РОЗДІЛ 2
ПОБУДОВА ТА ДОСЛІДЖЕННЯ ДИНАМІЧНИХ МОДЕЛЕЙ ВИЗНАЧЕННЯ ЦІНИ ОПЦІОНУ З УРАХУВАННЯМ ОСОБЛИВОСТЕЙ ПРОГРАМНОЇ ТОРГІВЛІ
2.1. Сучасні методи і моделі прогнозування цін в опціонній торгівлі
Як зазначалося раніше, центральним питанням в торгівлі на фінансовому ринку з використанням похідних фінансових інструментів є питання визначення справедливої ціни деривативу. Справедливою (реальною) ціною опціону називається вартість премії, що виплачується покупцем опціону, яка дозволяє продавцю опціону сформувати портфель з цінних паперів, до яких входить і базовий актив, вартість якого наприкінці дії опціонного контракту буде не меншою за виплати, які продавець повинен зробити по опціону. Якщо опціон продається за ціною, що не відповідає його реальній ціні, виникає можливість проведення арбітражних угод. Таким чином, знання справедливої ціни опціону дозволяє його продавцю визначити стратегію хеджування ризику, пов'язаного з продажем опціону, а арбітражеру за допомогою порівняння цін на ринку та розрахункової справедливої ціни, визначати переоцінені та недооцінені опціони та проводити відповідні опціонні стратегії.
Оскільки дії арбітражерів в решті решт призводять до вирівнювання цін, а торгівля у відповідності зі стратегіями хеджування до зниження ризиків торгівлі цінними паперами, можна зробити висновок, що те, наскільки моделі визначення справедливої ціни опціону є адекватними реальності, впливає на рівновагу економічної системи в цілому.
Найбільш узагальненою моделлю визначення справедливої ціни опціону та динамічної стратегії хеджування ризиків, пов'язаних з продажем опціону, є мартингальна теорія розрахунків опціонів [93,105]. Вона дозволяє обчислювати ціни опціонів будь-якого типу з граничними функціями виплат (тобто функціями залежності виплат продавця опціону в момент реалізації опціону від певних параметрів) загального вигляду. Але її застосування на практиці вимагає неабияких знань з теорії ймовірностей та теорії випадкових процесів. Тому в загальному вигляді ця теорія економістами не використосовується, проте її частинні випадки мають велике практичне значення. До них відносяться:
- біноміальна модель [28,31, 93] ? модель з дискретним часом і граничною функцією виплат звичайного вигляду;
- узагальнена біноміальна модель [71] ? модель з дискретним часом та узагальненою граничною функцією;
- модель Блека-Шоулза [1,93,105] ? модель з неперервним часом та граничною функцією виплат звичайного вигляду.
В цьому підрозділі нашою метою є не тільки опис цих моделей, а і дослідження їх взаємозв'язку через однакові принципи, що лежать в їх основі, через спільність методів та підходів, через спільність результатів, що одержуються.
З точки зору напрямку нашого дисертаційного дослідження, головним результатом, що поєднує всі ці моделі є той, що з кожної з них можна отримати формулу Блека-Шоулза розрахунку справедливої ціни європейського опціону на купівлю. Формула Блека-Шоулза є перехрестям всіх моделей, що доводить їх адекватність і внутрішню цілісність. Незважаючи на те, що формулі Блека-Шоулза властиві певні недоліки, вона і її розширення і досі вважаються найефективнішим засобом визначення реальної ціни опціону.
На початку підрозділу введемо позначення, якими ми будемо користуватися надалі при аналізі та моделюванні цінового процесу:
X або х ? ціна основного активу;
t ? час, що пройшов від моменту укладення опціонної угоди;
Xt або хt ? ціна основного активу в момент часу t;
? ? волатильність базового активу, або середнє квадратичне відхилення, береться у річному вимірюванні;
C ? ціна опціону, або премія;
C(x,t) ? функція залежності ціни опціону на купівлю від ціни основного активу x та часу t;
P(x,t) ? функція залежності ціни опціону на продаж від ціни основного активу x та часу t, що пройшов з моменту укладення опціонної угоди;
Ce ? ціна опціону на купівлю європейського типу;
Ca ? ціна опціону на купівлю американського типу;
Pe ? ціна опціону на продаж європейського типу;
Pa ? ціна опціону на продаж американського типу;
T ? час дії опціонної угоди, вимірюється в роках;
? ? час, що залишився до закінчення дії опціону, ? = Т ? t;
K ? ціна реалізації опціону;
r ? безризикова ставка, що неперервно нараховується. Для того, щоб її визначити, користуються наступною формулою [Б3]:
r = m ln(1+rекв/m)
де rекв еквівалентний до r процент, що нараховується m разів на рік; помітимо, що термін "безризикова ставка" може застосовуватись і по відношенню до кредиту у банківській установі, і по відношенню до облігацій (які за своєю суттю є видом кредиту).
q ? величина ставки дивіденду, що виплачується по базовому активу;
Р{А} ? ймовірність події А;
Е(?) ? математичне сподівання (середнє значення) випадкової величини ?;
D(?) ? дисперсія випадкової величини ?;
Надалі, для спрощення міркувань, у якості базового активу будемо розглядати акції.
В основі більшості моделей, що визначають ціну опціону, лежать наступні припущення:
(і) інвестор має можливість сформувати портфель, який складається з опціонів та активів, що буде нейтральним по відношенню до ризику зміни цін на активи та опціони. Для такого портфеля зміни цін на базові активи будуть компенсуватися змінами цін на опціони, тобто весь ризик, пов'язаний з володінням опціону, може бути усунений за допомогою базового активу та безризикових облігацій. Оскільки ціни змінюються неперервно, необхідно неперервно корегувати портфель для того, щоб він залишався нейтральним до ризику. Це корегування відбувається за допомогою зміни співвідношення кількості опціонів та кількості базових акцій;
(іі) нейтральний до ризику портфель має забезпечити інвестору прибутковість, що дорівнює ставці без ризику;
(ііі) принцип відсутності можливості укладення арбітражних угод.
При дослідженні методів моделювання цінового процесу опціону ми будемо користуватись системою обмежень, якій повинна підпорядковуватись функція залежності ціни опціону від основних фактор