РАЗДЕЛ 2
ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК
С УЧЕТОМ ДЕФОРМАЦИЙ ПОПЕРЕЧНОГО СДВИГА
В ЗАДАЧАХ ПОЛЗУЧЕСТИ И ПОВРЕЖДАЕМОСТИ
2.1. Геометрия оболочки
Для формулирования уравнений рассматриваемой теории оболочек необходимо задать геометрию оболочки. Оболочка представляет собой трехмерное тело, у которого один размер, называемый толщиной, намного меньше любого другого размера. Оболочка определяется при помощи срединной поверхности, которая расположена симметрично относительно внутренней и внешней поверхности оболочки. Для описания геометрии оболочки используется тензорное исчисление [13, 66, 130, 131, 150].
Пусть - некоторая декартова система координат в евклидовом трехмерном пространстве. Определим срединную поверхность параметрически (Рис. 2.1), вводя параметры Гаусса , которые однозначно связаны с декартовыми координатами :
. (2.1)
Положение точки срединной поверхности будем задавать при помощи радиус-вектора :
, (2.2)
где - базисные вектора, отвечающие декартовой системе координат:
. (2.3)
При условии существования производных можно сформулировать функциональную матрицу Якоби:
. (2.4)
Рис. 2.1. Координаты и базисные векторы точки оболочки
Если хотя бы один из поддетерминантов матрицы отличен от нуля, можно однозначно определить параметры Гаусса через декартовы координаты:
. (2.5)
Введем базис координатной системы :
. (2.6)
Частную производную по координате будем обозначать как . Базис называют ковариантным базисом. Каждому базису можно сопоставить сопряженный или взаимный к нему базис , удовлетворяющий условиям:
(2.7)
и называемый контравариантным базисом. Здесь - символ Кронекера (, если ; , если ).
Рассмотрим скалярные произведения базисных векторов ковариантного и контравариантного базиса, являющиеся симметричными тензорами поверхности:
, . (2.8)
При помощи тензоров определяется связь основного и сопряженного базиса:
, . (2.9)
Компоненты тензора определяются из следующей системы уравнений:
(2.10)
и равны соответственно
, , , (2.11)
где - дискриминант тензора :
(2.12)
Введем элемент длины дуги на поверхности, под которым понимается расстояние между двумя бесконечно близкими точками. Вектор, связывающий эти точки, будем обозначать . Определим квадрат элемента длины дуги :
. (2.13)
Выражение определяет квадратичную форму, которая является инвариантной и положительно определенной. Она называется первой основной квадратичной формой поверхности. Тензоры называют, соответственно, ковариантным и контравариантным метрическими тензорами поверхности, которые позволяют производить метрические операции на поверхности (подсчитывать длины кривых и углы между ними).
Введем элемент площади поверхности в координатной системе , под которым понимается площадь параллелограмма , построенного на векторах и :
. (2.14)
Учитывая
, (2.15)
можно записать для :
. (2.16)
Базисные векторы лежат в касательной к срединной поверхности плоскости. Для определения произвольно направленных векторов необходимо ввести еще один базисный вектор - вектор нормали к поверхности:
. (2.17)
Базисному вектору будет соответствовать нормальная координата . Частную производную по координате будем обозначать как .
Рассмотрим смешанные произведения базисных векторов:
, (2.18)
где - дискриминантный тензор поверхности:
. (2.19)
Здесь - символ Леви-Чивита (, ). При помощи дискриминантного тензора можно определить следующие векторные произведения базисных векторов:
(2.20)
где
, , . (2.21)
Производные базисных векторов относительно координат :
(2.22)
можно представить в виде равенств:
, (2.23)
которые называются деривационными формулами Гаусса для ковариантного базиса координатной системы. Здесь - симметричный тензор поверхности:
, , (2.24)
а - символы Кристоффеля второго рода:
(2.25)
или
, (2.26)
где - символы Кристоффеля первого рода:
. (2.27)
Выражения для производных базисных векторов относительно координат называются деривационными формулами Гаусса для контравариантного базиса координатной системы и записываются в виде:
, (2.28)
где
. (2.29)
Производные вектора нормали относительно координат определяются равенствами:
, (2.30)
которые называются деривационными формулами Вейнгартена.
Ковариантные производные ковариантных и контравариантных компонент векторов определяются следующими выражениями [13, 66]:
(2.31)
Соответственно ковариантные производные тензоров второго ранга выражаются по формулам [13, 66]:
(2.32)
Выражение
(2.33)
определяет квадратичную форму , которая может быть представлена в виде:
, (2.34)
где - нормальная кривизна поверхности в направлении .
Таким образом вторая квадратичная форма определяет кривизну поверхности, а тензор называют тензором кривизны поверхности.
Выражение
(3.35)
называется третьей основной квадратичной формой поверхности или метрикой сферического изображения поверхности и может быть выражено при помощи формул Вейнгартена через тензор кривизн:
. (3.36)
Рассмотрим некоторую гладкую кривую , принадлежащую поверхности. Пусть - ортогональный базис, определенный в точке кривой, где - орт касательной кривой, - орт тангенциальной нормали и - орт нормали поверхности, которые можно представить следующим образом:
(2.37)
Производные ортов в направлении получаем в виде:
, , , (2.38)
где - нормальная кривизна поверхности в направлении , - геодезическое кручение поверхности в направлении , - геодезическая кривизна кривой:
, , , (2.39)
Рассмотрим систему координат, связанную с произвольной точкой оболочки, отстоящей на расстоянии от срединной поверхности оболочки, и определим соответствующие ей базисные вектора . Положение точки оболочки будем задавать при помощи радиус-вектора :
. (2.40)
Базисные вектора точки оболочки связаны с базисом точки срединной поверхности:
, , (2.41)
где - тензор оболочки или "шифтер":
- Київ+380960830922