РОЗДІЛ II
Теоретичні передумови побудови змішаного варіанту методу скінченних елементів
для розв’язку задач ущільнення порошків
2.1. Варіаційний функціонал і принцип стаціонарності
Для організації обчислень за допомогою МСЕ необхідно перейти від постановки
задачі у вигляді диференційних рівнянь рівноваги і сумісності деформацій до
відповідної варіаційної постановки. При цьому диференційні рівняння
задовольняють тотожності [45]:
(2.1)
Дана формула є тією основною інтегральною формулою, за допомогою якої можна
отримати різні варіаційні постановки задач [44, 50].
Згідно з [41] серед векторів s, e, u істинними будуть лише ті, що задовольняють
рівнянням (1.24), (1.28), (1.30), (1.33), (1.34), (1.35).
Нехай статично можливі вектори напруг задовольняють умовам рівноваги
(2.2)
а в іншому випадку вони довільні. Геометрично можливі вектори швидкостей
переміщень u не повинні порушувати суцільності тіла, тобто повинні бути
неперервними функціями координат і задовольняти граничним умовам на S1:
(2.3)
Крім того, істинні вектори швидкостей деформацій визначаються згідно з формулою
(2.4)
Нехай гладкість всіх векторних функцій достатня для забезпечення смислу
виконуваних операцій. На підставі теореми одиничності для задач теорії лінійної
пружності (а отже і пластичності, оскільки згідно припущень, зроблених в п 1.2
на кожному кроці рівняння пластичності можуть бути зведені до лінійних
ітерацій) істинні вектори {s}, {e}, u мають лише одне значення. В той же час,
рівняння (2.2) не визначають єдиним чином s, так само як і (2.3),(2.4)
однозначно не визначають {e} і {u}. В результаті s утворює клас статично
можливих векторів напруг, а {u} і {e} - геометрично можливих векторів
швидкостей переміщень і відповідних статично – можливим напругам швидкостей
деформацій. Очевидно, що істинні вектори напруг, швидкостей переміщень і
швидкостей деформацій належать цим класам.
Для знаходження істинних векторів, згідно методики наведеної в [45], запишемо
варіаційне рівняння у вигляді ПR(e,u) для ущільнювального порошку. Для цього в
рівнянні (2.1) вектор напруг замінимо його значенням згідно залежностей
напружено – деформованого стану ущільнюваних металічних порошків:
(2.5)
При цьому надамо довільних варіацій істинним веторам напруг і швидкостей
переміщень у вигляді:
(2.6)
де
Скориставшись формулами (2.1) і (2.6), знехтувавши другим порядком малості,
враховуючи, що для істинних векторів вони справедливі, отримаємо:
(2.7)
Згідно [45] і (2.2) записавши (2.1) як
(2.8)
інтегральну тотожність (2.7) запишемо як
(2.9)
Дана тотожність виконується лише для істинних векторів e- і u-. Для
підтвердження даного твердження необхідно довести, що істинні значення векторів
e і u задовольняють дану тотожність при будь – яких варіаціях переміщень і
деформацій. Згідно [45] і (2.5) виконується залежність:
(2.10)
врахувавши яку згідно (2.9) отримаємо:
(2.11)
Згідно з даною тотожністю, при умові довільності de і du на V отримаємо
рівняння:
(2.12)
Дані рівняння виконуються лише для істинних векторів e і u. Таким чином,
рівняння (2.9) виконуються лише для векторів, що задовольняють умовам (2.12),
тобто істинних векторів. Згідно [51] залежність (2.9) може бути представлена
модифікованою формою варіаційного рівняння для ущільнюваних порошків і пористих
тіл, що отримана на основі однієї з форм варіаційного рівняння Рейснера.
Врахувавши, що
(2.13)
можна винести операцію d і отримати рівняння
(2.14)
де функціонал ПР.М., який в розгорнутому вигляді запишеться як:
(2.15)
буде модифікованим варіаційним функціоналом для порошку (пористого чи іншого
об’ємно стискуваного матеріалу, що неоднаково веде себе при розтягу - стиску).
Рівняння (2.14), є умовою стаціонарності даного модифікованого функціоналу.
Зазначимо, що проводячи перетворення в зворотному порядку згідно з [52, 53]
прийдемо до того, що звичайними граничними умовами даного функціоналу, є
рівняння (2.12) а вектори e і u, що надають йому стаціонарного значення є
істинними. Це і буде принцип стаціонарності отриманого функціоналу [41].
Даний функціонал представляє значний інтерес при побудові наближених розв’язків
щодо напружено - деформованого стану порошкового тіла, оскільки рівняння (2.10)
дозволяють отримати одночасно переміщення і деформації (їх швидкості), які
цікавлять нас з незалежними апроксимаціями. Це значно підвищує точність, бо
зменшує кількість операцій опосередкованого знаходження
матеріально-технологічних параметрів. Але змішаний метод має і ряд недоліків у
порівнянні з методом переміщень: по перше порівняно більша кількість невідомих
у порівнянні з класичними МСЕ, по друге – загальна матриця жорсткості
дискретних рівнянь в загальному випадку не буде додатно визначеною, по третє –
невипуклість отриманого варіаційного функціоналу, що не дозволяє застосувати
відомі підходи.
Проте, якщо для визначення всіх невідомих можна використати інші схеми
формування матриці жорсткості [49, 54], уникнення появи комплексних чисел можна
досягти застосувавши модифікації методу квадратного кореня [42, 51], то
невипуклість функціоналу (2.15) викликає ряд труднощів.
Згідно [47], для випадку варіаційного функціоналу типу Рейснера, точка
стаціонарності є особлива сідлоподібна точка (Рисунок 2.1), а саме
(2.16)
де e0 і u0 вектори, що надають стаціонарного значення функціоналу.
Така ситуація обумовлює неможливість зв’язку розв’язку дискретної задачі з
мінімізацією певного енергетичного функціоналу, що випуклий на множині напруг,
переміщень, деформацій або