РОЗДІЛ 2
НАПРУЖЕНИЙ СТАН ОБМЕЖЕНИХ ОДНО- І ДВОЗВ'ЯЗНИХ ПЛАСТИНОК ПРИ УСТАЛЕНИХ КОЛИВАННЯХ
2.1. Інтегральне представлення першої основної задачі для усталених коливань
Використання у багатьох галузях сучасного машинобудування та будівництва тонкостінних елементів дає можливість вирішити проблеми зменшення металомісткості конструкцій та споруд. Як правило, такі елементи споруд експлуатуються при динамічних навантаженнях. Розрахунок на довговічність та надійність таких пластинчастих елементів конструкцій потрібно проводити на основі повного дослідження їх напруженого стану з врахуванням умов навантаження та форми пластинки.
У випадку статичних навантажень у літературі широко використовується апарат граничних інтегральних рівнянь у поєднанні з методами теорії функцій комплексної змінної [4, 44, 47, 55, 66, 67, 77-79, 93]. Безпосередньо методи [4, 44, 47, 55, 67, 68, 77-79, 93] не можуть бути використані для дослідження динамічних задач теорії пружності, оскільки загальний розв'язок для них не можна представити за допомогою аналітичних функцій.
Тому пропонується розробити методику розрахунку швидкозмінного напруженого стану обмежених одно- і двозв'язних пластинок, що виникає від дії прикладеного динамічного навантаження, яка б базувалася на методі граничних інтегральних рівнянь.
Віднесемо пружну пластинку до декартової системи координат Ox1х2. Область, яку вона займає, позначимо через D. Приймемо, що ця область обмежена контурами L0, L1, ...Lk, причому контур L0 охоплює решту контурів.
Будемо досліджувати напружений стан багатозв'язних обмежених пластинок, що перебувають під дією осцилюючих навантажень на границі та зосереджених сил , які прикладені в точках (aj, bj), .
Для плоского напруженого стану будемо виходити з потенціального зображення загального розв'язку для переміщень у вигляді:
(2.1)де ; - невідомі потенціальні функції, , - відомі функції що визначаються згідно співвідношення (1.11), - вектор масових сил, інтегрування по області та вздовж границі проводиться за змінними . Зазначимо, що на відміну від представлення (1.5), функції p1, p2 не дорівнюють прикладеному до границі вектору напружень.
Очевидно, що розв'язок (2.1) задовольняє рівняння (1.1), оскільки функції є фундаментальним розв'язком рівнянь Ляме, як це показано у підрозділі 1.2.
У літературі, зазвичай, виходять з інтегрального представлення (1.5) при застосуванні методу інтегральних рівнянь. В такому випадку у співвідношенні (1.5) функції p1, p2 є відомими. Спрямовуючи точку (х1, х2) до границі контуру L, можна отримати інтегральне рівняння для знаходження переміщень u1, u2 на границі пластинки. Ці рівняння є сингулярними, оскільки функції мають особливість типу Коші [3, 5, 8, 9, 48, 68, 99, 101-103, 108, 113, 120].
Розв'язавши отримане таким способом рівняння чисельно, обчислюють переміщення на границі, які використовуються для визначення напружень у певним чином вибраних точках [3, 5, 8, 9, 48, 68, 99, 101-103, 108, 113, 120]. Напруження на границі знаходяться чисельно через похідні від переміщень на основі методу скінчених різниць.
Такий підхід, наведений у [3, 5, 8, 9, 48, 68, 99, 101-103, 108, 113, 120], складно використовувати для динамічних задач теорії пружності, оскільки можливе накопичення похибки результатів. Як відомо з чисельних методів, оскільки переміщення знайдені чисельно з певними похибками, то при знаходженні напружень похибка істотно зростає. Це пов'язано з відніманням близьких за величиною чисел.
Крім того, характерною особливістю динамічних задач є те, що переміщення та напруження мають осцилюючий за координатами характер. При високих частотах спостерігається істотна зміна напружень уздовж границі, тому вони описуються швидкозмінними функціями, і чисельне диференціювання є практично неможливим.
Запропонований у роботі підхід дозволить уникнути додаткового диференціювання при знаходженні напружень, що відповідно дасть можливість оминути додаткові похибки та підвищити точність обчислень.
Оскільки область, яку займає пластинка, є обмежена, то представлення для функцій ? та ? слід вибрати у вигляді (1.12). З співвідношення (2.1) з урахуванням залежностей (1.12) матимемо:
(2.3)де , , .
Із представлення (2.3) отримаємо:
де .
Оскільки функції ? та ? є дійсними, то, враховуючи останнє співвідношення, можна записати:
Напруження в довільній точці пластинки на площинці з нормаллю визначимо згідно представлення (1.22). На основі трьох останніх залежностей, співвідношення для визначення напружень набудуть вигляду:
(2.4)де є функціями дійсного аргументу, причому
(2.5)dz - диференціал змінної z вздовж площинки, - невідомі функції. Тут використано, що для довільної функції має місце залежність:
при .
2.2. Інтегральне рівняння задачі та його дослідження
Підінтегральні функції у співвідношенні (2.5) при малих значеннях аргументу є нерегулярними. Встановимо їх особливість. З цією метою використаємо асимптотичні вирази для функцій Бесселя другого роду при малих значеннях аргументу [13, 28]: де - стала Ейлера. Отримаємо, що при функції ? та ?, задані згідно співвідношення (1.15), мають особливості виду:
(2.6) Враховуючи співвідношення (2.6), представлення для визначення функцій можна записати у вигляді:
(2.7)де є обмеженими і неперервними в області D функціями дійсного аргументу. З урахуванням залежностей (2.7) співвідношення (2.4) набуде у вигляду:
(2.8) Перейдемо у співвідношенні (2.8) до границі при . Для цього скористаємося формулою Племеля-Сохоцького [7, 10, 64, 65, 67-68]:
(2.9) Для інтегралів типу використаємо співвідношення, яке отримане з представлення (2.9) шляхом введення заміни :
(2.10) В інтегралах виду граничний перехід виконаємо згідно співвідношень, які отримані шляхом спряження формули Племеля-Сохоцького (2.9):
(2.11) Співвідношення, що отримані з формул (2.9) введенням замін