РОЗДІЛ 2
ЕЛЕКТРОМАГНІТОТЕРМОМЕХАНІКА ЛОКАЛЬНО НЕОДНОРІДНИХ ТІЛ
Розглянута фізична модель локально неоднорідного (пористого) багатокомпонентного насиченого рідиною середовища, яка враховує неоднорідність стану складових фаз, пов'язану з їхньою поверхневою взаємодією, зокрема, подвійні електричні шари. На основі підходів та методів термодинаміки незворотних процесів, механіки і електродинаміки суцільних середовищ записана повна система мезо-рівнянь для опису термомеханічних процесів в кожній зі складових середовища з урахуванням кондуктивного масопереносу та електромагнітних явищ. Макроскопічні рівняння моделі будуються на основі отриманих мезо-рівнянь з використанням методу просторового осереднення. Матеріали розділу відображені у публікаціях [37, 38, 51, 131, 132, 134, 135, 147, 148, 230, 316, 324, 325].
2.1. Вихідні співвідношення для фаз
Розглянемо статистично однорідне та ізотропне пористе насичене рідиною середовище, яке займає область (V) евклідового простору, що віднесений до прямокутної декартової системи координат. Матеріал твердофазного каркасу (область ) є ізотропним неферомагнітним n-компонентним поляризовним твердим розчином, а порова рідина (область ()) - n-компонентним в`язким поляризовним розчином електроліту. Поверхню розділу рідкої і твердої компонент середовища позначимо (). Приймемо, що . Вважатимемо, що характерні розміри пор і зерен такі, що для опису фізико-механічних процесів у рідині і каркасі застосовні наближення механіки і електродинаміки суцільних середовищ [106, 185, 186, 223, 226, 270, 273, 274, 299, 303, 448]. При цьому кожна фізично мала область містить як матеріал твердофазного каркасу в області , так і електроліту в області , які розділені поверхнею . За основні процеси, які протікають в твердій фазі та рідині візьмемо процеси деформування, теплові, електромагнітні та дифузійного масопереносу.
2.1.1. П о р о в а р і д и н а. Рівняння балансу маси для k - ого компонента в рідині та для рідини в цілому, перший і другий закони термодинаміки з урахуванням кінетичної енергії дифузії мають вигляд [80, 132, 147, 316]
, ; , (2.1)
; (2.2)
, . (2.3)
Тут - густина маси k-го компонента;
- вектор швидкості його частинок;
- сумарна густина,
- швидкість центра мас;
- вектор густини потоку маси k- ого компонента відносно центра мас;
, - хімічний потенціал k-ого компонента;
,
- питома внутрішня енергія,
- концентрація k-ого компонента,
- вектор густини потоку енергії електромагнітного поля, - густина енергії електромагнітного поля,
- електрична і магнітна сталі,
- вектори напруженості електричного і магнітного полів;
- вектор магнітної індукції;
- тензор напружень,
- тиск,
- тензор в'язких напружень,
- одиничний тензор;
- масова сила,
;
- масова сила, яка діє на компоненту k;
- питома ентропія;
- вектор густини потоку ентропії,
- вектор густини потоку тепла,
- абсолютна температура рідини;
- густина потужності виробництва ентропії;
- субстанціональна похідна по часу;
- оператор Гамільтона,
,
- базисний орт,
- координата, .
Крапкою між величинами відзначається їх скалярний добуток (згортка). За грецькими індексами, які повторюються розуміється підсумовування. Тут і надалі значення 1 верхнього індекса в дужках відповідатиме рідині, а 2 - твердій фазі.
Рівняння балансу маси k-го компонента запишемо також через концентрацію
, , (2.4)
З рівнянь електромагнітного поля [132, 185, 299]
, , ,
, (2.5)
де - вектор індукції електричного поля,
- вектор поляризації,
- вектор густини електричного струму,
- вектор густини струму провідності,
- густина вільних зарядів,
- заряд одиниці маси k-ого компонента
випливає рівняння балансу енергії електромагнітного поля [132]
. (2.6)
Введемо вектор питомої поляризації і перетворимо останні два доданки рівняння (2.6) так, щоб у них фігурували вектори, які характеризують електромагнітне поле і електричний струм в системі відліку центру мас рідини:
, ,
, (2.7)
де - вектор намагніченості.
Враховуючи рівняння балансу маси (2.1) і той факт, що для розглядуваної неферомагнітної рідини можна покласти , , рівняння (2.6) перепишемо так
(2.8)
З рівнянь (2.2), (2.8), враховуючи симетрію тензора напружень , рівняння (2.1), (2.4) балансу маси і співвідношення , , отримуємо
, (2.9)
де ,
(2.10)
тензор деформації,
- вектор переміщення,
індекс "Т" позначає транспонований тензор,
,
Використовуючи інваріантність рівняння балансу енергії відносно просторових трансляцій, з (2.9) отримуємо рівняння балансу імпульсу
,
(2.11)
і рівняння балансу внутрішньої енергії
. (2.12)
Враховуючи, що
, , ,
нехтуючи об'ємною в'язкістю і подаючи ,
де - рівноважна, а
- нерівноважна частини вектора напруженості електричного поля, перетворимо рівняння (2.12) так:
, (2.13)
де - девіатор тензора ,
- його перший інваріант.
Використовуючи співвідношення для потоку ентропії, рівняння балансу ентропії (2.3) запишемо так
, (2.14)
і з його допомогою виключимо з рівняння (2.13) та приведемо його до вигляду
. (2.15)
Перейдемо до нової термодинамічної функції - узагальненої вільної енергії Гельмгольца. З рівняння (2.15) отримаємо для неї наступне балансове співвідношення
. (2.16)
Приймемо, що вільна енергія є характеристичною функцією першого інваріанта тензора деформації, температури, концентрації та рівноважної складової вектора напруженості електричного поля, тобто , так що
. (2.17)
Враховуючи незалежність швидкостей , , , , з рівнянь (2.16), (2.17) отримуємо рівняння стану
, ,
, , (2.18)
та вираз для виробництва ентропії, який запишемо у вигляді
, (2.19)
де
,
, (),
, , ,
, , (2.20)
- термодинамічні сили, спряжені до відповідних потоків.
Рівняння стану запишемо у лінійному наближенні за збуреннями деформаційного,
- Київ+380960830922