РАЗДЕЛ 2
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В ОБЪЕКТЕ УПРАВЛЕНИЯ
2.1.Математическая модель нестационарного движения жидкости по трубопроводу
Впервые анализ неустановившегося движения капельной жидкости в трубопроводах выполнил Н.Е.Жуковский. В настоящее время это направление достаточно широко представлено в литературе [39, 56, 123, 128].
Исследованию динамических процессов в водоотливных установках угольных шахт посвящены работы многих исследователей (Гейер В.Г., Килимник В.Д., Рипп М.Г., Тимошенко Г.М., Беликов П.Ф., Паламарчук Н.В. и др.). Результаты наиболее крупных из них составили научную основу существующих положений и разработок в области автоматизации шахтного водоотлива. Однако ряд новых проблем, возникших в связи с увеличением глубины разработки, мощности водоотливных установок, применением многоступенчатых схем водоотлива, требует при решении вопросов их автоматизации уточнения параметров переходных процессов с более полным учетом влияющих факторов.
Особенностью шахтных водоотливных установок является нелинейность уравнений всех звеньев (двигатель?насос?трубопровод). Математически рассматриваемая задача сводится к интегрированию системы уравнений, описывающих неустановившееся движение жидкости в трубопроводах [20, 58, 114]:
,
в пределах 0 ? х ? L во времени 0 ? t ? ?
при начальных условиях
и граничных условиях
, (2.2)
где H,Q ? напор и расход в данной точке трубопровода; L, d, S, ? ? длина, внутренний диаметр, площадь поперечного сечения и коэффициент гидравлического сопротивления трубопровода; x, t ? координаты пространства и времени; g ? ускорение силы тяжести; ? - угол наклона трубопровода к горизонту; c ? скорость распространения ударной волны; ? ? угловая частота вращения ротора насосного агрегата.
Зависимость ?(QН, ?) (2.2) определяет напор, развиваемый насосом при данной подаче и скорости вращения ротора, который можно представить уравнением
,
где HН0 ? напор, развиваемый насосом при закрытой задвижке на нагнетательном трубопроводе и номинальной скорости вращения ротора ?0;
A, B ? постоянные для данного насоса коэффициенты.
Решение дифференциальных уравнений в частных производных (2.1) является общей методологией получения динамических характеристик любых трубопроводов, но в большинстве случаев не применяется при решении практических задач из-за трудностей их интегрирования и громоздкости полученных результатов [20, 113, 127, 128]. Математическое описание нестационарного движения жидкости в трубопроводе в частных производных (2.1) дает результаты, которые сложно использовать для синтеза систем управления. Необходимо осуществить переход от модели трубопровода с распределенными параметрами к модели с сосредоточенными параметрами. Возможность и корректность такого перехода определяется наличием и характеристиками волновых процессов в системе с распределенными параметрами. Возникновение и распространение волн давления в динамических режимах зависит от диаметра и длины трубопровода, материала и толщины стенок. Для стальных трубопроводов, применяемых в шахтных водоотливных установках скорость распространения волны с достаточной степенью точности можно считать равной 1300 - 1500 м/с. Длина волны определяется по формуле:
,
где fT - частота колебаний шахтного трубопровода, Гц.
Собственная частота колебаний трубопровода fT зависит от его длины. Длина трубопровода ступени в многоступенчатом водоотливе лежит в пределах 400 - 800 м. Для данного интервала изменения длин трубопровода частота собственных колебаний находится в пределах от 0.6 Гц (400 м.) до 0.3 Гц (800 м.) [36]. Тогда длина волны давления в шахтных трубопроводах изменяется от 2100 м до 4300 м для приведенного интервала длин трубопроводов. Так как длина трубопровода в несколько раз меньше длины волны (400 м < 2100 м), то волновые процессы в водоотливной установке не оказывают существенного влияния на динамические свойства трубопроводов.
Таким образом, для применяемых на шахтных водоотливах трубопроводов можно осуществить переход к модели трубопровода с сосредоточенными параметрами.
Учитывая сказанное, динамические процессы в ступени многоступенчатого водоотлива будем получать, используя типовые четырехполюсники динамики [128]. Система дифференциальных уравнений (2.1) путем упрощений и преобразований приводится к системе уравнений в операторной форме Лапласа [24, 128].
Рассматривая на каждом конце ступени одну из величин Q(t) или Р(t) как зависимую от другой, можно отразить физику взаимного влияния давления и расхода на концах трубопровода и установить характер взаимных связей между динамическими характеристиками отдельных ступеней в общей модели многоступенчатой водоотливной установки.
Динамика изменения расхода и давления в начале и в конце ступени может быть описана следующими соотношениями [69, 128]:
, (2.3)
где P1(p), Q1(p), P2(p), Q2(p) - давление и расход в начале и конце трубопровода соответственно; W(p) - динамические соотношения (передаточные функции) по соответствующим каналам (канал взаимосвязи определяется индексом).
Используя выражение (2.3) как базовое, можно путем аналитических преобразований получить структуру модели ступени многоступенчатого водоотлива при различных комбинациях входных и выходных переменных. Возможные варианты структур моделей представлены на рис.2.1. Таким образом, на основании приведенных ниже блок-схем можно будет определять динамические свойства объектов, связанных с трубопроводами. Выбор вида структурного представления модели трубопровода зависит от конкретной поставленной задачи.
Структура модели, приведенная на рис.2.1,а является предпочтительной для многоступенчатого водоотлива. Для моделирования на ЦЭВМ структурную схему ступени водоотлива удобнее представить в сле