Розділ 2
АНАЛІЗ ВАРІАНТІВ ПОЛІТКАНИННИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ
ДЛЯ ПРОЕКТУВАННЯ КАНАЛОВИХ ПОВЕРХОНЬ
2.1 Способи застосування політканинних перетворень для проектування каналових поверхонь
Основна ідея методу політканинних перетворень полягає в тому, що перетворюється не тільки сам геометричний об'єкт, а і увесь простір. Розглянемо цей метод.
Політканиною розмірністю р у просторі R2 називається [17-20, 56,57,61-64] сукупність у деякій області ? р сімей кривих ліній ?і, і =1,...,р виду
?i =Ui(x,y) = const,(2.1)
таких, що через кожну точку Т(x,y) області ? проходить тільки одна лінія кожної сім'ї ?і. При цьому будь-які дві криві різних сімей мають бути в ? аналітичними.
Сукупність координатних ліній політканини з нульовим значенням параметру, тобто лінії Ui(x,y) = 0, i=1, 2..., p, називається координатним базисом політканини (КБП), а кожна така координатна лінія називається координатною базисною лінією (КБЛ). Положення будь-якої точки у політканині визначається відносно її координатного базису. В даній роботі за координатний базис вибрано прямолінійні тканини.
Визначимо полікоординатний базис відносно декартової системи координат XOY системою p лінійних функцій:
(2.2)де ?і - аналог відстані точки до відповідної координатної лінії, р - розмірність політканини. Тоді положення будь-якої точки простору R2 можна визначити її політканинними координатами. При ?i=0 визначаються базові прямі, сукупність яких утворює координатний базис.
Перетворимо р-тканину, тобто змінимо орієнтацію координатних функцій. Нова р-тканина визначиться іншою системою координат і положення даної точки будуть визначати нові координати . На рис.2.1 приведена чотиритканина. ?1, ?2, ?3, ?4 ? координати точки у первинній р-тканині; ?1, ?2, ?3, ?4 ? координати точки у деформованій р-тканині.
Рис. 2.1 Перетворення 4-тканини.
Таким чином, положення будь-якої точки простору R2 у первинній р-тканині, крім декартових координат, можна визначити також її політканинними координатами ?і, і=1,2,...,р ? 3. Аналогічно, після перетворення р-тканини точка-образ має нові координати ?і, і=1,2,...,р ? 3. Звичайно, якщо розглянути конкретну точку, то її політканинні координати до перетворення й після не співпадуть, тобто . Якщо спробувати побудувати точку в перетвореній р-тканині при умові, що , то отримаємо многокутник, конфігурація якого визначається орієнтацією координатних функцій політканини (рис.2.1б). Виникає необхідність в отриманні однозначного розв'язку задачі політканинного перетворення простору R2 і встановленні функціонального взаємозв'язку між координатами і , і = 1,2,..., р ? 3 обох політканин.
Враховуючи, що координата точки у політканині є аналогом її віддаленості від відповідної координатної лінії, можна записати
,(2.3)де ?і - поки що невідомі коефіцієнти. З геометричної точки зору тільки змінює довжину (збільшує або зменшує) векторів координат . Відношення (2.3) з урахуванням (2.2) приймає вигляд:
.(2.4)
Система (2.4) містить р рівнянь і р + 2 невідомих (?і, і = 1,2,...,р і x, y). Таким чином, щоб отримати однозначний розв'язок системи (2.4), необхідно ввести дві додаткові умови. Це можна зробити на основі методів оптимізації [16-24, 63-66]. В результаті область знаходження точки-образу стягнеться в точку. Положення шуканої точки всередині цієї області залежить від виду оптимізаційного функціоналу.
Відомі декілька варіантів політканинних перетворень, які запропоновані Бадаєвим Ю.І. і Дорошенко Ю.О.
1. Варіант 1. У найпростішому випадку політканинних перетворень функціонал має такий вигляд:
(2.5)
2. Варіант 2. Більш складний варіант політканинних перетворень описується формулою:
(2.6)
3. Варіант 3. В функціонал (2.5) вводиться масштабний коефіцієнт М:
(2.7)
4. Варіант 4. Так звані політканинні В-сплайни, запропоновані Бадаєвим Ю.І. [16]
де або
- порахований параметр точки
5. Варіант 5. Вводяться додаткові вагові коефіцієнти ki перед ?i , тобто ki?i, що впливають на властивості перетворення.
6. Варіант 6. Вводяться додаткові вагові коефіцієнти bi перед дужками, тобто:
(2.8)(2.9)(2.10)
2.2. Порівняльне дослідження властивостей політканинних перетворень варіантів 1, 2, 3.
Продиференціювавши функціонал (2.5) по x та y, знайдемо його екстремум. Для цього перепишемо (2.4) у наступному вигляді:
(2.11)З виразу (2.11) видно, що ?і є функцією двох змінних ?і = f(x,y), i = 1, 2, ... , p ? 3, тобто змінними диференціювання функціоналу (2.5) будуть x і y. Знайдемо умови досягнення екстремуму функціоналом.
(2.12)
Підставивши в (2.12) ?і, і = 1,2,..., р ? 3 з (2.11) отримаємо дві додаткові умови для однозначного розв'язання системи:
(2.13)
В результаті одержимо систему рівнянь
(2.14)
яка дозволяє визначити декартові координати x і y точки-образу, тобто після перетворення політканини.
Дослідимо властивості цих політканинних перетворень. Дослідження проведемо за допомогою програми, яка реалізована мовою AutoLisp в системі AutoCAD (лістінг 1 додатку B). Візьмемо первинну політканину у вигляді правильного восьмикутника, вписаного в коло радіусом 100 мм. У вигляді фігур-прообразів задамо множину кіл різних радіусів (рис.2.2). Зробимо декілька експериментів перетворень.
Експеримент 1.1. Перетворення само в себе. Необхідно впевнитись, що при незмінній політканині перетворення не змінює фігуру-прообраз. Результат представлено на рис.2.3. Як бачимо, перетворення само в себе не змінює фігуру-прообраз, тобто перетворена фігура залишається такою ж, як і фігура прообраз.
Експеримент 1.2. Зменшимо і збільшимо політканину. Результати представлені на рис.2.4 і рис.2.5. Як бачимо, цей варіант політканинних перетворень не враховує масштабний коефіцієнт і тому фігури-образи по конфігурації відрізняються від фігур-прообразів.
Експеримент 1.3. Змінимо конфігурац