Розділ 2
МатематичнІ моделІ ТЕМПЕРАТУРНИХ ПОЛІВ І НАПРУЖЕНЬ
В ТЕРМОЧУТЛИВИХ ЕЛЕМЕНТАХ КОНСТРУКЦІЙ
При дослідженні температурних полів і спричинених ними напружень в елементах
конструкцій, які працюють в умовах низьких чи високих температур, суттєвим є
врахування в їх математичних моделях температурних залежностей теплових і
механічних характеристик матеріалів, з яких вони виготовлені. Це дозволяє
набагато точніше визначити їх тепловий та напружено-деформований стан у
порівнянні з визначенням теплового та напружено-деформованого станів на основі
моделей, що нехтують такими залежностями, але значно ускладнює побудову
розв’язків відповідних задач теплопровідності і термопружності. При врахуванні
температурних залежностей характеристик матеріалу тіла задачі теплопровідності
є нелінійними, а відповідні задачі термопружності – крайовими задачами зі
змінними коефіцієнтами.
Розв’язування статичних чи квазістатичних незв’язаних задач термопружності
складається з двох важливих етапів, а саме, знаходження температурного поля
тіла та визначення його напружено-деформованого стану, обумовленого знайденим
температурним полем та прикладеними до нього внутрішніми і зовнішніми силовими
факторами.
2.1. Рівняння теплопровідності і термопружності в декартовій системі координат
Нехай однорідне ізотропне тіло, яке займає деяку просторову область обмежену
поверхнею , нагрівається довільно розподіленими в його об’ємі джерелами тепла
густини (кількість тепла, яка виділяється джерелами в одиниці об’єму за одиницю
часу), а його теплові (коефіцієнт теплопровідності і об’ємна теплоємність ) і
механічні (модуль зсуву , коефіцієнт Пуассона та температурний коефіцієнт
лінійного розширення (ТКЛР) ) характеристики залежать від температури. Якщо
розглядуване тіло віднесене до декартової системи координат , то після
підстановки компонент вектора теплового потоку [179,290,298]
(2.1)
в рівняння балансу тепла
, (2.2)
отримуємо нелінійне рівняння нестаціонарної теплопровідності
, (2.3)
або
. (2.4)
Тут і дальше – температура; диференціювання по координаті позначається комою з
одночасним індексним позначенням змінної, точкою зверху позначено
диференціювання по часу , а підсумовування ведеться за індексами, що
повторюються [382].
Для визначення компонент напружено-деформованого стану тіла в декартовій
системі координат маємо [156,249,342,382] :
– співвідношення між компонентами тензора деформацій і переміщеннями
(геометричні співвідношення)
; (2.5)
– співвідношення Дюгамеля-Неймана між компонентами тензорів напружень і
деформацій
, (2.6)
або
; (2.7)
– рівняння руху
; (2.8)
– умови сумісності деформацій
, (2.9)
де – залежні від температури параметри Ляме, – густина тіла, , – суто теплова
деформація, – постійна початкова температура, при якій тіло перебуває у
природному стані (при і напруження ), – відносна зміна об’єму тіла, – сумарне
напруження, – символ Кронекера [229], – компоненти вектора масових сил,
величина дорівнює , якщо утворюють парну (непарну) перестановку чисел 1, 2, 3.
Параметри Ляме виражаються через модуль Юнга і коефіцієнт Пуассона наступним
чином [156]
. (2.10)
В загальному у випадку ізотропного термочутливого тіла параметри і є функціями
температури, але незалежними є лише дві з них. В якості незалежних параметрів
можуть бути взяті, наприклад і , і або модуль зсуву і коефіцієнт об’ємного
стиску ; решта параметрів виражаються через прийняті основні [156].
Як показано [156] на механічні характеристики ізотропного тіла накладаються
умови , звідки витікає, що . Зауважимо, що граничне значення відповідає
нестисливому матеріалу.
В результаті підстановки компонентів тензора деформацій (2.5) у співвідношення
Дюгамеля–Неймана (2.6), а отриманого результату – в рівняння руху, запишемо
рівняння руху у переміщеннях
. (2.11)
Якщо вирази компонент тензора деформації (2.7) підставити в умови сумісності
деформацій (2.9), то отримаємо умови сумісності записані в напруженнях
. (2.12)
Приведені тут рівняння і співвідношення мають місце і у випадку, коли теплові
і механічні характеристики залежать від координат і температури.
Якщо ж ці характеристики є функціями лише декартових координат , то приведені
рівняння і співвідношення не змінюють свого вигляду, лише [156,184,190].
2.2. Рівняння теплопровідності і термопружності в циліндричній системі
координат
Нехай однорідне ізотропне термочутливе тіло віднесене до циліндричної системи
координат , яка пов’язана з декартовою системою , формулами , , .
Після підстановки в рівняння балансу тепла [179,298]
(2.13)
компонентів вектора теплового потоку
,
отримуємо рівняння теплопровідності термочутливого тіла в циліндричній системі
координат :
. (2.14)
Для визначення компонентів напружено-деформованого стану тіла в циліндричній
системі координат маємо :
– співвідношення між деформаціями і переміщеннями
,
, , (2.15)
де – радіальне, – колове, – осьове переміщення;
– рівняння руху
,
,
, (2.16)
де – компоненти вектора масових сил;
– співвідношення Дюгамеля-Неймана
, ,
, , (2.17)
де ;
– умови сумісності деформацій
, ,
,
,
, . (2.18)
Після підстановки виразів для напружень (2.17) в рівняння руху (2.16),
прийнявши при цьому до уваги геометричні співвідношення (2.15), отримаємо
рівняння руху у переміщеннях
, (2.19)
де – оператор Лапласа в циліндричній системі координат.
2.3. Рівняння теплопровідності і термопружності в сферичній системі координат
Нехай ізотропне термочутливе тіло віднесене до сферичної системи координат ,
які з декартовими координатами пов’язані співвідношеннями , , . В цьому