РОЗДІЛ 2. Енергетичні характеристики плоских пружних хвиль
2.1. Енергетичні характеристики хвиль в рамках моделі ефективних модулів
2.1.1. Вступ
Найпростіший спосіб нелінійної постановки для задачі про енергію біжучої
плоскої поздовжньої хвилі в пружньому тілі полягає в заміні фізичної лінійності
в пружньому деформуванні на нелінійність при збереженні обмеження, що
досліджується плоска поздовжна хвиля. В такій постановці у випадку квадратичної
нелінійності, що задається пружним потенціалом Мернагана, задача являє собою
класичну задачу нелінійної акустики [90, 92] для пружних матеріалів. Аналіз
енергії дає відповідь на питання, як розповсюджується енергія в композитних
матеріалах в тому випадку, коли композити описуються класичною моделлю
пружнього тіла і мікроструктура матеріала враховується в незначній мірі (тільки
значеннями пружних модулів). Часом більш адекватними моделями для описання
хвиль в композитних матеріалах є мікроструктурні моделі другого порядку. Однією
з таких добре розроблених моделей для двофазних композитів є модель двофазної
пружньої сумі-ші [51, 99, 101]. Тому далі також приділена увага та проведено
аналіз розповсюдження плоских біжучих хвиль в рамках моделювання композитних
матеріалів квадратично нелінійною теорією пружньої суміші.
2.1.2. Постановка задачі
Повна енергія , накопичена в об’ємі (питома повна енергія ) звичайним чином
вираховується через внутрішню і кінетичну питомі енергії
(2.1)
Стандартне балансове рівняння або закон збереження енергії має такий вигляд
(2.2)
де - потік енергії.
Швидкість руху енергії для всіх типів хвиль визначають за формулою
(2.3)
де - питома енергія.
Означення швидкості руху енергії візьмемо з [93]. Якщо в середньому за одиницю
часу кількість енергії справа від одиничної площадки на цій поверхні
збільшиться на , а зліва настільки ж зменшиться (або навпаки), а середня
густина енергії біля розглядуваної площадки є , то природно вважати - швидкістю
поширення енергії.
Розглянемо пружний матеріал (пружне середовище), нелінійні властивості
деформування якого описуються пружним потенціалом Мернагана. Також
розглядатимемо плоску повздовжню хвилю переміщення, яка розповсюджується в
такому середовищі. Обмежимося, як це прийнято в нелінійній акустиці [90, 92],
тільки другою та третьою степенями градієнта деформації в нелінійному
представлені питомої внутрішньої енергії . Для спрощення запису припустимо
додатково, що хвиля гармонічна і розповсюджується вздовж осі абсцис
(2.4)
Внутрішня енергія (пружний потенціал) в цьому випадку має вигляд
(2.5)
;- пружні константи Ляме, - пружні константи Мернагана.
Повна енергія також має простий вигляд
Застосуємо знову процедуру побудови рівняння балансу енергії пружного тіла.
Помножимо вже нелінійне рівняння руху
(2.6)
на та перетворимо до вигляду
Потік енергії буде таким
(2.7)
Для швидкості розповсюдження енергії отримуємо формулу
(2.8)
Відомо [92], що при розповсюдженні в пружному середовищі, нелінійні властивості
якої задаються потенціалом, хвиля є гармонійною у вигляді першої гармоніки
(2.4) лише на вході в середовище. У середовищі і на виході з неї хвиля
спотворюється і наближено може бути представлена у вигляді
, (2.9)
Саме представлення (2.9) повинне враховуватися у формулі (2.3). Основне фізичне
явище, яке описується представленням (2.9), полягає в генерації нелінійним
середовищем другої гармоніки спочатку заданої гармонічної хвилі. Поява другої
гармоніки є наслідком еволюцію первинного косинусоїдального профілю хвилі.
Звичайно, через деякий критичний час або після проходження деякої критичної
відстані косинусоїдальний профіль спотворюється.
2.1.3. Числовий аналіз енергії хвиль
Наступні графіки характеризують поведінку енергії в нелінійній постановці
(2.8). На фазовій площині, при тих же самих проміжках, так як взявши інші
проміжки або можуть досягти критичних значень, а далі розв’язок вже не буде
вірним в рамках другого наближення. Паралельно з тривимірними графіками будуть
показані графіки густин точок.
Розглядаючи графіки для енергії явно видно вплив розглянутого вище явища.
Енергії притаманне майже таке ж, як і профілю хвилі явище. Підтвердження цього,
як і вище, є графіки густини точок для енергії.
Далі представлені графіки для ще однієї енергетичної характеристики, швидкості
поширення енергії в нелінійній постановці задачі. Проміжки фазової площини такі
ж самі як і в попередніх прикладах.
З графіків видно, що швидкість поширення енергії має приблизно такий же порядок
що і фазова швидкість, і має вигляд подібний до вигляду енергії, тобто ще
говорить про те, що слід очікувати що і потік енергії при нелінійній постановці
буде мати вигляд подібний до вигляду для енергії з тією різницею що їх
відношення приблизно два порядки.
2.1.4. Порівняння лінійного та нелінійного випадків
Порівняємо швидкості розповсюдження енергії при лінійному деформуванні та при
квадратично нелінійному деформуванні. Для цього представимо формулу (2.8) у
вигляді
(2.10)
де ,
Оскільки постійна має той же порядок, що і постійні Ляме, та повздовжня
нелінійна деформація менше одиниці по крайній мірі на два порядки, то величини
малі в порівняні з одиницею. Це д