Раздел 2
ТЕОРИЯ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ТОЛСТОСТЕННОМ ГИПЕРУПРУГОМ
ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ СОСУДЕ
В данном разделе осуществлена постановка задачи и получены разрешающие уравнения периодического течения вязкой жидкости в толстостенном гиперупругом сосуде. Предполагается, что жидкость является однородной несжимаемой ньютоновской средой. Сосуд рассматривается как толстостенный цилиндр из ортотропного гиперупругого материала, подверженный начальным продольным и окружным деформациям. На жидкость воздействует периодически изменяющийся градиент давления.
Использование предположения об осесимметричности потока и о том, что длина волны давления много больше радиуса сосуда, позволяет упростить исходную систему уравнений. Для того чтобы избежать трудностей, обусловленных подвижностью границы потока, вводится трансформация радиальной координаты со временем.
При использовании данной модели для описания течения крови в крупном кровеносном сосуде человека артериальное дерево ниже по течению моделируется с использованием замыкания Кельвина-Фойгта, что позволяет учитывать отражение пульсовой волны от периферии кровеносной системы.
2.1. Математическая модель движения вязкой жидкости в деформируемом сосуде
Математическая модель движения крови в сегменте артерии основана на уравнениях движения сплошной среды класса жидкостей и газов (1.1)-(1.6). Для несжимаемой вязкой жидкости данную систему можно переписать в более простой форме
, (2.1)
, (2.2)
, (2.3)
, (2.4)
где cv - коэффициент теплоемкости.
Если в среде происходят изотермические процессы и коэффициенты вязкости ? и теплопроводности ? являются константами, то система уравнений распадается на уравнения неразрывности и Навье-Стокса (2.1), (2.2) и уравнения энергии и теплопроводности (2.3), (2.4). Исходя из предположения, что течение является осесимметричным, запишем основные уравнения (2.1), (2.2) в цилиндрической системе координат r, ?, x (ось x направлена вдоль артерии)
, (2.5)
, (2.6)
, (2.7)
где u = u (r, x, t) - радиальная компонента скорости;
t - время;
w = w (r, x, t) - продольная компонента скорости;
? - плотность жидкости;
P = P (r, x, t) - функция давления;
? - кинематическая вязкость жидкости.
Решение строится в предположении, что отсутствует или пренебрежимо мало продольное перемещение стенки сосуда, и на ее внутренней поверхности осевая компонента скорости обращается в нуль, а радиальная совпадает со скоростью смещения стенки:
, (2.8)
, (2.9)
а в силу симметрии потока
, (2.10)
. (2.11)
В приведенных граничных условиях Ri - внутренний радиус сосуда, зависящий от осевой координаты и времени.
Введем безразмерные переменные и параметры следующим образом:
,
,
где "шляпка" над переменной обозначает безразмерную величину;
t0 - характерное время задачи;
R0i - внутренний радиус сосуда до деформации;
C0 - характерную скорость волны давления;
P0 - среднее артериальное давление;
D - податливость материала сосуда.
Анализ размерностей и безразмерные комбинации величин можно использовать при изучении сложных систем, чтобы выяснить, какие комбинации будут оставаться постоянными на протяжении всего времени, и в каких пределах будут меняться другие переменные. Это существенно облегчает представление результатов, поскольку последние могут быть выражены наилучшим образом в виде графиков зависимостей параметров, сгруппированных именно так, чтобы получить безразмерные величины. При этом можно выявить реакцию данной системы на изменения тех или иных комбинаций переменных безотносительно к единицам измерения, в которых эти переменные выражены. Подобный способ представления полезен, в частности, при сравнении результатов, полученных разными исследователями.
Мерой жесткости стенки принимается податливость (растяжимость) D. Эта величина характеризует собой относительное увеличение площади S поперечного сечения участка сосуда неизменной длины, вызванного небольшим повышением давления dP
.
Весьма полезным безразмерным параметром является число Уомерсли
, (2.12)
показывающее, как сильно отличается профиль скорости при ламинарном течении в трубке от пуазейлевского. Параметр может рассматриваться как число Рейнольдса для нестационарного потока, поскольку он характеризует отношение инерционных и вязких сил, определяющих движение за время порядка одного периода колебаний.
В системе кровообращения человека величина изменяется в широком диапазоне: в аорте может быть больше 10, тогда как в капиллярах эта величина составляет 10-3. В крупных кровеносных сосудах, которые являются основным объектом исследования данной работы, параметр Уомерсли принимает значения от 1 до 10.
Наряду с для нестационарного потока существенно и число Рейонльдса в обычном смысле
,
где U - средняя за период скорость.
Число Re в отличие от отражает отношение инерционных и вязких сил в среднем за цикл.
Если рассмотреть масштабы радиуса сосуда и длины волны давления, проходящей в этом сосуде, выяснится, что их отношение ? для крупных кровеносных сосудов значительно меньше единицы [65]
. (2.13)
Используя данное предположение, называемое предположением "длинной волны", а также введенные выше обозначения, перепишем уравнение для радиальной компоненты скорости (2.5) в следующем виде
,
из которого при отбрасывании относительно малых слагаемых с множителем ?2 следует независимость давления от радиальной координаты
. (2.14)
Для упрощения записи здесь и далее над безразмерными переменными "шляпки" ставиться не будут.
Математическая модель усложняется тем, что течение происходит в области с подвижными границами. Для упрощения формулирования условий на границе вводится трансформация координаты [73]
, (2.15)
где a(x, t) = Ri(t)/R0i - безразмерный внутренний радиус сосуда.
После преобразования координат уравнения (2.6) и (2.7) приобретают следующий вид:
, (2.16)
. (2.17)
Помножим уравнение (2.17) на ? и