РОЗДІЛ 2
ЗАГАЛЬНА МЕТОДИКА І ОСНОВНІ МЕТОДИ ДОСЛІДЖЕНЬ
Огляд екологічного стану України свідчить про те, що основні механізми його
погіршення зумовлені процесами, які протікають в грунтових середовищах і
атмосфері. Математичне моделювання більшості з цих явищ призводить до
початково-крайових задач для диференціальних рівнянь та систем параболічного
типу. Побудова таких моделей є задачею багатоаспектною і в загальних рисах може
бути розділена на декілька етапів:
1) дослідження об’єкта; аналіз результатів спостережень, експериментів на
предмет вивчення закономірностей;
2) побудова математичної моделі, яка грунтується на фактичному матеріалі та
відображає виявлені закономірності;
3) аналіз математичної моделі та моделювання всіх можливих динамічних режимів,
які в ній реалізовані;
4) інтерпретація результатів моделювання.
Математична формалізація складних процесів, що відбуваються в навколишньому
середовищі, грунтується на рівняннях балансу та наборі деяких конститутивних
співвідношень. Рівняння балансу – це фундаментальні фізичні закони збереження
енергії, маси та кількості руху, складені для деякого елементарного об’єму
відповідного середовища, достатньо малого в порівнянні з розмірами всієї
розглядуваної області, але достатньо великого в порівнянні з характерними
розмірами неоднорідностей пористого середовища (пор). Для конститутивних
співвідношень, необхідних для замикання системи рівнянь використовуються або
додаткові гіпотези, або емпіричні співвідношення, які пов’язують між собою
макроскопічні характеристики середовища, або визначальні співвідношення,
отримані на основі молекулярно-кінетичного підходу. Крім того, конкретний
вигляд диференціальної форми кожної з отриманих моделей, визначається при
виборі просторово-часових масштабів досліджуваних явищ.
Як відомо, існує математична аналогія процесів фільтрації води в пористих
середовищах, теплопереносу та молекулярної дифузії, в основі якої лежать
однакові емпіричні закони переміщення води в пористому середовищі (закон
Дарсі), тепла в твердому тілі (закон Фур’є), розчинених речовин (закон Фіка)
[92].
Реалізуємо цей підхід, розглянувши проблему побудови математичних моделей вище
згаданих фізичних процесів.
2.1. Модель гравітаційної течії грунтових вод
Пористе середовище є пластом водопроникного матеріалу (пісок, глина),
обмеженого знизу грунтом, що не пропускає воду (граніт), а зверху – поверхнею
землі. Якщо з-за інтенсивних опадів, або в результаті роботи артезіанських
свердловин і т.п., рівень води в якомусь місці шару змінюється, то під дією
сили тяжіння починається рух рідини, який вирівнює її вільну поверхню.
При побудові математичної моделі цього явища припускається, що рух рідини
відбувається згідно закону Дарсі, тиск газової фази відкритої системи дорівнює
атмосферному; рух одновимірної нестисливої рідини відбувається під дією
капілярних та гравітаційних сил.
Для опису цього процесу введемо ряд допущень[19]:
1) вода розглядається як нестислива рідина з постійною питомою вагою ;
2) гіпотеза Мятієва-Гиринського: реальні фільтраційні потоки можна в одному
напрямку осереднювати (наприклад в вертикальному розрізі, так як товщі
водоносних пластів набагато менші їх довжини та ширини), що дозволяє перейти
від тривимірних до двовимірних, площинних в вертикальному розрізі течій;
3) підстилаюча поверхня не має розривів та зламів і є горизонтальною;
4) вільна поверхня води описується функцією, що плавно змінюється із зміною
координат;
5) тиск газової фази відкритої системи дорівнює атмосферному (на вільній
поверхні рідини тиск постійний);
6) грунти вважаються однорідними, або дискретно-неоднорідними, розділеними на
зони з різними фільтраційними властивостями, а в межах кожної з цих зон
фільтраційні параметри можна осереднити, при цьому границі між зонами мають
прості геометричні обриси.
Перше допущення природне, так як в розглядуваному процесі не можуть досягатися
тиски, які здатні змінити густину води. Інші положення – спрощувальні, але вони
не змінюють суті процесу, оскільки виконуються в більшості ситуацій.
Скористаємося законом балансу маси в одиничному елементі грунту та законом
Дарсі
, (2.1)
де – вектор швидкостей руху рідини, , P – поровий тиск, g – прискорення
вільного падіння, – ордината розглядуваної точки, k – коефіцієнти фільтрації.
Використавши рівняння нерозривності
, (2.2)
де m – коефіцієнт пористості грунту, матимемо рівняння Буссинеска
Для випадку, коли треба враховувати надходження рідини в пласт (наприклад в
результаті опадів), рівняння Буссинеска матиме вигляд
. (2.3)
2.2. Модель конвективного переносу в грунтовому середовищі
В загальному випадку процес розповсюдження тепла (чи речовини) в підземних
водах відбувається за рахунок руху вологи з швидкістю при наявності
кондуктивної теплопровідності (або дифузії) та залежить від гідродинамічних
особливостей середовища, фізико-хімічних властивостей досліджуваного компоненту
та водовміщуючих порід. По співвідношенню цих факторів відбувається умовний
поділ всіх забруднюючих компонентів, розчинених в підземних водах на дві групи:
перша – ті, які інертні до водовміщуючих порід і не утворюють нерозчинних
компонентів з природними водами; друга – ті, які легко сорбуються або вступають
в хімічні чи біологічні реакції. Зауважимо, що компоненти, які належать до
першої групи, можуть слугувати індикатором забруднення підземних вод.
Запишемо математичну модель переносу тепла (або речовини) в грунтовому
середовищі при наступних припущеннях [19,24]:
1) процес задовольняє законам
- Київ+380960830922