РОЗДІЛ 2
СПЕКТР ТА ВЛАСТИВОСТІ ХВИЛЬ В АНІЗОТРОПНОМУ КРИСТАЛІЧНОМУ ШАРІ ОРТОРОМБІЧНОЇ СИСТЕМИ, ОТОЧЕНОМУ ІДЕАЛЬНОЮ РІДИНОЮ
2.1. Дисперсійні рівняння для нормальних хвиль з довільною орієнтацією напрямку розповсюдження у площині шару
Розглянемо задачу побудови основного дисперсійного співвідношення, що визначає повний спектр гармонічних нормальних хвиль в анізотропній пластині орторомбічної системи з тривимірною геометрією, яка за обома протилежними гранями контактує з нерухомою ідеальною слабо стисливою рідиною.
Для гідропружних гармонічних хвиль, що розповсюджуються вздовж довільного визначеного вектором напрямку в координатній площині (серединній площині хвилеводу), комплексні амплітудні функції хвильових полів у різних компонентах хвилеводу відповідно мають вирази:
- у твердій компоненті хвилеводу (анізотропному пружному шарі) для амплітудних функцій пружних хвильових зміщень та механічних напружень маємо
(2.1)
- у рідинній складовій хвилеводу (зовнішній ідеальній рідині) для амплітудних функцій швидкостей хвильових зміщень та тиску маємо
(2.2)
Тут
- нормоване хвильове число;
- компоненти вектору хвильової нормалі.
Для комплекснозначних амплітудних функцій із рівнянь (1.2) - (1.5) та граничних умов (1.6), (1.7) на зовнішніх контактуючих з рідиною гранях шару маємо спектральну задачу:
, (2.3)
, (2.4)
, ,
, (2.5)
Величини в формулах (2.3) визначаються співвідношеннями:
, ,
, ,
, ,
, , .
Параметр є безрозмірною фазовою швидкістю досліджуваної хвилі; - безрозмірні частотні параметри, які введені співвідношеннями
, .
Зазначимо, що співвідношення (2.3) є системою звичайних диференційних рівнянь з постійними коефіцієнтами. Характеристичне рівняння цієї системи має вигляд:
,
тобто
, (2.6)
де
Аналіз коренів рівняння (2.6), відомого як рівняння Кристофеля, відіграє дуже важливу роль у дослідженні структури спектрів нормальних хвиль, що розповсюджуються у шарі.
Вочевидь у випадку анізотропного шару орторомбічної системи та за припущенням про однакові властивості оточуючої рідини у верхньому та нижньому півпросторах, спектр нормальних хвиль складається з незалежних множин так званих симетричних та антисиметричних хвиль.
У частинному випадку симетричного по товщині шару хвильового поля маємо:
(2.7)
де Тут - розв'язки рівняння (2.6), причому для фіксації гілок значень корені обираються такими, щоб виконувалась умова .
Використовуючи співвідношення (2.7) для функцій в формулах (2.3), отримуємо три однорідних системи лінійних алгебраїчних рівнянь відносно , з яких одержуємо
де
Шляхом введення позначень у кінцевому рахунку маємо:
(2.8)
При підстановці формул (2.8) для в співвідношення зв'язку механічних напружень та пружних зміщень для анізотропного монокристалічного шару орторомбічної системи
, (2.9)
одержуємо комплексні амплітудні характеристики для граничних напружень на зовнішніх контактуючих з рідиною поверхнях шару:
, (2.10)
де
Для комплексної амплітудної функції хвилевого тиску в оточуючій нерухомій рідині із формул (1.3) - (1.5) маємо рівняння:
де
Його розв'язок запишемо у вигляді:
Нехай таке, що . Тоді із умов затухання при для амплітудної функції тиску рідини у верхньому півпросторі маємо
і, відповідно, для амплітудної функції тиску рідини у нижньому півпросторі із умов затухання при
З використанням одержаних виразів для ,, із граничних умов (1.6) маємо:
Звідси, зокрема, витікає, що , тобто два останні співвідношення з наведених вище чотирьох тотожні. Нарешті, гранична умова (1.7) після аналогічних перетворень приймає вигляд:
Одержані таким чином співвідношення, що витікають із граничних умов (1.6)-(1.7), розглядатимемо як однорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь відносно коефіцієнтів . Із умов існування нетривіальних розв'язків зазначеної системи в кінцевому рахунку одержуємо дисперсійне рівняння для симетричних пружних хвиль з довільним напрямком розповсюдження вздовж ортотропного монокристалічного шару, оточеного ідеальною рідиною:
. (2.11)
Шляхом алгебраїчних перетворень рівняння (2.11) можливо записати у вигляді:
, (2.12)
де позначення - введене для виразу, який є дисперсійним визначником для симетричних нормальних хвиль у вільному за гранями монокристалічному ортотропному шарі:
У наступному випадку антисиметричного хвильового поля у хвилеводі, що розглядається, відповідно матимемо:
(2.13)
Із однорідних алгебраїчних систем відносно у цьому випадку випливає:
де
Відповідно після введення позначень одержуємо:
(2.14)
З використанням співвідношень (2.14) та (2.9) для комплексних амплітудних функцій контурних напружень маємо:
, (2.15)
де
Граничні умови (1.6), (1.7) на підставі введених співвідношень приймають вигляд:
а дисперсійне співвідношення, яке випливає із умов існування нетривіального розв'язку однорідної алгебраїчної системи відносно для антисиметричних пружних хвиль у шарі, оточеному ідеальною слабко стисливою рідиною, має вигляд:
, (2.16)
або
, (2.17)
де - дисперсійний визначник для антисиметричних нормальних хвиль у вільному по граням ортотропному монокристалічному шарі:
Чисельно - аналітичне дослідження розв'язків трансцендентних рівнянь (2.12) та (2.17), які у загальному випадку мають лише гілки комплексних коренів, вивчення трансформації зазначених гілок, обумовленої змінами напрямків розповсюдження нормальних хвиль, а також дослідження трансформ