РАЗДЕЛ 2
КОЛЕБАНИЯ НЕОДНОРОДНОЙ СТРУНЫ
В предыдущем разделе было отмечено, что собственные (резонансные) частоты колебаний упругих тел определяются их геометрической формой и механическими свойствами. Теоретически можно считать, что если экспериментальным путем определено бесконечное множество собственных частот и соответствующих им нормальных мод колебаний идеального упругого тела, появляется возможность построения решения обратных краевых задач теории колебаний, т. е. задач по определению геометрии тела с известной плотностью и упругими свойствами при условии известных (теоретически или экспериментально определенных) собственных частот и форм колебаний. Кроме того, как уже отмечено в пп. 1.2 обзора литературы, спектральные методики позволяют определить физические свойства тел заданной геометрии.
Поскольку для большинства реальных упругих тел резонансные колебания возбуждаются только на нескольких низких частотах собственного спектра и только для высокодобротных материалов типа кварца можно наблюдать резонансные состояния на нескольких сотнях собственных частот колебаний, физически корректной следует считать ограниченную постановку обратных задач [113]. Для построения решения ограниченных обратных задач необходимо иметь дополнительную информацию об объекте исследования, а именно, о расположении дефекта и его примерных размерах.
В этом разделе диссертационной работы в качестве проверки эффективности рассматриваемого метода низкочастотной томографии будет представлена задача о поперечных колебаниях неоднородной струны с известным локальным дефектом. Указанный дефект для различных условий закрепления краев струны будет выбираться в виде финитной функции для того, чтобы удовлетворить условиям точного решения обратной задачи (обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка).
Что касается исходных данных, известными будем считать первые 15-20 собственных частот колебаний струны с локальной неоднородностью. Эти частоты в разделе будут найдены теоретически и предполагается, что они соответствуют экспериментальным данным.
2.1. Поперечные колебания неоднородной струны шарнирно закрепленной по краям
2.1.1. Прямая задача. Приближенное решение. В этом подразделе будем рассматривать натянутую струну длиной , представляющую собой гибкую упругую нить, шарнирно закрепленную на краях. Считаем, что в состоянии покоя рассматриваемая нами струна имеет форму прямой. Эту прямую принимаем за ось декартовой системы координат.
Будем предполагать, что на некотором расстоянии от левого шарнирно закрепленного края есть некоторая локальная область длиной , в которой плотность струны отличается от плотности струны за пределами этой области (рис.2.1).
Рассматриваемый нами дефект будем представлять в виде финитной функции осевой координаты в следующем виде
(2.1)
где пока в общем виде обозначена некоторая функция осевой координаты (рис.2.1).
Колебания струны будем считать происходящими в одной плоскости таким образом, что каждая точка струны движется в направлении перпендикулярном оси .
Как известно из литературы [68], задача о собственных колебаниях струны с неоднородной плотностью сводится к интегрированию обобщенного уравнения относительно функции вертикального перемещения точек струны
, (2.2)
которое в рассматриваемом нами случае удобнее представить в следующем виде
. (2.3)
В записанных выше уравнениях (2.2), (2.3) обозначено предварительное натяжение струны.
При этом, в рассматриваемом нами случая (рис 2.1) граничные условия имеют следующий вид:
. (2.4)
На собственных модах колебаний перемещения будут гармоническими функциями времени, поэтому решение записанного выше уравнения (2.3) будем искать в виде произведения амплитудной функции на гармонический сомножитель
. (2.5)
При этом уравнение (2.3) после подстановки в него соотношения (2.5) с учетом представления неоднородности (2.1) принимает следующий вид
, (2.6)
где введены следующие обозначения
, , (2.7)
скорость распространения поперечной волны в струне.
Рассматриваемые нами граничные условия (2.4) переносятся на амплитудную функцию и принимают следующий вид
. (2.8)
Отметим, что для однородной струны амплитудная функция определяется из известного уравнения
, (2.9)
решение которого с учетом рассматриваемых в данном подразделе граничных условий на краях струны (2.8) может быть представлено в виде
, (2.10)
При этом частоты собственных колебаний однородной струны находятся как решения уравнения
(2.11)
и определяются элементарной формулой
, (2.12)
Численные значения корней уравнения (2.11) представлены в таблице 2.1.
Таблица 2.1.
Частоты колебаний однородной струны
m m
m1 3.1415825.13271547.12392 6.2831928.27431650.26543 9.42471031.41591753.4071412.56641134.57511856.5487515.70791237.69911959.6902618.84961340.84072062.8318721.99111443.9823
Для однородной струны с граничными условиями (2.8) (рис.2.1) нормальные моды колебаний
, (2.13)
образуют полную ортогональную сис