РОЗДІЛ 2
ПОСТАНОВКА ДВОВИМІРНИХ ЗАДАЧ ПРО УСТАЛЕНІ КОЛИВАННЯ ТІЛ З ТОНКИМИ ПРУЖНИМИ
ВКЛЮЧЕННЯМИ ТА ІНТЕГРАЛЬНЕ ПОДАННЯ ЇХ РОЗВ’ЯЗКІВ
2.1. Основні співвідношення для розривних розв’язків рівнянь гармонічних
коливань пружних тіл в умовах антиплоскої та плоскої деформацій
Нехай необмежене пружне середовище знаходиться в умовах антиплоскої деформації
і в ньому відбуваються гармонічні коливання поздовжнього зсуву вздовж вісі . Як
відомо, за таких умов буде відмінною від нуля лише –компонента вектора
переміщень і наступні компоненти тензора напружень та . Розглянемо площину , .
Єдина відмінна від нуля –компонента вектора переміщень задовольнятиме рівняння
, , , (2.1)
де та – модуль зсуву та густина середовища. Множник , який визначає залежність
від часу, тут і надалі відкинуто.
Нехай на відрізку , переміщення та напруження мають розриви з стрибками
, . (2.2)
Розв’язок рівняння (2.1), який на відрізку , має розриви з стри-
бками (2.2) і задовольняє умови випромінювання
будемо називати розривним розв’язком рівняння (2.1).
Такий розв’язок рівняння (2.1) визначається за формулою :
, (2.3)
де
, . (2.4)
Вибір значень гілок багатозначної функції визначається задовільненням умов
випромінювання . Звідси випливає, що
, , , , . (2.5)
При такому виборі гілок інтеграл (2.4) обчислюється і дорівнює
, (2.6)
де – відповідна функція Ганкеля.
З формули (2.3) для напружень знаходимо
. (2.7)
При використанні побудованого розривного розв’язку для розв’язання конкретних
задач теорії пружності для тіл з тонкими включеннями необхідно знати граничні
значення при , переміщення , похідної і напруження . Вони дорівнюють :
, (2.8)
(2.9)
, .
При виведенні граничних значень напружень з метою пониження порядку похідних
від інтегралів, що містять , до них було застосовано інтегрування частинами.
Нехай тепер необмежене пружне середовище знаходиться в умовах плоскої
деформації, паралельної до площини . Якщо розглянути цю площину, то у випадку
гармонічних коливань вектор переміщень
, .
задовольняє рівняння Ламе
, , (2.10)
де – постійні Ламе даного середовища.
Будемо вважати, що на відрізку , переміщення та напруження терплять розриви з
стрибками
, , , , , (2.11)
, .
В (2.11) прийнято позначення .
Розв’язок рівнянь Ламе (2.10) також повинен задовольняти умови випромінювання.
Для їх формулювання представимо вектор переміщень у вигляді суми , де та є
переміщення відповідно поздовжньої та поперечної хвиль. Тоді та повинні
задовольняти умови
, , (2.12)
, .
Тут – радіус у полярній системі координат з центром в середині відрізка , , на
якому зосереджені стрибки.
Розв’язок рівнянь (2.10), що терпить розриви з стрибками (2.11) та задовольняє
умови випромінювання (2.12), будемо називати розривним розв’язком з заданими
стрибками на відрізку. Розривний розв’язок рівнянь Ламе для динамічних задач
плоскої деформації побудовано у . Для компактного його запису введемо вектори
, , . (2.13)
Тоді вектор, що визначає розривний розв’язок, має вигляд:
, (2.14)
де – функціональна матриця четвертого порядку з наступними елементами:
,
, ,
, (2.15)
, .
, .
В результаті при виконанні граничного переходу у розривному розв’язку (2.14),
отримано
. (2.16)
В (2.16) прийняті позначення
, . (2.17)
Штрих означає операцію транспонування. Матриця є результатом граничного
переходу в матриці і її елементи визначаються формулами:
,
,
Наведені розривні розв’язки та їх граничні значення далі використовуються для
розв’язання граничних задач для тіл, що знаходяться в умовах плоскої деформації
і містять тонкі включення.
2.2. Інтегральне подання розв’язку задачі про коливання в умовах антиплоскої
деформації тіла з тонким пружним включенням
Нехай необмежене пружне тіло (матриця) знаходиться у стані антиплоскої
деформації і містить включення у вигляді пластини товщини . В площині включення
займає область (рис. 2.1). В матриці поширюються плоскі хвилі поздовжнього
зсуву, які викликають переміщення:
, (2.18)
де , – модуль зсуву та густина матриці, – частота коливань, – кут між додатним
напрямком вісі та напрямком розповсюдження хвилі.
Рис. 2.1
Переміщення та напруження в матриці можуть бути подані у вигляді:
, , ,
де , , – переміщення та напруження викликані падаючою хвилею, а , , –
переміщення та напруження в полі хвиль, відбитих від включення.
Переміщення в полі хвиль, відбитих від включення, задовольняють рівня-
ння (2.1). Граничні умови з боку зовнішнього середовища на включенні, з огляду
на його малу товщину, записуються відносно серединної площини. Окрім цього
припускається, що переміщення будь-якої точки включення співпадає з
переміщенням відповідної точки його серединної площини. Вигляд граничних умов
визначається характером взаємодії включення та матриці. Якщо одна з сторін
включення ідеально зчеплена з матрицею, а друга – відшарована і з матрицею не
взаємодіє, то на серединній площині мають розриви як напруження, так і
переміщення. Для їх стрибків введемо позначення:
. (2.19)
При цьому має виконуватись рівність:
. (2.20)
Також на зчепленій і відшарованій поверхнях мають місце рівності:
, . (2.21)
В першій рівності – зсув серединної площини включення.
У випадку здійснення на обох поверхнях включення умов повного зчеплення розрив