РОЗДІЛ 2
ОСНОВНІ СПІВВІДНОШЕННЯ ТЕОРІЙ
ЗГИНУ ПЛАСТИН ШОСТОГО ПОРЯДКУ
При побудові уточнених теорій згину пластин шостого порядку дослідники пішли шляхом відмови від гіпотез, які використовуються у класичній теорії. Вважається, що прямолінійний елемент, який до деформування був перпендикулярним до серединної площини пластини, у процесі деформування може повертатися, закручуватися навколо своєї осі, згинатися. Залежно від прийнятих гіпотез вибираються закони зміни переміщень (ТТТ) чи напружень (ТТР) по товщині пластини. Уточнені теорії згину тонких пластин дозволяють задовольнити три природні крайові умови на межі пластини. На сьогодні відомо багато уточнених теорій згину пластин, які базуються на різноманітних допущеннях, проте лише в окремих випадках вони дають різні в принципі вихідні системи рівнянь. Детальний аналіз деяких з цих теорій здійснений у [23].
2.1. Загальний вигляд визначальних співвідношень уточнених теорій згину пластин типу Рейсснера та типу Тимошенка
Розглянемо рівновагу трансверсально-ізотропної (для ТТР - ізотропної) пластини завтовшки , обмеженої контуром . Із пластиною зв'яжемо декартову систему координат , співставивши серединну площину пластини з площиною .
НДС пластини характеризується тензором напружень з компонентами , тензором деформацій та компонентами , , вектора переміщень. Ці величини пов'язані основними співвідношеннями теорії пружності, які для трансверсально-ізотропного тіла наведені, наприклад, у [56, 58].
Введемо у розгляд наступні інтегральні характеристики:
- згинальні моменти
, ;
- крутний момент
- поперечні сили
, .
Відомо [9, 23, 24], що між уточненими теоріями згину пластин типу Рейсснера та типу Тимошенка спостерігається аналогія, тобто визначальні співвідношення цих теорій можна подати у єдиній формі.
Із аналізу уточнених теорій [2, 13, 16, 53, 56, 76, 112, 114] та результатів роботи [23] випливає, що у випадку відсутності поперечного навантаження на основах пластини справедливі наступні вирази для визначення моментів та поперечних сил:
; (2.1)
(2.2)
, (2.3)
де ;
, - комплексні потенціали, причому - бігармонійна функція;
; ;
; ;
функція - розв'язок рівняння Гельмгольца
; (2.4)
- коефіцієнт, який вибирається залежно від уточненої теорії згину пластин із табл. 2.1 [23].
Таблиця 2.1
Значення коефіцієнта для деяких уточнених теорій згину пластин
Автори теоріїЕ. Рейсснер [111]Б. Ф. Власов [13], В. І. Шваб'юк [75]І. О. Прусов [55]Б. Л. Пелех [52]О. Л. Гольденвейзер [16], Дж. Сі [113]
У табл. 2.1 введені такі позначення:
- коефіцієнт зсуву;
; ;
- функція, яка характеризує розподіл напружень по товщині пластини.
Компоненти вектора переміщення , визначаються за формулою [23, 56]
, (2.5)
де ; ;
- непарна функція, яка характеризує розподіл переміщень по товщині пластини і задовольняє умови
, .
Для теорій, у яких [53, 56], користуються формулою для переміщень на одній із основ пластини. Наприклад, для основи формула (2.5) набуде вигляду
. (2.6)
Для того, щоб формула (2.6) справджувалась у випадку теорій, для яких , на функцію накладають додаткову умову [56] .
Зазначимо, що у ТТР замість переміщень і використовуються певним чином усереднені по товщині пластини значення кутів , повороту нормалі до серединної площини пластини, які визначаються через комплексні потенціали таким чином:
. (2.7)
Крім цього, прогин точок серединної площини пластини, який у ТТТ ототожнюється з трансверсальним переміщенням , визначається за формулою
, (2.8)
де .
Отже, згинальні моменти, крутні моменти, поперечні сили, переміщення (кути повороту) та прогин виражені через три невідомі функції - , та .
2.2 Основні положення теорії згину шаруватих пластин
Розглянемо тонку шарувату пластину завтовшки , яка складається з трансверсально-ізотропного шару, причому площини ізотропії кожного шару паралельні до серединної площини пластини. У роботі [8] в рамках уточнених теорій типу Тимошенка запропонована математична модель задачі згину такої пластини для випадку, коли прогини не залежать від товщинної координати , а геометрія та фізичні характеристики пластини симетричні відносно її серединної площини. У [6] ця модель узагальнена на випадок несиметричності тензора напружень та зміни прогину по товщині пластини.
Використовуючи результати статті [8], вирази для інтегральних характеристик напруженого стану шаруватої пластини запишемо у комплексній формі таким чином:
; (2.9)
; (2.10)
, (2.11)
де , - комплексні потенціали;
- функція, яка задовольняє рівняння (2.4);
; ; (2.12)
; ; ; (2.13)
- поверхні поділу шарів; ; ; ;
, - відповідно модуль пружності та коефіцієнт Пуассона матеріалу -го шару у площині ізотропії;
- модуль зсуву -го шару у поперечному напрямі;
- дійсні функції, які задають розподіл переміщень по товщині шарів, і повинні задовольняти умови спряження переміщень та дотичних напружень на поверхнях поділу шарів [8]
, , (2.14)
а також умови
. (2.15)
Компоненти , вектора переміщень -го шару подамо у вигляді [8]
, (2.16)
а трансверсальні переміщення приймемо рівними прогину серединної площини пластини.
Зазначимо, що формули (2.9) - (2.11), (2.16) теорії згину шаруватих пластин за формою збігаються із відповідними співвідношеннями уточнених теорій згину трансверсально-ізотропних пластин (2.1) - (2.3), (2.5), відрізняючись лише коефіцієнтами рівнянь.
Висновки до розділу 2:
При побудові уточнених теорій згину пластин наперед задається закон розподілу компонент тензора напружень або вектора переміщень по товщині пластини. Моменти та поперечні сили виражаються через функції, які є розв'язком системи диференціальних рівнянь шостого порядку. З використанням методів теорії функцій комплексної змінної дослідження НДС пластини зводиться до визначення двох комплексних потенціалів типу Колосова-Мусхелішвілі і функції, яка задовольняє однорідне рівняння Гельмгольца. Це ж стосується і теорії згину шаруватих плас
- Київ+380960830922