РОЗДІЛ 2
ГЕОМЕТРИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ
СПРЯЖЕНИХ КРИВОЛІНІЙНИХ
ПОВЕРХОНЬ - ПОВЕРХНІ КЛАСУ
ОБЕРТАННЯ І КЛАСУ ГВИНТОВИХ
Під геометричним моделюванням, як відомо ?83? будемо розуміти побудову таких поверхонь, які у кожен момент часу мали б точку контакту і нормаль у цій точці до поверхонь, що проходила б через осі цих поверхонь. Базою для розвитку теоретичних основ формалізації методів геометричного моделювання спряжених криволінійних поверхонь є:
1. Доведена А.Н. Підкоритовим теорема про визначення точок контакту спряжених гвинтових поверхонь: "Якщо кожну зі спряжених криволінійних поверхонь ?А і ?В розглядати як обвідну сім'ї попарно спряжених аксоїдів ?А і ?В, які задовольняють діаграму кінематичного гвинта, то кожна точка контакту поверхонь ?А і ?В визначається, як точка дотику характеристики аксоїдів з поверхнею ?А "?83?.
2. Дослідження геометрії спряжених криволінійних гвинтових поверхонь із застосуванням ЕОМ ?85?.
3. Інваріантний метод геометричного моделювання спряжених гвинтових поверхонь вищих кінематичних пар ?88?.
4. Виведене загальне рівняння, яке виражає умову спряженості аксоїдів з лінійним контактом ?97?.
Спираючись на вище викладені базові положення розглянемо геометричну модель криволінійних поверхонь, а саме: поверхні класу обертання і класу гвинтових.
Дано: криволінійна поверхня класу обертання ?А (і, fА)? fА і?, параметри спряження - відстань е між осями і та j, кут мимобіжності ? та гвинтовий параметр р.
Побудувати: для поверхні ?А спряжену їй гвинтову поверхню ?В з криволінійною твірною fВ.
Розв'язання задачі: поставлену задачу будемо розв'язувати за допомогою способу обвідних спряжених аксоїдів (рис. 2.1). Алгоритм способу наступний:
1. Для поверхні класу обертання ?А визначаємо співвісну сім'ю миттєвих обвідних гіперболодів аксоїдів ?іА (?А1, ?А2, ... ?Аn).
2. Для цієї сім'ї аксоїдів за допомогою діаграми кінематичного гвинта для просторового контакту знаходимо спряжену їй сім'ю миттєвих гвинтових лінійчастих аксоїдів ?jВ(?B1, ?B2, ... ?Bn). Спряження поверхонь проходитиме по лінійних характеристиках m1, m2, ...mn.
3. В точках дотику характеристик аксоїдів з поверхнею обертання визначаємо сім'ю кіл lіА(lА1, lА2, ... lАn) та сім'ю геліс ljВ(lB1, lB2, ... lBn), які належать відповідно сім'ям гіперболоїдів та гелікоїдів.
4. Проводимо обвідну fВ до сім'ї геліс та формуємо шукану криволінійну гвинтову поверхню ?В.
Для розв'язання поставленої задачі необхідно розглянути декілька аспектів:
1. визначення спряжених ліній у точках спряження;
2. обґрунтування точкового контакту за Письмаником;
3. підбір миттєвих аксоїдів для поверхонь;
4. розробка діаграми кінематичного гвинта для просторового криволінійного контакту;
5. побудову спряжених поверхонь на комплексному кресленні;
6. алгоритм формування спряжених криволінійних поверхонь.
Рис. 2.1. Геометричне моделювання криволінійних
поверхонь способом обвідних аксоїдів.
2.1. Визначення спряжених ліній у точках спряження
Розглянемо спряження двох поверхонь і визначимо лінії, які проходять через точку спряження.
Нехай дано дві лінійчасті поверхні ?А та ?В, які задовольняють діаграму кінематичного гвинта і мають лінійчатий контакт по характеристиці - прямій m (рис.2.2).
Усі нормалі, які проходять через характеристику m перетинають осі і твірні mА та mВ цих поверхонь. Припустимо, одна із нормалей k1 перетинає лінію контакту в деякій точці М1. Через цю точку в кожній поверхні обов'язково проходять дві лінії (твірна m та напрямна l), які утворюють її каркас. Отже, в точці контакту М1 спряження проходитиме не тільки по твірній m = mА = mВ а і по напрямним двох спряжених поверхонь lА1 та lВ1. У наступній точці М2, яка належить характеристиці m і контакт нормалі k2 також пройдуть дві напрямні спряжених поверхонь - lА2 та lВ2. Твердження: при лінійному контакті спряження відбувається не тільки по твірним, а і по напрямним спряжених поверхонь. Для поверхонь обертання це будуть паралелі, а для гвинтових поверхонь - гвинтові лінії.
Рис. 2.2. Спряження лінійчастих поверхонь з лінійним контактом.
Розглянемо утворення криволінійного контакту спряжених криволінійних поверхонь відповідно приведеному твердженню (рис. 2.3). Нехай дано криволінійну поверхню ?А та і вісь шуканої спряженої поверхні. Побудуємо до неї криволінійну спряжену поверхню з умовою лінійного контакту. Для цього необхідно визначити точки контакту, які потім сформують просторову криву контакту m.
Рис. 2.3. Спряження криволінійних поверхонь з
лінійним контактом.
Для визначення точок контакту необхідно за законами Вільдгабера ?11? визначити контакт-нормалі для спряжених поверхонь і найти точки перетину їх з поверхнею ?А. В цих точках виділити напрямні lА1, lА2, ... lАn і для кожної напрямної побудувати спряжені напрямні шуканої поверхні lВ1, lВ2, ... lВn. Сім'я напрямних утворить шукану криволінійну поверхню. Необхідно відмітити, що для полегшення визначення контакт нормалей можна скористатися діаграмою кінематичного гвинта.
2.2. Обґрунтування точкового контакту при криволінійному просторовому дотику
Використаємо метод Письманика спряжених поверхонь (який розглянуто у першому розділі) з перехресними осями для опису нашої задачі.
Дано два тіла 1 і 2, які обертаються навколо своїх осей із заданими кутовими швидкостями. Для кожного тіла підбираємо співвісний йому лінійчатий аксоїд, які задовольняють діаграму кінематичного гвинта. Ці аксоїди дотикаються відповідних тіл по деяким характерним кривим (рис. 2.4). При обертанні тіл аксоїди дотикаються один одного по прямій лінії - лінії миттєвого гвинтового руху m. Вона поділяє найкоротшу відстань між осями на частини прямо пропорційні тангенсам кутів ? і ?. Ця лінія є також твірною для кожного аксоїда (випливає з діаграми гвинта). Необхідно, щоб відбувалося утворення лінійного контакту між спряженими аксоїдами ?1 і ?2 - для цього припустимо, що кожний з аксоїдів утворено рухом деякої поверхні Г. Для цього лінія m повинна бут
- Київ+380960830922