РАЗДЕЛ 2
РАЗРАБОТКА НА БАЗЕ ТЕОРИИ R-ФУНКЦИЙ МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ ОРТОТРОПНЫХ ПЛАСТИН СЛОЖНОЙ ФОРМЫ В ПЛАНЕ
2.1. Математическая постановка задачи о геометрически нелинейных колебаниях ортотропных пластин
В настоящей работе рассматриваются элементы тонкостенных конструкций, которые моделируются тонкими пластинами, изготовленными из упруго ортотропного материала, подчиняющегося закону Гука. В рамках классической теории приведение трехмерной задачи к двумерной базируется на принятии гипотезы недеформируемых нормалей (гипотезы Кирхгофа-Лява). Они состоят в следующем:
1) прямолинейный элемент нормали к координатной поверхности остается прямолинейным и нормальным к ней при деформировании пластин, сохраняя при этом свою длину;
2) нормальные напряжения на площадках, параллельных координатной поверхности, пренебрежимо малы по сравнению с нормальными напряжениями на площадках, перпендикулярных этой поверхности;
3) прогибы сравнимы с толщиной пластины, при этом деформации, т.е. удлинения и сдвиги, а также углы поворота элементов пластин малы по сравнению с единицей.
С учетом сказанного, во всех исходных соотношениях и уравнениях сохраняются лишь те нелинейные члены, которые содержат нормальное перемещение и его производные.
Математические модели, описывающие напряженно-деформированное состояние пластин на основе гипотез Кирхгофа-Лява, рассматриваются как модели первого приближения. Эти модели удобны при решении многих динамических и статических задач. Полученные результаты в рамках этих моделей во многих случаях оказываются достаточно точными для практических приложений.
2.1.1. Основные соотношения. Уравнения движения. Рассмотрим ортотропную пластину, упругие свойства которой определяются четырьмя независимыми параметрами: модулями упругости и при растяжении по двум взаимно перпендикулярным главным направлениям и , модулем сдвига и коэффициентом Пуассона . Величина отвечает поперечной деформации в направлении оси при растяжении или сжатии вдоль оси . Поперечная деформация по направлению оси при действии усилий вдоль оси характеризуется коэффициентом . Эта величина может быть найдена из соотношения:
. (2.1)
В дальнейшем будут рассмотрены пластины, определенным образом закрепленные по контуру и находящиеся под действием внешней нагрузки. Будем рассматривать только такие случаи нагружения, которые сопровождаются изгибом пластины. При этом предполагается, что прогибы сравнимы с толщиной, однако малы по сравнению с основными размерами пластины. По классификации А.С. Вольмира рассматриваемые в дальнейшем пластины называются гибкими, они также называются пластинами средней толщины или средней жесткости, учитывая тот факт, что только пластины средней и малой толщины могут получить значительные прогибы, деформируясь в пределах упругости.
Гибкие пластины находят широкое применение на практике. Так, например, это могут быть отдельные участки обшивки крыла самолета, подкрепленные продольными и поперечными ребрами, называемыми в самолетостроении стрингерами и нервюрами. Или же в случае, когда обшивка днища корабля испытывает нагружения со стороны всего корпуса, а также давление воды. В результате, как правило, прогибы обшивки сравнимы с толщиной. При проектировании строительных конструкций многие перекрытия приходится рассчитывать как гибкие пластины. В гидротехнических сооружениях обшивки затворов воспринимают давление воды так же, как гибкие пластины. Поэтому необходимо использовать теорию гибких пластин при определении несущей способности обшивок. В приборостроении широкое применение находят тонкие гибкие пластины различной конфигурации. Так, например, в манометрических приборах упругие чувствительные элементы проектируются в виде гофрированных круглых мембран, которые можно рассматривать как гибкие пластины с начальной погибью.
Формулы для определения деформаций гибкой пластины выводятся в предположении, что она получает большие прогибы , в то же время, перемещения и в плоскости пластины малы. Такие же допущения сделаны по отношению к производным и , т.е. предполагается, что они малы по сравнению с величиной . В рамках принятых допущений, полные выражения для деформаций удлинения и сдвига срединного слоя имеют вид:
, (2.2)
Деформации срединного слоя , , связаны уравнением совместности или неразрывности деформаций
(2.3)
или в другой форме
. (2.4)
В (2.4) учтено, что вторые производные от прогиба имеют геометрический смысл кривизны, т.е.
, , . (2.5)
"Физические" уравнения, связывающие напряжения и деформации , в случае ортотропных пластин имеют вид:
, (2.6)
Из (2.6) можно получить зависимости:
, (2.7)
Если вместо напряжений ввести в рассмотрение статически эквивалентные им внутренние силы и моменты , которые действуют на площадках главных нормальных сечений пластины, то можно получить следующие зависимости для их определения:
Учитывая зависимости (2.2) и (2.7), усилия можно выразить через перемещения:
, (2.8)
где , , .
Аналогично выражения для изгибающих и крутящих моментов примут вид:
, (2.9)
где и - изгибные жесткости по главным направлениям:
, , (2.10)
- крутильная жесткость:
. (2.11)
Поперечные силы и определяются соотношениями:
, , (2.12)
где через обозначена приведенная жесткость:
. (2.13)
При этом очевидно, что , поэтому выражение (2.13) иногда записывают в другом виде:
. (2.14)
Если обозначить интенсивность заданных внешних нагрузок, приложенных к элементу пластины по направлениям , , со