РОЗДІЛ 2
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ МЕХАНІКИ СПАДКОВИХ СЕРЕДОВИЩ ДЛЯ КОМПОЗИТНИХ МАТЕРІАЛІВ ВИПАДКОВОЇ СТРУКТУРИ
Численні експерименти показують, що фактор часу грає суттєву роль в процесі деформування таких матеріалів, як бетон, дерево, високополімери, а також металів, особливо при високих температурах. В тілах з таких матеріалів, якщо після прикладання навантаження не відбувається руйнування, стаціонарний стан досягається через певний проміжок часу, який в залежності від способу навантаження та інших причин може тривати від кількох секунд до багатьох років.
За період строку служби машини або споруди напружений стан в деталях цих машин або елементах споруд буде значно змінюватись і тому не може розглядатись як незмінний. Фактор часу впливає на процес деформації вцілому, т.б. на всі три стадії - пружну, пластичну, руйнування. В даному розділі подано постановку задач в'язко-пружного деформування неоднорідних середовищ.
2.1 Основні співвідношення теорії в'язко-пружності
Розглянемо повзучість стрижня, який розтягується під дією напруження . Повну деформацію е можна розкласти на три складові [27]
Звідси випливає, що повна швидкість деформації має ту ж структуру
. (2.1.1)
Припустимо, шо напруження не перевищує границі пружності при даній температурі, тоді . Швидкість пружної деформації за законом Гука дорівнює
, (2.1.2)
де Е - модуль пружності. Швидкість повзучості описується рівнянням
. (2.1.3)
Основна задача, яка ставиться при дослідженнях повзучості, є задача екстраполяції кривих повзучості на великі тривалості. На жаль, виявляється велика розбіжність дослідних даних, особливо для початкових ділянок кривих повзучості. Більш-менш стійкі результати отримуються тільки для залежності швидкості усталеної повзучості від напруження. Цю залежність можна використать для побудови моделей повзучості неоднорідних матеріалів. Різними авторами [29, 39] пропонувались різні формули для . Одне з найбільш ранніх досліджень належить Бейлі, який запропонував наступну степеневу залежність
. (2.1.4)
Приведене рівняння характеризує нелінійно-в'язке деформування. Показник n виявляється досить великим, зокрема для сталей він коливається від n=3 до n=8 і більше. Така надзвичайно сильна нелінійність залежності швидкості повзучості е від напружень ? характерна для більшості металів і сплавів.
Співвідношення (2.1.4) зазвичай записується у вигляді
. (2.1.5)
Тут константа, яка має розмірність швидкості деформації, - має розмірність напруження. Очевидно, що
. (2.1.6)
Введення двох констант , замість однієї В часто буває корисним для вибору масштабу та ін.
Замість степеневої залежності часто використовується експоненціальна
(2.1.7)
Така залежність вперше була введена Людвиком [27], її широко використовують багато авторів. В деякому відношенні вона є більш зручною, ніж степенева залежність. Недолік полягає в тому, що при вона дає відмінну від нуля швидкість повзучості.
Маючи на увазі побудову механічної теорії повзучості, обмежимось далі степеневими функціями.
Аналіз дослідних даних по повзучості та релаксації представляє знчний інтерес, так як дозволяє оцінить придатність вихідних рівнянь. Скористаємось результатами дослідів Девіса [27] по повзучості і релаксації червоної міді при температурі 1650 С. На рис.2.1 показані криві повзучості, на рис.2.2 - крива релаксації (суцільна лінія). Модуль пружності міді , початкове напруження n=1,6.
Трамплер [27] за експериментальними кривими релаксації (при різних початкових напруженнях) для спеціальної сталі при температурі 5380 С побудував криву повзучості при фіксованому напруженні. Побудова була виконана графічно на основі положення: "швидкості деформації повзучості в рівні моменти часу при рівних напруженнях однакові". Це положення узгоджується з законом повзучості (2.1.1). На цьому графіку обчислена крива повзучості (суцільна лінія на рис. 2.3) майже збігається з експериментальною (пунктир).
Розглянемо стан усталеної повзучості, який наступає при деформаціях повзучості, які значно перевищують над пружними деформаціями. Система рівнянь усталеної повзучості буде такою
(2.1.8)
Розв'язуючи ці рівняння відносно компонентів напруження, отримаємо
, (2.1.9)
де , або . Т.б. .
Компоненти напруження повинні задовольняти трьом диференціальним рівнянням рівноваги
(x, y, z), (2.1.10)
де символ (x, y, z) означає, що два інших рівняння утворюються круговою заміною букв x, y, z, а X, Y, Z - складові об'ємної сили. Компоненти швидкості деформації пов'язані з проекціями швидкості співвідношеннями
Четвертим рівнянням служить умова нестискуваності
. (2.1.11)
Щойно була розглянута система рівнянь усталеної повзучості в швидкостях. Іноді зручно виходить з системи рівнянь в компонентах напружень. Для цього необхідно до диференціальних рівнянь рівноваги (2.1.10) додати рівняння суцільності, аналогічні рівнянням Бельтрамі-Мічеля в теорії пружності. Умови сумісності Сен-Венана, виписані для компонентів швидкості деформації, будуть такі
(x, y, z). (2.1.12)
2.2 В'язко-пружність при складному напруженому стані
При описанні одновісного стану повзучості використовують досліди на простий розтяг. При цьому найбільш простою і достовірно дослідженою є усталена повзучість, коли при сталому напруженні швидкість повзучості стала. Дослідні дані показують [58], що прийнятні для практики результати можна отримать, використовуючи певні рівняння у формі
(2.2.1)
Тут - ефективні напруження
- похідна по від потенціалу швидкостей повзучості.
Рівняння (2.2.1) квазілінійні в тому сенсі, що співвідношення між компонентами швидкості повзучості і напруженнями лінійні. Вся нелінійність скрита в множнику, який залежить від інваріанту . Відмітимо, що пов'язуючи швидкість усталеної повзучості із другим інваріантом девіатора тензора напружень
(2.2