Визначення та оптимізація напруженого стану анізотропних пластинок з отворами і тріщинами

РОЗДІЛ 2
ПРУЖНА РІВНОВАГА АНІЗОТРОПНИХ ПЛАСТИНОК
З ОТВОРАМИ
2.1. Пружна рівновага анізотропних обмежених пластинок з отворами
Постановка задачі. Розглядається пружна анізотропна пластинка, яка зай­має
область D, що обмежена контурами L,L ,…,L, причому контур L охоп­лює решта
контурів. Приймемо: пластинка перебуває під дією навантаження, яке прикладене
до границь отворів та зовнішньої межі пластинки; в точках () діють зосереджені
сили , j=1,..,M; пластинка знаходиться в умовах плос­кого напруженого стану.
Віднесемо область D до декартової системи координат (x,y) та позначимо
при­кладені до межі пластинки зусилля через (X,Y). Для розв’язування задачі
не­обхід­но знайти комплексні потенціали (z), (z), які на межі області D
задово­льня­ють умовам (1.12) при . Розглянемо області D1 i D2, що
отри­мую­ться із області D в системі координат (x,y) за допомогою афінних
перет­ворень (x1,y1), (x2,y2), де xj=x+ y, yj= y (j=1,2). Позначимо граничні
конту­ри в областях D1 i D2, що відповідають контурам Lj – через L (j=1,…,N).
На осно­ві розділу 1 випливає, що в даному випад­ку комп­лек­сні потенціали
можуть бути зобра­женi у виглядi
(2.1)
де - голоморфні функцiї в областях D1, D2 вiдповiдно,
, (2.2)
, k=1,2. Зазначимо, що комплексні потенціали з індексом s визначають напружений
стан нескінченної суцільної пластинки, який виникає тільки від дії
зосеред­жених сил.
На основі формул (1.12) вектор напружень на довільному контурі ГОD знаходиться
за формулою [12]:
(2.3)
де , - диференціал дуги на Г.
2.1.1. Побудова інтегрального зображення розв’язку задачі. Використовуючи
узагальнену теорему Коші [81], отримаємо інтегральні зобра­жен­ня для
комплексних потенціалів
(2.4)
де , . Тут і далі за додатний напрям обходу контурів вибраний такий, при якому
області D1,2 залишаються зліва. Зазначимо, що інтегральні рівняння на основі
теореми Коші для комплексних потенціалів побудовані М.І. Мусхелішвілі для
ізотропних пластинок [81].
Підінтегральну функція в формулі (2.4) на контурі L(2) виразимо через функцію .
Для цього використаємо умову (2.3) та спряжену до неї рiвнiсть на гра­­ницi
пластини. Розглядаючи їх як систему рiвнянь для визначення невiдомих ,
знаходимо
, (2.5)
де . Тоді друга формула (2.4) перепишеться
. (2.6)
Формули (2.4) і (2.6) є інтегральним зображенням розв’язку постав­леної задачі.
Зазначимо, що цей розв’язок містить невідому функцію на границі області, для
знаходження якої необхідно використати задані граничні умови.
Модифіковане інтегральне зображення розв’язку задачі. Виберемо в формулі (2.3)
контур Г=Гj такий, щоби він належав області D і був близький до контуру Lj та
підставимо зображення (2.4) і (2.6) в цю формулу. Після спря­мування Гj до Lj
(j=0, n) отримаємо інтегральне рівняння для знаходження неві­домої функції на
границі пластини. Однак, у випадку першої основної задачі функція визначається
з точністю до сталої [101]. Тому розв’язок так записаного інтегрального
рівняння не є однозначним, в зв’язку з чим для його розв’язування не можуть
бути безпосередньо застосовані чисельні методи.
Для того щоб розв’язувати такого типу інтегральні рівняння у літературі
проводять їх модифікацію. Зокрема, у випадку ізотропних пластинок
корис­тую­ться методом Шермана [81, 124], у якому до рівнянь додають певні
доданки так, щоб модифіковане рівняння мало такі самі розв’язки, що й основне,
але тіль­ки однозначні. Широко використовується також інший підхід, який
розроб­ле­ний в методі граничних елементів [22]. В роботі застосований другий
підхід.
Модифікуємо інтегральне зображення загального розв’язку задачі (2.4), (2.6).
Для цього покладемо при t1є: (t1)= Q(t1)+Aj, де функція Q(t1) - визначена
тільки на граничних контурах; Aj – довільні комплексні сталі. Тоді формули
(2.4) і (2.6) пере­пи­шуться у вигляді
, , (2.7)
, (2.8)
де
Введемо в розгляд сталі Bj (j=0,…,N), що задовольняють умовам
(2.9)
З перших двох рівнянь (2.9) випливає
(2.10)
Домноживши друге рівняння (2.9) на і віднявши третє рівняння, маємо
(2.11)
Використовуючи (2.10) і (2.11), знаходимо
Таким чином остаточно отримуємо
. (2.12)
Формули (2.11) і (2.12) становлять модифіковане зображення зага­ль­ного
розв’язку поставленої задачі. У це зображення ввійшли дві комп­лек­с­ні сталі
A0, B0, які задовольняють умови (2.9). Зіставляючи умови (2.9) з умовами
відсутності напружень [101] отримуємо, що вони на напружений стан не впливають.
Тому далі їх у загальному розв’язку допустимо покласти рівними нулю (оскільки
далі розглядається тільки перша основна задача).
2.1.2. Додаткові умови на невідомі функції. Встановимо додаткові умови, яким
повинна задовольняти введена функція Q. Для цього умови, що забезпечують
однозначність переміщень перепишемо у вигляді
(2.13)
де Гj - довільний замкнутий контур в D; – головний вектор сил, які ді­ють на
контурі Гj. Контур Гj(1) вибираємо настільки близьким до контуру , що­би між
ними були відсутні точки, що відповідають прикладеним зосеред­же­ним силам.
Підставивши в першу формулу (2.13) зображення (2.7), отримаємо
, (2.14)
(2.15)
Перейдемо в формулах (2.14), (2.15) до границі . В результаті отримаємо
додаткові умови на функцію Q:
(2.16)
Умова (2.15) при виконанні умов (2.16) буде задовольнятись тотожно, оскільки
всі сили, що прикладені до пластинки є зрівноважені.
Зображення (2.12) перепишемо так
, (2.17)
де . Підставивши (2.17) у другу умову (2.13), аналогічно як і вище отримаємо
(2.18)
(2.19)
Умови (2.18)