РОЗДІЛ 2.2. Оцінювання функціоналів прихованого потоку.
2.2.1. Оцінка кількості попадань за час спостережень у схемі умовно незалежних випадкових величин. В цьому пункті для схеми умовно незалежних випадкових величин { x(t), ?(t) }, t = 0, 1, 2, ..., яка розглядалась в пункті 2.1.1, пропонується наступна статистична задача.
Нехай ?(n) = max{k: ?(k)?n}, - кількість попадань ланцюга Маркова x(n) в 0-й стан за час n, і якщо ?(1)>n, то ?(n) = 0. На основі спостережень {?0, ?1, ?2, ..., ?n} над процесом ?(t), (?k = ?(k), k = ) на проміжку часу від 0 до n треба оцінити значення ?(n).
Критерій оптимальності введемо наступним чином:
Нехай ?n = ?(?0, ?1, ?2 , ..., ?n) - деяка дискретна випадкова величина, що приймає значення із множини {0, 1, ..., n}. ?n* назвемо оптимальною оцінкою ?(n), якщо
M|?(n) - ?n *| = M|?(n) - ?n |(2.40) Теорема 2.6. Оптимальною за критерієм (2.40) оцінкою ?(n) є випадкова величина
?n* = max{k: ?(k)*?n },(2.41)де ?(k)* - оптимальна за критерієм (2.5) оцінка k-го попадання процесу Маркова x(n), n = 0,1,2,... в 0-й стан. При цьому, якщо ?(1)*>n, то ?n* = 0.
Доведення. Далі для зручності будемо позначати ?n через ?. Нехай
?n*(i) = P{?(n) = i/Fn}, де Fn = ?{?(0), ?(1), ..., ?(n)}.
Розглянемо критерій оптимальності (2.40), за яким шукається оцінка випадкової величини ?(n):
M|?(n) - ?| = M { M | ?(n) - ? | / Fn} = M{ +}= M{} =
=M{}.
Оскільки = M{?(n)/ Fn }, то
M|?(n) - ?| = M{ M{?(n)/ Fn } + }=
=M?(n) + M{} = M?(n) + Ms(?),
де s(?) = .
При цьому:
s(?+1) - s(?) = - +
= +2??n*(?) + - 1-
-2??n*(?) - = .
Оскільки при цьому ??0, то ?n*, для якої виконується умова (2.40), буде підраховуватись за наступною формулою
?n* = max{?:0???n, }.(2.42) Нехай y(n) = {x(n), x*(n)}, n = 0, 1, ... - процес визначений раніше у доведенні теореми 2.2. Тоді враховуючи, що
?n*(i) = P{?(n)=i/Fn}= P{x*(n) = i/Fn}==,
(2.43)формулу оцінки (2.7) можна переписати в такому вигляді
?(k)* = min{ m, m?0 : }.
Отже, беручи до уваги вигляд формули (2.42), із умови ?(k)*?n і ?(k + 1)*>n випливає, що ?n* = k, що і доводить справедливість формули (2.41).
2.2.2. Оцінка кількості втрачених вимог за час спостережень у системі масового обслуговування типу M|M|n|m. Розглянемо наступну модель експерименту. Нехай, як і в пункті 2.1.4, вважається, що параметри системи відомі, при цьому на проміжку часу [0,T] спостерігаються лише моменти tk,k = 0,1,... Необхідно за цими спостереженнями знайти оцінку кількості втрачених вимог в системі за час [0,T].
Нехай ?(r) = max{k: ?(k)?r} - кількість втрачених вимог за проміжок часу [0,tr+1], де t?(k) - момент k-ої втрати вимоги в системі, і якщо ?(1)>r, то ?(r) = 0.
Аналогічно до попереднього випадку оцінку для ?(r) досить легко побудувати на основі оцінок для ?(k), отриманих у теоремі 2.5.
