РАЗДЕЛ 2
РЕШЕНИЕ ПОЗИЦИОННЫХ ЗАДАЧ ГЕОМЕТРИИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ БАРИЦЕНТРИЧЕСКИХ КООРДИНАТ
При конструировании дискретно представленной кривой (ДПК) методом сгущений, возникает ряд проблем, успешное решение которых в значительной мере зависит от выбора системы координат, в которой реализуются алгоритмы сгущения точечного разряда.
Так разбиение исходной ДПК на отдельные участки и сгущение каждого участка в собственной локальной системе координат способствует эффективному решению задач, возникающих при формировании обводов, содержащих участки с особенностями.
Это прежде всего наличие у конструируемой кривой выпуклых, вогнутых, прямолинейных участков, участков на которых значения кривизны в точках кривой возрастают, убывают вдоль кривой, участков неизменного радиуса. Применение локального сгущения позволяет осуществить формирование каждого участка по отдельному алгоритму в соответствии с особенностями участка и требованиями, предъявляемыми к конструируемой кривой.
Кроме перечисленных участков локальное сгущение целесообразно при формировании участков, требующих различного количества сгущений. Так, при формировании участков ДПК, где количество исходных точек невелико, а кривизна вдоль кривой изменяется значительно, потребуется количество сгущений большее, чем на других участках.
Использование локального сгущения - один из путей решения проблем, возникающих в связи с представлением исходного точечного ряда на неравномерной сетке. Кроме того, локальное сгущение может способствовать упрощению алгоритмов формирования точек сгущения, сокращению количества необходимых вычислений, повышению точности расчетов.
Таким образом выбор систем координат, обеспечивающих легкий переход от глобальной системы координат к локальным и наоборот, а также переход от одной локальной системы координат к другой является важным условием эффективной реализации идеи конструирования ДПК по отдельным участкам в локальных системах координат.
Для реализации методов сгущения точечного ряда, обеспечивающих отсутствие осцилляций, необходимую точность расчетов, возможность локальной коррекции конструируемой кривой, а также наложение на кривую большого количества дополнительных условий, нам представляется целесообразным в качестве локальных систем координат использовать барицентрические координаты .
2.1. Определение барицентрических координат, физическая трактовка барицентрических координат (БК)
Барицентр, от греческого бари (?????) - тяжелый, означает центр тяжести или центр масс.
Систему координат, определяющую положение точки М как центр масс М1,М2,М3 соответствующих трем точкам 1,2,3 не лежащим на одной прямой, предложил в XIX веке немецкий математик Август Фердинанд Мёбиус: "То, что трём точкам плоскости возможно сопоставить такие грузы, чтобы заданная четвёртая точка оказалась их центром, ...привело меня к новому методу задания точек на плоскости".
Итак, барицентрическими координатами (БК) точки М относительно вершин треугольника 1,2,3 называются действительные числа М1,М2,М3, такие что
М1 + М2 + М3 = 1 (2.1)
и при этом точка М является центром масс трёх материальных точек - вершин треугольника 1,2,3, которым соответствуют числа М1,М2,М3.
БК однозначно определяют положение точки М и положение точки М однозначно определяет её БК.
2.2. Определение БК точки. Частные положения точки в БК
Пусть 1,2,3 - заданный треугольник и М - произвольная точка в его плоскости (рис. 2.1).
Проведем через точку М отрезок [A;M] параллельный прямой (2;3) (точка А принадлежит прямой (1;2)) и отрезок [M;B] параллельный прямой (1;2) (точка В принадлежит прямой (2;3)). Тогда БК точки М в системе треугольника 1,2,3 определяются по формулам [17]:
(2.2)
БК точки могут быть определены через площади некоторых треугольников.
Пусть S,S1,S2,S3 - ориентированные площади треугольников 1,2,3; 2,3,М; 1,М,3; 1,2,М (см.рис. 2.2), соответственно.
Тогда БК точки М в системе треугольника 1,2,3 равны [17]:
(2.3)
Ориентированным треугольником называется треугольник с заданным направлением обхода его вершин. Направление обхода может осуществляться либо против часовой стрелки, либо по часовой стрелке. В первом случае треугольник считается ориентированным положительно, во втором - отрицательно.
Ориентированной площадью треугольника с заданным на его контуре направлением обхода условимся называть:
- площадь S этого треугольника, если он ориентирован положительно;
- - S, если треугольник ориентирован отрицательно.
Будем считать, что в формуле (2.3) ориентированная площадь S базисного треугольника 1,2,3 отрицательна. Т.е. направление обхода вершин 1>2>3>1 осуществляется по часовой стрелке. Тогда обход вершин треугольников 2>3>М>2; 1>М>3>1; 1>2>М>2 осуществляется таким образом, чтобы сторона общая с базисным треугольником, была ориентирована так же как и у последнего.
Значит ориентированная площадь S1 отрицательна, S2 положительна, S3 отрицательна.
БК точки М соответственно имеют знак: М1>0, M2<0, M3>0.
Рассмотрим частные положения точки относительно базисного треугольника и БК определяющие эти положения.
1. Вершины базисного треугольника имеют координаты: 1 (1,0,0), 2 (0,1,0),
3 (0,0,1).
2. Если точка лежит на прямой, инцидентной стороне базисного треугольника, то БК относительно вершины, не лежащей на этой прямой, равна нулю. БК относительно двух других вершин пропорциональны длинам отрезков, на которые точка делит сторону базисного треугольника.
Например: положение точки М (см.рис. 2.3) определяется координатами:
3. Если отрезки, являющиеся сторонами базисного треугольника, продлить за пределы вершин треугольника, то они разобьют плоскость на семь областей.
На рисунке 2.4 показано, какие значения (положительные или отрицательные) принимают БК точки, расположенной в этих областях.
4. Если точка М лежит на отрезке [