РОЗДІЛ 2
УЗАГАЛЬНЕНА ФЕНОМЕНОЛОГІЧНА МОДЕЛЬ НАКОПИЧЕННЯ ПОШКОДЖЕНЬ ПРИ
ПРУЖНО-ПЛАСТИЧНОМУ ДЕФОРМУВАННІ
На основі положень континуальної механіки пошкоджуваності зародження
макротріщини відбувається в результаті накопичення в матеріалі критичної
кількості мікродефектів. При складному навантаженні, коли присутні пластичні
складові деформації, пошкоджуваність конструкційних матеріалів найбільш сильно
виражена. В даному розділі розроблено узагальнену модель накопичення
пошкоджуваності при пружно-пластичному деформуванні з урахуванням впливу знаку
першого інваріанта тензора напружень.
2.1 Основні термодинамічні положення
Процес деформування є типовим термодинамічним процесом. В механіці твердого
деформівного тіла для широкого класу задач термодинамічний підхід забезпечує
необхідну точність розрахунків при застосуванні таких понять, як робота,
кількість тепла, внутрішньої енергії тощо. Особливе значення термодинамічний
підхід має при розгляді незворотних процесів деформації та руйнування.
Зміст першого закону термодинаміки полягає в твердженні про те, що при переході
системи із заданого початкового в заданий кінцевий стан сума роботи, виконаної
над системою, та теплоти, що підводиться до неї залишається постійною [53].
Таким чином, сума двох функціоналів, а саме – функціонала виконаної над
системою роботи і функціонала підведеного до системи тепла, є функцією стану
системи, що називається внутрішньою енергією.
Приріст внутрішньої енергії системи при виконанні над нею роботи та наданні
системі нескінченно малої кількості теплоти буде повним диференціалом
(2.1)
Застосуємо перший закон термодинаміки до процесу деформації. Відомо, що густина
роботи напружень на варіаціях малих деформацій визначається таким чином:
. (2.2)
Позначимо питому внутрішню енергію через . Тоді приріст питомої внутрішньої
енергії при переході від заданого стану до нескінченно близького стану
деформації можна записати у вигляді
(2.3)
З врахуванням цього перший закон термодинаміки можна записати у такому вигляді:
(2.4)
В подальшому кількість теплоти, отриманої тілом вважатимемо додатною. Якщо тіло
переходитиме різними шляхами з початкового в кінцеве положення, то механічний
еквівалент дії зовнішніх навантажень (в тому числі і теплових) матиме щоразу
одне й те саме значення незалежно від траєкторії переходу.
Запис першого закону термодинаміки у формі (2.4) зокрема дозволяє зв’язати
компоненти тензора напружень з компонентами тензора деформацій та абсолютною
температурою у формі рівнянь стану з такою структурою
. (2.5)
Другий закон термодинаміки полягає в тому, що кількість теплоти, отримана при
будь-якому оборотному процесі, завжди має інтегровані дільники і серед цих
інтегрованих дільників виразу кількості тепла є дільник, що залежить тільки від
температури системи.
Аналітично другий закон термодинаміки записують у вигляді:
, (2.6)
де - ентропія системи.
Класична термодинаміка також твердить, що у випадку незворотних процесів має
місце нерівність
, (2.7)
З першого та другого законів термодинаміки випливають важливі співвідношення.
Поділивши вираз (2.4) на температуру, отримаємо
. (2.8)
В силу другого закону термодинаміки повинно бути (для зворотних процесів)
повним диференціалом [14]. Виходячи з цього можна записати:
. (2.9)
З цих формул випливає
. (2.10)
Функція , повний диференціал якої для оборотних процесів дорівнює , називається
ентропією. Застосування поняття ентропії дає можливість зробити важливе
формулювання другого закону термодинаміки. Можна знайти таку функцію
параметрів, що визначають систему, що зміна цієї функції, що називається
ентропією, в оборотних процесах дорівнює для кожної малої ділянки процесу
відношенню кількості отриманого системою тепла до абсолютної температури
джерела цього тепла. Для необоротних процесів це відношення менше зміни
ентропії.
Застосування поняття ентропії дозволяє записати перший закон термодинаміки у
такому вигляді
, (2.11)
Розглянемо основні термодинамічні потенціали та їх застосування до процесу
пружного деформування суцільного середовища. Якщо разом з тензорами напружень
та деформацій і температурою в якості четвертої величини, що характеризує
деформований стан тіла, прийняти ентропію, то можна побудувати чотири функції.
Кожна з цих функцій може бути визначена двома з чотирьох змінних, які
характеризують стан деформації. Дві інших змінних стану можуть бути отримані із
цієї функції шляхом знаходження частинних похідних. Такі функції називаються
основними термодинамічними потенціалами. Вирази для їх питомих величин можуть
бути записані наступним чином [53]:
внутрішня енергія - ,
вільна енергія - ,
термодинамічний потенціал Гіббса - ,
теплова функція - ,
де - ентропія системи, - абсолютна температура системи
Якщо відомі термодинамічні потенціали, то легко можуть бути знайдені похідні
термодинамічної функції, ентропія, абсолютна температура, тензор напружень.
Наведемо рівняння стану для кожного термодинамічного потенціалу, а також
співвідношення для знаходження вказаних похідних термодинамічних функцій.
Приймаючи в якості термодинамічного потенціалу внутрішню енергію, отримно таке
рівняння стану:
. (2.12)
Відповідно рівняння для визначення температури:
. (2.13)
Беручи за термодинамічний потенціал вільну енергію записано рівняння стану
наступним чином:
, (2.14)
Для визначення ентропії слід користуватись співвідношенням
. (2.15)
Використовуючи теплову функцію, маємо таке рівняння стану
. (2.16)
При цьому температура визначатиметься співвідношенням
. (2.17)
Якщо потенціалом вибрано термодинамічний потенціал Гіббса,
- Київ+380960830922