Розділ 2
ОСНОВНІ РІВНЯННЯ ТРИВИМІРНОЇ ФІЗИЧНО НЕЛІНІЙНОЇ ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ ТА МЕТОД ЇХ
РОЗ-В'ЯЗАННЯ
2.1. Основні рівняння та співвідношення просторової фізично нелінійної теорії
пружності
Для ряду металів і сплавів при підвищених інтенсивностях зовнішніх зусиль у
межах пружності залежність між напруженнями та малими деформаціями відхиляється
від лінійної, яка описується законом Гука.
За класифікацією Новожилова, такого типу задачі теорії пружності за ознакою
допустимих для них спрощень є нелінійними фізично, але лінійними геометрично. В
цьому випадку видовження і зсуви малі в порівнянні з одиницею, однак деформації
перевищують межу пропорційності, що потребує написання залежностей між
напруженнями і деформаціями в нелінійній формі. Фізично нелінійна залежність
між напруженнями і деформаціями може бути з м’якою характеристикою, коли
відповідна їй крива відхиляється від прямої лінії, що відповідає закону Гука,
або з жорсткою характеристикою, коли відповідна крива відхиляється вліво від
неї.
Рівняння та співвідношення фізично нелінійної теорії пружності, які
використовуються в даній роботі, викладені в монографії Г. Каудерера [40].
Нелінійна залежність між напруженнями та деформаціями у формі Каудерера має
вигляд:
(2.1)
де - модуль об’ємного стиску, - модуль зсуву, - середнє видовження, -
інтенсивність деформацій зсуву
(2.2)
Тут і далі деформації в довільній системі координат будуть
,
Функції видовження і зсуву в загальному випадку мають вигляд степеневих рядів,
тобто
(2.3)
Значення постійних , і поведінка функцій і (постійні і .) визначаються
експериментально для кожного матеріалу.
В степеневих рядах (2.3) необхідно враховувати лише ті члени, які мають порядок
одиниці , бо в протилежному випадку очікувані поправки будуть одного порядку з
похибками, які є в наближеному законі (2.1), і не має необхідності
використовувати ряди (2.3), замість того щоб прийняти
що відповідає лінійному закону Гука.
Інша еквівалентна форма фізично нелінійного закону, яка представляє залежність
між деформаціями та напруженнями має вигляд:
(2.4)
де - середнє напруження, - приведене середнє напруження ; - приведена
інтенсивність дотичних напружень
(2.5)
По аналогії з (2.3) функції середнього напруження k(s0) і функції інтенсивності
дотичних напружень g(t02) можна представити у вигляді степеневих рядів
де
Для багатьох кольорових металів та їх сплавів, високоміцних сталей, титанових
сплавів, полімерів та інших матеріалів є справедливим лінійний закон в досить
широкому діапазоні зміни напружень та деформацій при гідростатичному стиску. В
межах фізичної нелінійності значення функції інтенсивності дотичних напружень
збільшуються значно швидше, ніж значення функції середнього напруження .
Відповідно до гіпотези В.В. Новожилова перехід матеріалу в новий стан - від
лінійно - пружного до пластичного або до нелінійно-пружного (при активному
навантаженні це теж саме) - відбувається переважно під дією дотичних напружень.
Тому для фізично нелінійних матеріалів при малих деформаціях можемо прийняти .
Як свідчать більшість експериментальних досліджень, при невеликому відхиленні
від лінійної залежності між напруженнями та деформаціями функція інтенсивності
дотичних напружень з достатньою точністю може бути представлена у вигляді
а функція видовження і функція зсуву можуть бути виражені в аналогічній формі
Тоді залежність між напруженнями та деформаціями мають вигляд
(2.6)
або в іншій еквівалентній формі
де інтенсивність деформації зсуву і інтенсивність дотичних напружень
визначаються відповідно формулам (2.2), (2.5).
2.2. Метод збурення лінійно пружних властивостей
Припустимо, що тривимірне тіло знаходиться під дією заданих зовнішніх зусиль.
Нехай пружний стан цього тіла описується фізично нелінійним законом (2.1), який
можна представити у вигляді
, (2.7)
де - модуль зсуву і коефіцієнт Пуассона. Тут і координати відповідають (2.2).
Співвідношення (2.7) при переходять в лінійні, а при відповідають нелінійним
рівнянням (2.1). Функції характеризують відхилення фізично нелінійних
співвідношень (2.7) від рівнянь закону Гука, які у випадку представлень функцій
видовження і зсуву рядами (2.3), мають вигляд
, (2.8)
де - символ Кронекера, – об'ємне розширення.
Підставляючи співвідношення (2.7) в рівняння рівноваги, після деяких
перетворень отримаємо наступні вирази
(2.9)
де
Тут - коефіцієнти Ламе, - компоненти вектора обертання, а позначення означає,
що інші рівняння та вирази можна отримати з наведених круговою перестановкою
індексів.
З рівнянь рівноваги (2.9) випливає, що об’ємне розширення повинно задовольняти
рівнянню
(2.10)
де
Припустимо, що потрібно дослідити напружено-деформований стан фізично
нелінійного тіла при заданих на його граничній поверхні переміщень або
напружень . В цьому випадку граничні умови відповідно будуть
, (2.11)
де - напрямні косинуси нормалі до поверхні .
Головна складність, яка виникає при розв'язку просторових фізично нелінійних
крайових задач полягає в знаходженні загального розв'язку нелінійної системи
диференціальних рівнянь в частинних похідних (2.9). Якщо взяти до уваги складну
залежність функцій від деформацій , можна зробити висновок, що отримати точний
ан