсной реакции в
), таковыми будут и методы синтеза регуляторов: -оптимизация или -оптимизация.
Цель их заключается в построении регуляторов, гарантирующих заданное качество
управления в замкнутом контуре не для одной номинальной модели, но для
множества моделей, полученных при данном возмущении номинальной модели.
Измерения, используемые для идентификации, проводятся в открытом контуре при
односторонней входной последовательности: , , то есть, начиная из состояния
покоя:
, ,
где — аддитивная помеха. Нулевые начальные условия выбраны для упрощения
выкладок. Все результаты можно легко обобщить на случай ненулевых начальных
условий. Для синтеза регулятора требуется знание передаточной функции или
импульсной реакции номинальной модели и возмущенного множества.
2.2. Постановка задачи идентификации при ограниченном возмущении
В работе применяется непараметрический подход при описании передаточной функции
, то есть оценивается последовательность параметров разложения (2.3) устойчивых
систем.
Далее рассматривается задача -идентификации устойчивых объектов (2.1). Это
значит, что по имеющимся входным и выходным данным необходимо получить
устойчивую оценку вектора параметров
. (2.4)
Для решения данной задачи будем приближать систему (2.1) моделью конечной
импульсной реакции, задаваясь конечным порядком модели , а потом осуществлять
предельный переход при . Пусть в результате эксперимента п
- Київ+380960830922