РОЗДІЛ 2
ТОЧНІ ОЦІНКИ РОЗВ'ЯЗКІВ МІШАНОЇ ЗАДАЧІ
ДЛЯ НЕДИВЕРГЕНТНИХ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ
У цьому розділі наша область в околі ребра дифеоморфна клину , який , . Розхил кута рівний , причому , . У такому випадку межу області можна представити , , . , -- поверхні класу . Ми вивчаємо мішану задачу для лінійних еліптичних недивергентних рівнянь другого порядку:
в околі ребра межі області , при мінімальних вимогах на гладкість коефіцієнтів рівняння. А саме, ми встановимо найкращі показники Гельдера в околі ребра для розв'язків задачі (2.1)-(2.2). Означимо, що ми розумітимемо під розв'язком задачі (2.1)-(2.2).
Означення. Розв'язком задачі (2.1)-(2.2) називається така функція , яка задовольняє рівняння (2.1) майже скрізь в та граничну умову (2.2) для всіх .
Стосовно нашого рівняння припускаємо виконаними наступні умови: (a) умова рівномірної еліптичності: існують числа , такі, що виконується нерівність
(b) , , ; , , -- вимірні в функції, причому (); , , і для них виконується нерівність
де -- визначена при , невід'ємна монотонно зростаюча неперервна в нулі функція, , а -- функція, безмежно диференційовна, додатна всюди крім , і співпадаюча в деякому околі з відстанню від до .
Зауваження 2.1. Після здійснення дифеоморфного перетворення, яке переводить окіл області в окіл клина можна записати
оскільки для має місце , . Далі
тому в циліндричних координатах і
Звідки випливає
Означимо функцію кута (див. напр. [24]). Аналогічно, як у випадку задачі Діріхле, старші коефіцієнти рівняння неперервні функції, отже для довільної фіксованої точки існує невироджене перетворення координат, що переводить головну частину рівняння до канонічного вигляду, у нашому випадку до оператора Лапласа. Зафіксуємо точку на ребрі і здійснимо таке перетворення координат. Нехай -- кут у який перейде після такого перетворення і -- розхил кута . Позначимо ще через
Перейдемо до виведення оцінок.
2.1. Оцінки у вагових просторах
Теорема 2.2. Нехай -- розв'язок задачі (2.1)-(2.2) і виконані припущення (a), (b), а також нерівність
Нехай , причому існує таке, що
Тоді і справедлива оцінка
Доведення. Аналогічно, як це було у випадку теореми 1.1, твердження теореми випливає з наступної локальної оцінки: якщо виконана умова
(c) -- символ Кронекера .
і нерівність
то і справедлива оцінка
Для доведення локальної оцінки зафіксуємо деякий, достатньо малий окіл ребра , . Розглянемо функцію . Тут -- зрізаюча функція, така, що в циліндричних координатах запишеться як , де функція при , для , при і для , при , , ( . Очевидно, що при , при і при , (. А завдяки (2.3) і (2.2)
Перепишемо рівняння (2.1), у вигляді
де . Далі розіб'ємо доведення леми на два етапи: I. і II. .
I. .
Перемножимо обидві частини рівняння (2.10) на і проінтегруємо по області , . Застосовуючи двічі інтегрування частинами, з використанням формул додатку А.1, маємо
де -- елемент площі поверхні . Таким чином, з рівняння (2.10) одержуємо
Розглянемо функцію . Оскільки і при , , то . В рівності (2.11) оцінимо інтеграли по . За нерівністю Гельдера маємо
Далі оцінюємо інтеграл, що праворуч в (2.11) за нерівністю Коші
В результаті з (2.11) з врахуванням умови (b) одержуємо нерівність
Нехай та розглянемо дві множини і . В області розглянемо рівняння (2.1)
де -- нова змінна перетворення координат , а -- координати на ребрі деякої точки і відповідно
В силу -оцінок (Б.18) для розв'язку рівняння (2.13) всередині області і поблизу гладкого куска границі маємо
де стала залежить лише від , , , і області (застосовувати -оцінки ми мали право, оскільки -- неперервні, а і , в силу умови (b), обмежені ()). Повертаючись до змінних , , одержуємо
Здійснимо процедуру сумування, як ми це робили при одержанні (1.17): покриємо область вздовж ребра підобластями подібними до , в кожній з яких справедлива щойно одержана оцінка і просумуємо одержані таким чином нерівності. Тобто, розглянемо послідовність точок ( , де ) таку, що
Послідовність вибрана таким чином, що і тому, просумувавши попередні нерівності за всіма , матимемо
Сумування може бути здійснене оскільки одержані праворуч інтеграли рівномірно обмежені: за теоремою про середнє (див. додаток Б.1) при
і в силу припущення (2.6)
Розглянемо ще рівняння (2.13) в області при і
Так само застосуємо -оцінку (Б.18) для розв'язку рівняння (2.13) всередині області і поблизу гладкого куска границі
повертаючись до змінних і , відкинувши інтеграли по тій частині області де
Переходимо до оцінки інтегралу по в (2.12). За теоремою про середнє (додаток Б.1), беручи до уваги властивості зрізки маємо
Звідси на підставі (2.14) одержуємо, що для
Покладаючи , з (2.15), (2.16) і (2.18) остаточно одержимо
Звернемося тепер до оцінки передостаннього інтеграла справа в (2.12). В силу неперервності функції для довільного існує число таке, що , як тільки . Нехай . Тоді на основі нерівності (2.14) з врахуванням (2.15) і (2.16) спочатку одержуємо нерівність
а потім, беручи до уваги властивості зрізки
, . Повертаючись до нерівності (2.12), на підставі цієї оцінки та оцінок (2.17), (2.19) одержуємо нерівність
Крім того, ще скористаємося нерівністю Віртінгера (Б.9.6). Тепер з нерівності (2.20) при належно малому (з на підставі неперервності дізнаємося як вибирати число ), а також з оцінки
(вона одержується в результаті покладання у (2.17) і просумовування одержаних нерівностей по , , ), враховуючи властивості зрізаючої функції, остаточно отримуємо
причому сталі , від не залежать. Зауважимо, що інтеграл справа скінчений, оскільки і до останнього інтеграла можна черговий раз застосувати оцінку в області , обмеживши, таким чином, цей інтеграл через інтеграли від та . Наведені міркування дозволяють записати замість (2.21)
де можна на підставі теореми Фату спрямувати , звідки випливає справедливість (2.9) у випадку I.
II. .
У цьому випадку в силу очевидних вкладень , з умови теореми маємо, що . Тоді з доведеного у ви
- Київ+380960830922