Поширення пружних хвиль в тілах з порожнинами неканонічної форми

розділ 2.2).
Враховуючи закон Гука та розклади (2.21), з (2.13) знаходи­мо
, (2.22)
де [122]
(2.23)
Домножуючи співвідношення (2.22) на та інтегруючи по всіх можливих напрямках
при фіксованому , отримаємо систему моментних рівнянь для визначення невідомих
компонент вектора зміщень
. (2.24)
Невідомі зміщення на поверхні порожнини представимо у вигляді розкладів за
повною системою функцій:
, (2.25)
де – шукані коефіцієнти розкладу; a – характерний розмір порожнини, . При
цьому в тривимірному випадку скористаємося розкладом за сфе­рич­ними векторними
гармоніками [183 ]:
,
, (2.26)
а в плоскому випадку використаємо тригонометричні функції :
, (2.27)
Тоді підставляючи розклади (2.25) в (2.24), отримуємо систему лінійних
алгебраїчних рівнянь безмежного порядку для визначення невідомих коефіцієнтів
розкладу
, (2.28)
де
, (2.29)
У випадку канонічних поверхонь S0 (коло або сфера) система лінійних
алгебраїчних рівнянь першого роду (2.28) перетворюється в систему рівнянь
другого роду. Квазірегулярність подібних систем рівнянь при доведена в роботі
[148] для плоскої задачі і в працях [90, 157] – для просторової задачі.
2.2 Побудова функції Гріна у вигляді розкладу за мультиполями для задачі про
коливання пружного півпростору з вільною границею
В підрозділі 2.1 задача про поширення хвиль у півпросто­рі з порожниною
зведена до знаход­ження розв’язку систем лінійних алге­бра­їч­них рівнянь
безмежного порядку. Проте невизначеними зали­ши­лись коефіцієнти матриці та
вільні члени цих систем. Оскільки ці коефіцієнти вира­жа­ють­ся через
компоненти тензора Гріна для півпростору, то для їх знаходження необхідно
розв'язати наступну крайову за­да­­чу теорії пружності
, (2.30)
(2.31)
з врахуванням умов випромінювання для функції в області .
Функцію Гріна для півпростору, як зауважено в підрозділі 2.1, представимо у
вигляді суми двох складових: тензора , що є фундаментальним розв’язком рівняння
руху і тензора , який отримується з розв’язку задачі (2.30), (2.31). При цьому,
згідно з (2.19)
, . (2.32)
Тензор шукаємо у вигляді
, . (2.33)
З врахуванням цих розкладів гранична умова (2.31) запишеться так:
, , (2.34)
де вектор напружень t визначається співвідношенням (2.23). Помножимо
співвідношення (2.34) на й зінтегруємо їх по поверхні сфери (кола), радіус якої
менший від h. Враховуючи умови ортогональності (2.16), (2.18), отримуємо
, (2.35)
Таким чином, шукані функції є розв'язками рівнянь руху, що задовольняють
граничним умовам (2.35) та умовам випромінювання. Для знаходження даних
розв'язків логічним є засто­суван­ня перетворення Фур'є за горизонтальними
координатами x, y. Застосування такого перетворення до функцій при призводить
до представлення їх у вигляді суперпозиції плоских хвиль, що поширюються в
напрямку границі півпростору. В такому випадку, згідно з принципом
випромінювання [18], функції являтимуть собою суперпозицію відбитих плоских
хвиль, які поширюються в напрямку на нескінченність.
Розглянемо спочатку плоску задачу. Полярні координати пов'язані з координатами
наступним чином: , . Орти осей x та z позначатимемо через , , відповідно.
Для циліндричних хвильових функцій має місце наступне інтегральне
представлення в області [50]:
.
Виконуючи заміну , це представлення можна записати у вигляді:
, (2.36)
де , причому
, . (2.37)
Використовуючи (2.36), отримуємо розклади за плоскими хвилями для циліндричних
векторних хвильових функцій :
(2.38)
де
, , (2.39)
, , , , (2.40)
Якщо гілки радикалів вибрано так, що вздовж контуру інтегрування в (2.38)
виконуються умови (2.37), то згідно з умовами принципу випромінювання
розв'язком задач про відбиття хвиль (2.38) є хвилі, що поширюються в напрямку
від границі півплощини на безмеж­ність [18], тобто:
. (2.41)
Тут – коефіцієнти відбиття плоских хвиль, що отримуються з граничної умови
(2.35), . Підставивши (2.38), (2.41) в (2.35) і врахувавши той факт, що при
диференціюванні інтегралів по просторових координатах x, z оператори
диференціювання можна вносити під знак інтегралу [148], отримуємо
, , (2.42)
де ; ; . При цьому вектори напружень на поверхні з нормаллю визна­ча­ють­ся
співвідношеннями:
,
,
, ,
, (2.43)
Застосувавши перетворення Фур'є до (2.42), отримуємо систему рівнянь для
визначення невідомих , , розв'язавши яку, знаходимо
,
,
,
, (2.44)
де – функція Релея [18]
. (2.45)
Таким чином, функції повністю визначені у вигляді суперпозиції плоских хвиль
(2.41). Однак, для подальшого викорис­тання, необхідно мати розклад цих функцій
також за циліндричними векторними хви­льо­вими функціями. Для цього
використаємо розклади плоских хвиль за циліндричними хвилями [50]:
,
де . Підставивши ці розклади в (2.40), отримуємо
(2.46)
де – це ті ж самі з (2.39), в яких замінено на . Зауваживши, що , , та
підставивши (2.46) в (2.41), отримаємо розклади функцій за регулярною системою
векторних циліндричних хвильових функцій , у вигляді
, (2.47)
де
, (2.48)
, ,
– комплексний контур інтегрування.
Виконуючи, крім того, заміну змінної інтегрування в підінтегральних виразах
(2.48), так що , отримуємо умову симетрії
.
Розглянемо тепер просторову задачу. Як і в плоскому випадку, границя
півпростору міститься на відстані h від початку координат (рис. 2.1). Між
сферичними і декартовими координатами має місце зв'язок
.
Орти осей x, y, z позначатимемо через , , , відповідно.
Сферичні хвильові функції в області можна записати у вигляді суперпозиції
плоских хвиль [50]:
, (2.49)
де . Покладаючи , , запишемо ці представлення у вигляді інтегралу Фур'є: