РОЗДІЛ 2
ОБ’ЄМНІ МАГНІТОПРУЖНІ ХВИЛІ ЗСУВУ
В ПЕРІОДИЧНО-НЕОДНОРІДНОМУ СЕРЕДОВИЩІ
В другому розділі виконано постановку задачі про поширення магнітопружних хвиль
зсуву. Одержано систему рівнянь для магнітопружних плоских неоднорідних хвиль
відносно переміщення, магнітного потенціалу і двох компонент вектора
намагнічуваності, що спрощує подальший аналіз хвильових задач. Для гармонічних
хвиль зсуву основна система рівнянь магнітопружності перетворена до
гамільтонової системи по координаті в напрямку періодичності. Побудовано
загальний розв’язок гамільтонової системи по координаті для неоднорідних
плоских магнітопружних хвиль зсуву в неоднорідно-періодичному середовищі.
Проаналізовано структуру розв’язків для об’ємних хвиль в необмеженій області,
встановлені умови повного (двопарціального) і однопарціального пропускання
хвиль і проведено їх кількісний аналіз для двокомпонентного середовища. Вперше
в світовій літературі побудовано форми пружних (П), магнітостатичних (МС) і
магнітопружних (МП) хвиль довільної частоти в зонах пропускання (математичною
особливістю цієї задачі є кусково-неперервний частотний спектр).
2.1 Постановка задачі про поширення магнітопружних хвиль зсуву
Розглянемо випадок, коли компоненти переміщення , , і компоненти збуреного
магнітного поля , , , тоді із (1.6) отримаємо основну систему магнітопружності
для хвиль зсуву
, ,
, (2.1)
, ,
В систему восьми рівнянь входить вісім невідомих функцій , , , , , , , . Для
математичного аналізу така система незручна і в дослідженнях використовуються
різні варіанти її спрощення, які потім використовуються при розв'язанні
конкретних задач.
2.1.1 Зведення рівнянь (2.1) до системи відносно функцій , , , і системи
відносно функцій ,
Порядок системи (2.1) зручно зменшити до чотирьох рівнянь відносно функцій , ,
, . Для цього необхідно підставити величини , з другого і третього рівняння в
перше, та , з п'ятого і шостого рівнянь в четверте. В результаті одержимо
чотири рівняння
, (2.2)
Тут лапласіан .
У випадку гармонічної залежності від часу функцій
(2.3)
з (2.2) одержимо систему
, (2.4)
відносно амплітудних функцій , , , . Частота є частотою феромагнітного
резонансу, на якій магнітні властивості досягають екстремальних значень. Це
видно з того, що
. (2.5)
Підставляючи тепер (2.5) в перші два рівняння системи (2.4), одержимо два
рівняння
. (2.6)
В (2.6) використані позначення
, , . (2.7)
В рівняння (2.6) можна ввести заміну
. (2.8)
Тоді після простих перетворень зв’язана система рівнянь (2.6) переходить в два
незалежних рівняння
, (2.9)
відносно функцій , . Напруження , і компоненти магнітної індукції , виражаються
через , наступним чином
, (2.10)
де використані позначення
, , . (2.11)
Зауважимо, що в науковій літературі [22] замість (2.8) використовується менш
зручна з точки зору математичного аналізу заміна .
2.1.2 Представлення рівнянь (2.1) в формі гамільтонової системи
В роботах [122, 123] основна система (2.1) рівнянь магнітопружності при
гармонічних коливаннях (2.3) представлена в формі рівнянь гамільтонового типу.
З цією метою перетворимо друге, третє, п’яте і шосте рівняння системи (2.1),
підставивши в них вирази (2.5). Тоді між , , , і похідними від переміщення та
магнітного потенціалу одержимо залежності
(2.12)
Модифіковані модулі пружності , , компоненти тензора Польдера , і магнітопружні
модулі , визначаються формулами
, ,
, , (2.13)
, .
Перетворимо сукупність матеріальних співвідношень (2.12), перше і третє польові
рівняння системи (2.1) таким чином, щоб одержати систему рівнянь відносно , , ,
. З цією метою спочатку із другої і четвертої залежностей (2.12) знайдемо
методом Крамера і , після чого отримані вирази підставимо в першу і третю
залежності (2.12) і, продиференціювавши їх по змінній , підставимо в перше і
четверте рівняння системи (2.1). В результаті отримаємо систему
, (2.14)
В рівняннях системи (2.14) використані позначення
, ,
, , (2.15)
, ,
, .
Система (2.14) є операторною гамільтоновою системою по координаті .
2.2 Побудова загального розв’язку хвильової задачі
Для дослідження об’ємних магнітопружних хвиль зсуву розглянемо необмежене
неоднорідне середовище, модуль пружності якого , густина , намагніченість
насичення , коефіцієнт магнітопружного зв’язку , гіромагнітна постійна є
періодичними функціями , , , , з періодом .
Для середовища з властивостями фериту розглянемо лінеаризовану систему
магнітопружних коливань у формі операторної системи рівнянь гамільтонового типу
(2.14). Співвідношення (2.14) мають місце для внутрішніх точок області з
неперервними властивостями.
Якщо на площинах при досконалому механічному і електромагнітному контакті
існують розриви першого роду фізико-механічних властивостей, то на них повинні
виконуватися умови неперервності механічних , і магнітних , величин
, (2.16)
Розв’язок системи (2.14) для неоднорідних плоских хвиль вибираємо у вигляді
, (2.17)
Тут - хвильове число; - кругова частота; - безрозмірна координата; (, ) -
напрямні косинуси нормалі до площини рівних фаз, причому , , при поширенні
хвилі в додатному напрямку вісі , при поширенні хвилі у від’ємному напрямку
вісі . Нормуючі параметри , і мають розмірність відповідно метр, паскаль,
ерстед.
Після підстановки вибраних розв’язків (2.17) в систему (2.14) для амплітудних
функцій , , , одержимо систему рівнянь
, (2.18)
коефіцієнти якої дорівнюють
, , , ,
, , ,
, ,
, .
Тоді умови неперервності (2.16) для ампліт
- Київ+380960830922