Введемо критерій оптимальності, аналогічний до критерію (2.40), розглянутого в пункті 2.2.1.
Нехай ?r - деяка дискретна випадкова величина, що приймає значення із множини {0, 1, ..., r}. ?r* назвемо оптимальною оцінкою ?(r) якщо
M|?(r) - ?r *| = M|?(r) - ?r |(2.44)
Теорема 2.7. Оптимальною в розумінні (2.44) оцінкою ?(r) - кількості втрачених вимог у СМО за час [0, tr+1], за спостереженнями { t0, t1, ???, tr+1} є випадкова величина
?r* = max{k: ?r },(2.45)де -оптимальна за критерієм (2.5) оцінка k-ої втрати вимоги в системі. Якщо >r, то ?r* = 0.
Доведення. Далі для зручності будемо позначати ?r через ?. Нехай
?r*(i) = P{?(r) = i/Gr}, Gr = ?{ t0, t1, ???, tr+1}.
Скориставшись формулами, отриманими в доведенні тереми 2.6, можемо критерій (2.44) переписати у наступному вигляді
M|?(r)-?| = M?(r) + Ms(?),
де s(?) = .
При цьому: s(?+1) - s(?) = . Аналогічно до (2.42), можна стверджувати, що ?r*, для якої виконується умова (2.45), буде підраховуватись за наступною формулою
?r* = max{?:0???r, }.(2.46) Нехай y(t) = {x(t), x*(t)}, t = 0, 1, ... - процес, визначений в доведенні теореми 2.5. Оскільки
?r*(i) = P{?(r) = i/Gr} = P{x*(r) = i/Gr} = ,
то остаточне доведення теореми випливає з вигляду оцінки (2.27) та формули (2.46).
2.2.3. Оцінка кількості попадань марковської системи в певний стан за критерієм "мінімальної ймовірності незбігу". В цьому пункті, як і в попередніх пунктах 2.2.1 і 2.2.2, розглядається задача оптимального оцінювання кількості попадань марковських систем в 0-й стан і кількості втрачених вимог у СМО за час спостережень. Умови статистичного експерименту залишаються попередніми, тільки змінюється критерій, за яким визначається оптимальність оцінки.
А саме, введемо наступний критерій оптимальності:
Нехай ? - деяка дискретна випадкова величина, що приймає значення із множини X = { 0, ..., n }.
Розглянемо наступний клас дискретних випадкових величин ?n = ?(?0, ?1, ..., ?n), де ?0, ?1, ..., ?n - деяка послідовність випадкових величин, а ?n приймає значення із множини X.
Назвемо ?0 оптимальною оцінкою ?, якщо
P{ ?0 ? ? } = P{ ?n ? ? }(2.47) Лема. Позначимо Gn = ?{ ?0, ?1, ..., ?n } - ?-алгебра породжена випадковими величинами ?0, ?1, ..., ?n. Тоді
?0 = arg P{ ? = i/Gn }
є оптимальною оцінкою випадкової величини ? у розумінні (2.47).
Доведення. Розглянемо вираз (2.47). Використовуючи формулу повного математичного сподівання, ??n маємо:
P{ ?0?? }= M P{ ?0??/Gn } = 1-M P{ ?0=?/Gn }?1-M P{ ?n = ?/Gn } = P{ ?n?? }.
Розглянемо тепер випадок, коли необхідно знайти оптимальну за критерієм (2.47) оцінку для ? = ?(n) - кількості попадань процесу x(t), t = 0,1,... в схемі умовно незалежних випадкових величин за спостереженнями над процесом ?(t), t = 0,1,... Нехай Gn = ?{ ?(0), ?(1), ..., ?(n) }. Тоді з леми й формул (2.43) випливає справедливість наступного твердження:
Теорема 2.8. Оптимальною в розумінні (2.47) оцінкою ?(n) є
?0 = arg ,
де - умовні ймовірності, що підраховуються за формулами теореми 2.2.
Аналогіч