РОЗДІЛ 2
ПОБУДОВА МОДЕЛІ КВАЗІПОЛОГИХ ЦИЛІНДРИЧНИХ ОРТОТРОПНИХ ОБОЛОНОК, ЩО ВРАХОВУЄ
ПОПЕРЕЧНИЙ ЗСУВ, ПОПЕРЕЧНЕ ОБТИСНЕННЯ ТА ЕФЕКТ ПУАССОНА
Сучасні композитні матеріали володіють не тільки широким спектром механічних,
фізичних та хімічних властивостей, а й можливістю до напрямленої їх зміни
відповідно до призначення конструкції. Наприклад, при розрахунку на міцність
балок та циліндричних оболонок на згин (поздовжній згин) основну роль відіграє
величина поздовжнього модуля пружності. Тому при виготовленні конструкцій у цих
випадках можна скористатися композитними матеріалами, армованими у поздовжньому
напрямку. Якщо ж оболонка, цистерна чи балон працюють під внутрішнім тиском та
існує небезпека появи тріщин, то в цьому випадку доцільніше використовувати так
звані орієнтовані композитні матеріали, що виготовлені шляхом укладки волокон
по відношенню до напрямку навантаження чи головних напружень. Залежно від
технології введення армувальних волокон у матрицю застосовуються різні форми
армувальних елементів – нитки, стрічки, тканини.
Виготовлені таким чином матеріали за своєю природою є неоднорідними і
вважаються конструктивно анізотропними. Використовуючи до цих матеріалів так
званий “принцип розмазування” В.В. Болотіна, у розрахунках конструкцій з них
такі матеріали приймаються квазіоднорідними з певними узагальненими фізичними
характеристиками, що входять у рівняння закону Гука. Цими характеристиками
можуть бути модулі пружності та коефіцієнти Пуассона.
Класичні моделі розрахунку конструкцій з однонапрямлених армованих матеріалів
враховують названі характеристики тільки при навантаженні вздовж волокон у
площинах чи поверхнях армованих шарів і не враховують їх упоперек волокон, тоді
як міцність такого матеріалу впоперек волокон є набагато нижчою, бо
визначається властивостями матриці. Існуючі некласичні моделі пластин і
оболонок враховують поперечні ефекти через врахування в ключових рівняннях
членів, що мають множниками відношення та . Це вимагає врахування деформацій
поперечного зсуву та обтиснення. Зокрема, врахування деформації поперечного
обтиснення вимагає ще й додаткового врахування ефекту Пуассона. У роботах
[106,110,127] для випадків шаруватих пластин та оболонок середньої товщини
вказано на необхідність урахування цього ефекту.
У даному розділі побудовано систему рівнянь для композитної оболонки, де певним
чином враховується і поперечне обтиснення, і ефект Пуассона.
2.1. Статичні, фізичні та кінематичні співвідношення циліндричних
оболонок з ортотропного матеріалу
Розглянемо тіло, що обмежене двома криволінійними поверхнями, відстань між
якими мала у порівнянні із іншими розмірами. Таке тіло називається оболонкою.
Поверхня, що рівновіддалена від граничних поверхонь, називається серединною
поверхнею оболонки. Довжина відрізка між граничними поверхнями,
перпендикулярного до серединної поверхні, називається товщиною 2h оболонки
(рис. 2.1).
Рис. 2.1.Елемент оболонки
Серединну поверхню оболонки віднесемо до криволінійної ортогональної системи
координат (), де координатні лінії будуть вважатися лініями головних кривин
цієї поверхні. Третю прямолінійну координату z виберемо перпендикулярно до
серединної поверхні і напрямимо по зовнішній нормалі до неї.
Диференціальні рівняння рівноваги елемента оболонки запишемо у загальному
вигляді [102]:
(2.1)
Тут – коефіцієнти Ляме; – коефіцієнти першої квадратичної форми; – головні
кривини серединної поверхні; – компоненти вектора об’ємної сили у напрямках ,
відповідно; – нормальні та дотичні напруження у відповідних коодинатних
напрямках.
Рис. 2.2. Елемент циліндричної оболонки
Запишемо диференціальні рівняння рівноваги (2.1) для випадку кругової
циліндричної оболонки з радіусом серединної поверхні R (рис. 2.2), коли об’ємні
сили відсутні. Для зручності перепозначимо координати у вигляді: При цьому
коефіцієнти Ляме та кривини серединної поверхні будуть наступними:
Підставивши названі величини в рівняння (2.1), одержимо
(2.2)
Крім рівнянь рівноваги (2.2), що виражають умову рівності нулю головного
вектора зовнішніх сил, що діють на нескінченно малий елементарний
паралелепіпед, вирізаний з оболонки, напруження мусять задовольняти шести
співвідношенням узагальненого закону Гука для ортотропного тіла:
(2.3)
де Е1, Е2, Е3 – модулі Юнга у напрямках ; – модулі, що характеризують зміну
кутів між напрямками ; – коефіцієн-ти Пуассона, що характеризують зміну
поперечних деформацій за першим, а напрямок дії напруження - за другим
індексами; – нормальні та дотичні деформації у відповідних напрямках.
Між модулями пружності та коефіцієнтами Пуассона існують ще три додаткові
залежності
(2.4)
Для циліндричної оболонки деформації виражаються через компоненти вектора
переміщення U, V, W за допомогою співвідношень Коші
(2.5)
де
Таким чином, основна задача теорії оболонок при встановленні
напружено-деформованого стану в оболонці визначається в довільній точці 15-ма
величинами: три компоненти вектора переміщення U, V, W, шість компонент тензора
напружень та шість компонент тензора деформації . Для розв’язку названої задачі
записано 15 рівнянь: три рівняння рівноваги (2.2), шість рівнянь узагальненого
закону Гука (2.3) та шість співвідношень Коші (2.5). Тут і надалі будемо
вважати справедливим виконання закону парності (взаємності) дотичних
напружень.
Наведені вище рівняння теорії пружності дозволяють описати широкий клас задач
теорії оболонок, але вони у більшості випадків є малопридатними для практичного
розрахунку. О