РОЗДІЛ 2
ПОСТАНОВКА ТА ФОРМУЛЮВАННЯ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ПРОСТОРОВОЇ ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ
2.1. Вихідні співвідношення
Розглядається однорідне пружне ізотропне тверде тіло , яке в початковому
ненавантаженому стані бієктивно відображається на область евклідового простору.
Тіло знаходиться під дією стаціонарного силового навантаження, яке прикладене
до його поверхні .
Лінійна задача теорії пружності в статичній постановці зводиться до побудови
розв’язку рівнянь рівноваги [99]:
(2.1)
де
- вектор переміщення ;
- декартові координати довільно вибраної матеріальної точки в природньому
однорідному стані;
- базисні орти вибраної декартової системи координат ;
- радіус-вектор довільно вибраної точки тіла в початковій конфігурації;
- диференціальний оператор Гамільтона ;
- диференціальний оператор Лапласа;
операція діадного добутку;
– пружні сталі Ляме.
Тут і надалі індекси, які повторюються, є індексами підсумовування.
Тензор напружень в межах лінійної симетричної теорії пружності подається через
вектор переміщень співвідношенням:
, (2.2)
і задовольняє на боковій поверхні граничну умову:
, (2.3)
де
- одиничний тензор;
- зовнішня нормаль ;
- вектор напружень ;
- заданий вектор поверхневих зусиль, який задовольняє інтегральним умовам
самоврівноважності зовнішнього навантаження на боковій поверхні тіла:
; . (2.4)
2.2. Подання розв’язку у формі Папковича - Нейбера
Надалі використовується подання вектора переміщень у формі Папковича - Нейбера
, який тотожньо задовольняє рівняння Ляме (2.1) :
. (2.5)
Тут , - скалярна і векторна гармонічні функції:
, ; (2.6)
n - кофіцієнт Пуассона.
Тоді тензор напружень з врахуванням співвідношення (2.5) набуває вигляду:
. (2.7)
Таким чином, крайова задача (2.1) - (2.3) зводиться до знаходження гармонічних
функцій , , які задовольняють відповідні крайові умови:
(2.8)
Відзначимо, що подання шуканого розв’язку вихідної крайової задачі через вектор
переміщення у формі Папковича-Нейбера (2.5) забезпечує виконання першої із
інтегральних умов (2.4), а саме рівності нулеві головного вектора зовнішнього
навантаження.
2.3. Постановка крайових задач теорії пружності в голоморфних функціях від двох
комплексних змінних
2.3.1. Формулювання крайових задач в комплексних змінних
Поставимо у відповідність декартовим координатам три комплексні змінні:
, , . (2.9)
При цьому, комплексним змінним взаємнооднозначно відповідають декартові
координати :
, ,
. (2.10)
Введемо відповідні оператори похідних в просторі комплексних змінних :
, ,
.
Оператори похідних в декартових координатах пов’язані з комплекснозначними
операторами так:
, , .
Тоді, оператор Гамільтона та оператор Лапласа
в декартовій системі координат запишуться відносно комплексних змінних
наступним чином:
,
.
В комплексних змінних , сформульована задача (2.6)-(2.8) набуває вигляду:
(2.11)
крайові умови:
, (2.12)
де
Одержані співвідношення (2.11) - (2.12) є вихідними для формулювання крайової
задачі відносно функцій комплексних змінних . Для цього розглянемо додатково
іншу крайову задачу теорії пружності, яка сформульована відносно вектора
переміщень , який , у відповідності до (3.5), подано також через гармонічні
функції :
(2.13)
, ; (2.14)
які задовольняють відповідні крайові умови:
. (2.15)
Тут:
(2.16)
тензор напружень. Вектор поверхневих зусиль задовольняє умовам
самоврівноважності зовнішнього навантаження на боковій поверхні тіла :
(2.17)
В комплексних змінних задача (2.14) - (2.16) набуває вигляду:
(2.18)
, (2.19)
де
Поставимо у відповідність гармонічним функціям , вихідної крайової задачі та
гармонічним функціям додаткової задачі функції від комплексних змінних :
, (2.20)
. (2.21)
Розглянемо комплексний вектор переміщень:
(2.22)
та комплексний тензор напружень :
. (2.23)
Відповідно до співвідношень (2.20) – (2.23) сформулюємо граничну задачу на
функції , :
; (2.24)
, (2.25)
де
;
, ,
, ,
, ;
Комплексний вектор поверхневих зусиль задовольняє умовам самоврівноважності
зовнішнього навантаження на боковій поверхні тіла :
. (2.26)
Компоненти тензора напружень в базисі декартової системи координат подаються
так :
;
;
;
;
;
. (2.27)
2.3.2. Основна комплексно-спряжена крайова задача в голоморфних функціях двох
комплексних змінних
На множині сформульованих крайових задач (2.25) - (2.26) виділимо підмножину
комплексно-спряжених задач, які описуються голоморфними функціями від двох
комплексних змінних .
Для такої підмножини комплексно-спряжених розв’язків виконуються умови :
, , (2.28)
які накладають наступні в’язі між гармонічними функціями , та , :
(2.29)
Співвідношення (2.29) будемо трактувати надалі, як узагальнення відомих в
літературі умов Коші – Рімана на гармонічні функції базової та спряженої
крайових задач тривимірної теорії пружності.
Крайову задачу (2.13) – (2.16) на гармонічні функції , будемо називати
спряженою до вихідної задачі (2.6) – (2.8) на гармонічні функції , , якщо ці
функції задовольняють умовам (2.29).
За виконання умов (2.28) для скалярної та векторної функцій розв’язки
комплексно-спряженої задачі виражаються через голоморфні функції двох
комплексних змінних :
, ,
які задовольняють рівняння Лапласа:
.
Тоді комплексні вектор переміщень , та тензор напружень подаються наступним
чином:
; (2.30)
. (2.31)
Компоненти тензора напружень в базисі декартової системи координат
виглядатимуть так :
, (2.32)
де
- голоморфні функції комплексних змінних ;
- оператор Гамільтона;
- оператор Лапласа;
; ;