РАЗДЕЛ 2
ФОРМУЛИРОВКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ, МЕТОДОВ И
АЛГОРИТМОВ РАСЧЕТА ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
В рамках этого раздела решены следующие задачи:
• уточнение некоторых геометрических и деформационных соотношений
в моментной теории цилиндрических оболочек;
• преобразование (без упрощений) линейной системы дифференциаль-
ных уравнений моментной теории оболочек к специальной форме отно-
сительно главных расчетных параметров;
• формулировка динамической системы уравнений цилиндрических обо-
лочек в возмущениях с учетом предварительного НДС и представление
ее в соответствующей форме;
• адаптация разработанного ранее для одномерных систем алгоритма
рекуррентного способа построения решения на дискретном элементе
оболочки;
• разработка и адаптация алгоритма связи и перехода между дискрет-
ными элементами;
• создание алгоритма построения разрешающей системы уравнений по
всей конструкции;
• адаптация к оболочкам алгоритма учета дискретных нагрузок, масс,
подкреплений, опор, соединений и т. п.;
• адаптация разработанных ранее алгоритма и программы расчета ком-
плексных собственных значений и собственных форм;
• модификация применительно к оболочкам алгоритма построения упра-
вляющих матриц, обеспечивающего управление всем процессом расче-
та и обработки результатов.
2.1. Основные соотношения деформированного состояния
Чтобы избежать субъективизма по оценке знаков, направлений и т. п.
при определении геометрических и деформационных параметров (харак-
терные ситуации возникают в этом направлении при визуальном графиче-
ском подходе см., например, [23]), все выкладки в разделе выполнены на
формальном векторном уровне. С другой стороны, векторный подход нам
кажется более компактным и кратким по реализации (см. [2, 18] и др.).
2.1.1. Определение основных базисов. Пусть в исходном
недеформированном состоянии оболочки радиуса R (см. рис. 2.1, а) в про-
извольной точке М ее срединной поверхности введен ортонормированный
базис Здесь векторнаправлен по образующей оболочки, век-
тор- по касательной к поперечному сечению и векторпо внешней
нормали к этому сечению. Очевидно, чтс, Положение точки
М срединной поверхности оболочки относительно некоторого неподвижно-
го центра "О" определим векторомгде s - продольная, а-
окружная координата. Тогда, очевидно, что орты указанного базиса опре-
деляются следующими известными дифференциальными выражениями:
Базис - некоторый промежуточный базис, введенный только для
объяснения в дальнейшем некоторых геометрических соотношений. В де-
формированном состоянии точка М переместилась в положение М'. В этой
точке базисусоответствует базис в котором ортна-
правлен по касательной к деформированной образующей оболочки, орт-
по касательной к кривой деформированного окружного сечения оболочки,
- по внешней главной нормали деформированной срединной поверхности
оболочки (см. рис. 2.1,6). Базис, как и раньше, правосторонний. Положение
точки М' опишем вектором
определяет перемещение расчетной точки в процессе деформации оболочки.
Оговорим существенные для дальнейшего условия. Базисы правосто-
ронние, перемещения u,v,w положительные в направлении соответствую-
щих векторовуглы считаются положительными при повороте относи-
тельно соответствующей оси против хода часовой стрелки.
Поскольку в деформированном состоянии длина выбранного элемента
изменяется, то есть (вдоль координатных линий)
то при вычислении производных по s, <р эту особенность легко
учесть следующим образом. Получим:
Вычислив соответствующие производные выражения на осно-
вании соотношений (2.1) и (2.2), получим:
При дифференцировании по s учтено, что орты базисане меняют на-
правление при перемещении по этой координатной линии, а при диффе-
ренцировании поиспользованы следующие известные соотношения (см.,
например, [18]):
Эти выражения будем учитывать и дальше при дифференциальных опера-
циях с базисными векторами.
2.1.2. Деформация срединной поверхности. По опреде-
лению (производной радиус-вектора по дуговой координате) векторы
являются ортами касательных к соответствующим координатным кривым
срединной поверхности оболочки в деформированном состоянии. То есть,
Кроме этого, напомним, что базисортонормирован.
Поэтому, возводя в квадрат каждое из соотношений (2.3) и ограничиваясь
линейными членами, получим:
Исключив в формулах (2.3) деформации растяжения, перепишем их в виде:
К этому результату можно подойти и несколько иначе. Умножим каждое из
соотношений (2.3) соответственно на разложим эти
множители в ряд, ограничимся далее линейными членами и учтем формулы
(2.5). Получим те же выражения (2.6), что и выше. Векторы не
ортогональны. Очевидно также, что и углы между разные
(рис. 2.2). То есть базис получается из базисане простым поворотом
вокруг точки М', но и искажением углов между базисными векторами. Факт
этот обусловлен деформациями сдвига. Скалярное произведение векторов
определяет косинус угла между ними, а точнее (поскольку этот
угол равен где а малая величина) это будет синус добавочного к
тг/2 угла. Умножая скалярно первое равенство (2.6) на а второе наи
сопоставляя вычисление косинусов углов по рис. 2.2, получим:
Умножим скалярно на и обозначим результат Получим:
Это выражение представляет собой суммарную величину угла сдвига (в
плоскости касательной к деформированной срединной поверхности), кото-
рая и именуется обычно деформацией сдвига.
2.1.3. Геометрия срединной поверхности. Векторное про-
изведение векторов определяет в расчетной точке орт главной нор-
малик срединной поверхности в деформированном состоянии. Выполнив
эту операцию, с точностью до малых первого порядка, находим:
Проследим смысл слагаемых в выражениях (2.6),(2.9). Для этой цели вы-
числим скалярные произведения векторов из формул (2.6) на вектор
и векторапо (2.9) соответственно на Пол