РАЗДЕЛ 2
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
2. 1. Метод циклических спиновых перестановок
Для получения эффективных гамильтонианов, описывающих нижние энергетические уровни модели Хаббарда с бесконечным отталкиванием (1.6), мы использовали технику циклических спиновых перестановок, предложенную в работах [76,77] для изучения сильно коррелированных электронных систем.
Рассмотрим прямоугольную решетку, описываемую гамильтонианом (1.6) с произвольным заполнением зоны. Нахождение спектра такой решетки является очень сложной многоэлектронной задачей. Ее точное решение известно только в одномерном случае [77]. Волновая функция решетки может быть выражена в следующем виде:
, (2.1)
где ? - координатная функция, описывающая распределение электронов по решетке; - номера i-х узлов решетки с однократным заполнением; ? - функция спиновых переменных , которая описывает спиновые конфигурации.
Занумеруем теперь все переменные в (2.1) последовательно по рядам решетки, начиная с первого (рис. 2.1). Когда гамильтониан (1.6) действует на функцию (2.1), электроны перескакивают на свободные соседние узлы. Например, первый электрон может перескочить на второй или на пятый узел. Учитывая последовательную нумерацию электронов, в результате этих процессов должны образоваться две новые конфигурации. Легко видеть, что все номера электронов сохраняются прежними в результате перескока с первого узла на второй. Поэтому этот процесс приводит только к изменению переменных в координатной функции. Если же электрон перескакивает на пятый узел, то первый электрон становится третьим, второй становится первым, а третий - вторым. Таким образом, чтобы сохранить выбранную нумерацию мы должны совершить циклическую перестановку номеров электронов, расположенных между первым и пятым узлами решетки. Этот процесс приводит к циклической перестановке трех спиновых переменных в функции ?, а также очевидным изменениям в координатной функции. Рассматриваемую спиновую перестановку можно записать в следующем виде:
, ,
где верхний ряд соответствует начальной спиновой конфигурации, а нижний - конечной.
Рис. 2.1. Электронные конфигурации, образующиеся в результате перескоков электрона с первого узла на соседние.
Следует особо отметить тот факт, что функция ? не изменяется при перескоке электрона вдоль рядов решетки. Это соответствует хорошо известному спиновому вырождению спектра одномерной модели Хаббарда со свободными концами и бесконечным отталкиванием.
Применяя этот подход ко всем электронам и узлам решетки, приходим, что модель Хаббарда с бесконечным отталкиванием сводится к следующему гамильтониану [76,77]:
, (2.2)
где - бесспиновый ферми-оператор, - циклическая перестановка спиновых переменных для электронов, расположенных между соседними узлами с номерами i и j. Надо отметить, что ферми-операторы и циклические спиновые перестановки действуют одновременно на базисные функции. Поэтому мы не можем получить разделение зарядовых и спиновых переменных в данном представлении за исключением некоторых особых случаев [76,77,88,102,103].
Данное представление позволяет строить простые алгоритмы для точных численных расчетов малых решеточных кластеров, более экономичные по числу операций, чем, например, алгоритм, предложенный Такахаши [82]. Более того, при малых электронных концентрациях этот подход выгоднее любого метода, работающего в полном координатно-спиновом пространстве (например, метода унитарной группы [104]), так как основные вычисления выполняются в спиновом пространстве, размерность которого значительно меньше размерности полного пространства. Отметим также, что данное описание применимо и для решеток других типов, например, треугольной.
Все циклические перестановки из (2.2) можно переписать в виде произведения спиновых транспозиций. Так, используя тождество Дирака
можно показать, что циклическая перестановка выражается в следующем виде:
Данное представление позволяет изучать спектр решеточного гамильтониана, используя различные приближенные методы из теории спиновых систем, такие как спин-волновое приближение [100] или приближение вещественной ренорм-группы [105,106] и другие. Используя преобразование Йордана-Вигнера, можно перейти от спиновых операторов к бесспиновым ферми-операторам [107]. А это представление позволяет использовать различные варианты приближения Хартри-Фока, которые аналогичны квантово-химическим методам [108-110].
Циклические спиновые перестановки могут быть выражены через произведения спиновых транспозиций различными способами. Поэтому преобразование Йордана-Вигнера одного и того же решеточного гамильтониана приводит к целому ряду изоспектральных моделей с различным количеством взаимодействующих фермионов. Однако приближение Хартри-Фока нарушает эту изоспектральность, в связи с чем возникает проблема выбора наиболее адекватных моделей.
2. 2. Метод диаграмм ветвления для построения базисных функций оператора квадрата полного спина
Как нами уже было отмечено выше, представление (2.2) для модели Хаббарда с бесконечным отталкиванием позволяет находить матричные элементы спинового гамильтониана в пространстве функций правильного спина G(S, N) (собственных функций N электронов оператора квадрата полного спина, отвечающих собственному значению S). В численных алгоритмах мы использовали простой способ построения матричных элементов циклических спиновых перестановок и спиновых транспозиций , предложенный в работах [76,111]. Рассмотрим следующую редукцию спинового пространства ? ? ... и сопоставим каждому вектору из G строку , которая отвечает одному из путей длины N ориентированного графа соответствующей диаграммы ветвления метода векторного сложения [112]. Прямое применение формул векторного сложения для матричных элементов скалярного произведения векторов к спиновому гамильтониану дает следующие правила для вычисления матричных элементов [76,111]:
1) правила отбора для
если
2) матричные элементы для
где
, ;
, ;
3) правила отбора д
- Київ+380960830922