РОЗДІЛ 2
ІНВЕРСНІ НАПІВГРУПИ ТА ЇХ ЗОБРАЖЕННЯ. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ТА ДОПОМІЖНІ РЕЗУЛЬТАТИ.
2.1. Основні поняття
Нагадаємо, що напівгрупа називається інверсною, якщо для кожного її елемента існує єдиний елемент , для якого виконуються рівності , . Для такий елемент будемо позначати через і називати інверсним до a. Піднапівгрупа інверсної напівгрупи називається інверсною, якщо із випливає, що .
Розглянемо деякі властивості інверсних напівгруп, які будуть використані при доведенні основних результатів роботи.
Лема 2.1 ([5, гл.1, с.48]). Для кожного елемента інверсної напівгрупи елементи , є ідемпотентами.
Наслідок. Довільна інверсна напівгрупа містить ідемпотенти.
Лема 2.2. ([5, л.1.16, т.1.17; 42, 43]). У інверсній напівгрупі добуток довільних двох ідемпотентів є ідемпотентом, будь-які два ідемпотенти комутують.
Лема 2.3. ([5, л.1.18]). Для будь-яких елементів інверсної напівгрупи мають місце співвідношення , .
Лівим (правим) ідеалом напівгрупи називається така непорожня підмножина , що (). Просто ідеалом (двостороннім ідеалом) називається підмножина, що одночасно є і лівим, і правим ідеалом. Для непорожньої підмножини перетин усіх лівих (правих) ідеалів напівгрупи , що містять , є найменшим лівим (правим) ідеалом, що містить . Будемо називати його лівим (правим) ідеалом напівгрупи , породженим множиною . Зокрема, якщо , то такий ідеал називається головним ідеалом, породженим елементом . Очевидно, що у випадку інверсної напівгрупи головний правий (лівий) ідеал має вигляд ().
Нагадаємо, що елементи напівгрупи називаються ?-еквівалентними (?-еквівалентними), якщо вони породжують один і той же правий (лівий) головний ідеал, тобто ? (?). Клас еквівалентності відношення ? (відношення ?), що містить елемент , будемо позначати ().
Лема 2.4. ([5, т.1.17; 2, 43]). Для кожного елемента інверсної напівгрупи існує і єдиний такий ідемпотент, що головний правий (лівий) ідеал напівгрупи , породжений , породжується цим ідемпотентом, тобто кожний ?-клас (?-клас) містить єдиний ідемпотент.
Прикладом інверсної напівгрупи може слугувати напівгрупа усіх часткових взаємно однозначних відображень деякої множини в саму себе, яку будемо називати інверсною симетричною напівгрупою на множині , і позначати . У випадку скінченної множини , будемо іноді для зручності також вживати позначення , де . Елементи напівгрупи будемо називати частковими підстановками множини . Наступна теорема показує, що інверсна симетрична напівгрупа відіграє в теорії інверсних напівгруп роль, аналогічну ролі симетричної групи в теорії груп.
Теорема 2.1 (Вагнер [6], Престон [23]). Довільна інверсна напівгрупа ізоморфна інверсній піднапівгрупі інверсної симетричної напівгрупи усіх взаємно однозначних часткових відображень множини .
Через будемо позначати так званий природний частковий порядок на S : :. Для зручності іноді будемо вживати і позначення ?. Зокрема, будемо писати , якщо і .
Розглянемо деякі властивості природного часткового порядку, які будуть використовуватися в роботі.
Лема 2.5. ([6]). Бінарне відношення є частковим порядком на інверсній напівгрупі, стабільним відносно множення і взяття інверсного елемента.
Замиканням H? множини називається множина H?:=. Якщо H?=H, то H називається замкненою.
Бінарне відношення будемо називати частковою еквівалентністю на множині , якщо існує така підмножина , що відношення є еквівалентністю на . При цьому множину будемо називати областю визначення для . Очевидно, бінарне відношення на S є частковою еквівалентністю тоді і тільки тоді, коли воно симетричне і транзитивне.
Часткова еквівалентність на напівгрупі називається стабільною справа (зліва), якщо для кожного із випливає, що або (), або ні , ні (ні , ні ) не належать області визначення . Стабільна справа (зліва) часткова еквівалентність на S називається частковою правою (лівою) конгруенцією.
Для замкненої інверсної піднапівгрупи інверсної напівгрупи S розглянемо відношення на множині елементів напівгрупи S. Тоді справедлива наступна теорема.
Теорема 2.2 ([25]). Для замкненої інверсної піднапівгрупи інверсної напівгрупи S відношення є частковою правою конгруенцією на S з областю визначення . Класами еквівалентності цього відношення є множини , де , зокрема - один із -класів. Клас еквівалентності містить .
Лема 2.6 ([25]). Часткова права конгруенція є головною частковою правою конгруенцію, тобто задовольняє наступні три умови:
(1) точно один -клас, а саме , містить ідемпотенти;
(2) кожний -клас замкнений відносно ;
(3) допускає праве скорочення, тобто із випливає .
Надалі -класи часткової правої конгруенції на будемо називати правими -класами за замкненою інверсною піднапівгрупою . Ці множини є узагальненням поняття правих класів суміжності групи за підгрупою на випадок інверсної напівгрупи.
Через позначимо множину ідемпотентів напівгрупи . Ідемпотент називається примітивним, якщо він ненульовий і такий, що для кожного ненульового ідемпотента із випливає, що . Через (або просто ) будемо позначати множину усіх примітивних ідемпотентів інверсної напівгрупи . Якщо , то єдиний елемент з будемо позначати .
Лема 2.7. Нехай S - така інверсна напівгрупа, що кожний спадний ланцюг ідемпотентів із обривається, а - ненульовий ідемпотент із . Тоді існує такий , що .
Доведення. Якщо , то твердження леми тривіальне. Нехай . Оскільки , то існує такий ненульовий ідемпотент , що . Якщо , то лема доведена. В противному разі для існує такий ненульовий ідемпотент , що . Оскільки кожний спадний ланцюг ідемпотентів із обривається, на деякому кроці отримаємо такий ненульовий ідемпотент , що для довільного ненульового ідемпотента із випливає, що . Отже, . При цьому . Отже, . ¦
Наслідок. Якщо S - така інверсна напівгрупа, що кожний спадний ланцюг ідемпотентів із обривається, то .
Зауваження. Якщо S - інверсна напівгрупа зі скінченною кількістю ідемпотентів, то кожний спадний ланц
- Київ+380960830922