РАЗДЕЛ 2
МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В ЗАДАЧАХ ДЛЯ ТЕЛ С ТРЕЩИНАМИ
Сведение краевых и начально-краевых задач математической физики, описываемых
линейными дифференциальными уравнениями с частными производными, к граничным
интегральным уравнениям представляет собой эффективный и широко используемый в
последнее время метод решения задач.
Вопросы существования и единственности решения интегральных уравнений
статической и динамической теории упругости и механики разрушения подробно
рассмотрены в [31, 56, 59-61, 65 и др.].
Возникающие при применении метода интегральные уравнения можно разделить на
интегральные уравнения Фредгольма (уравнения с гладкими или суммируемыми
ядрами) [31, 52, 53, 78, 110, 112 и др.], сингулярные уравнения (уравнения, в
которых порядок особенности интегральных ядер совпадает с размерностью области
интегрирования), рассматриваемые в смысле главного значения по Коши [31, 56,
58, 62-65, 165 и др.], и гиперсингулярные уравнения (уравнения, в которых
порядок особенности интегральных ядер превышает размерность области
интегрирования), рассматриваемые в смысле конечной части по Адамару [5, 17, 86,
145, 166-169 и др.].
В настоящем разделе сформулирована корректная постановка задач о динамическом
нагружении ограниченного тела с трещинами и гармоническом нагружении материала
с трещинами с учетом контактного взаимодействия берегов трещин. Задача для
материала с трещинами при гармоническом нагружении сведена к граничным
интегральным уравнениям с односторонними ограничениями в виде неравенств.
Приведен основывающийся на вариационных принципах динамической теории упругости
итерационный алгоритм решения задач механики разрушения для тел с трещинами.
Общая постановка задачи
Постановка задачи для ограниченного тела с трещинами с учетом взаимодействия
берегов
Рассмотрим предложенную А.Н. Гузем и В.В. Зозулей в работах [3-5, 157, 159-162]
постановку задачи о динамическом нагружении ограниченного тела с трещинами с
учетом контактного взаимодействия берегов трещин.
Пусть линейно упругое, однородное и изотропное тело в трехмерном евклидовом
пространстве занимает объем . Будем отождествлять каждую материальную точку
тела с той точкой пространства, которую она занимает в данный момент времени.
Границу тела будем предполагать кусочно-гладкой и состоящей из областей и , на
которых заданы векторы поверхностной нагрузки и перемещений соответственно. На
тело могут действовать объемные силы (рис. 2.1.).
Предположим, что в теле расположено произвольно ориентированных трещин с
поверхностью , где и - противоположные берега трещины , . Трещины могут иметь
соизмеримое с перемещениями берегов начальное раскрытие , при этом поверхности
берегов предполагаются локально почти параллельными, а кривизна этих
поверхностей относительно невелика.
Рис. 2.1. Тело с трещинами под действием динамического нагружения
Деформации тела определяются тензором деформаций Коши
где , - частные производные по пространственным координатам; , - компоненты
поля перемещений.
Тензор деформаций Коши удовлетворяет условиям совместности деформаций
Сен-Венана
Под воздействием объемных и поверхностных нагрузок происходит движение точек
тела, при этом предполагается, что перемещения точек тела и их градиенты малы,
поэтому напряженно-деформированное состояние тела описывается уравнениями
линейной динамической теории упругости в перемещениях
, (2.1)
где оператор для изотропного тела имеет вид
- компоненты вектора объемных сил, - плотность материала тела, - производная по
времени, и - постоянные Ламэ, - символ Кронекера.
В векторной форме уравнения движения (2.1) можно записать следующим образом
(2.2)
где дифференциальные операторы , и представляют собой градиент, дивергенцию и
ротор вектора соответственно [170].
Условия в начальный момент времени запишем в виде
. (2.3)
На границе тела необходимо задать граничные условия, которые с учетом
существования областей и , принимают вид
(2.4)
Кроме того, для корректной постановки задачи в случае неограниченного тела
необходимо потребовать выполнения условий на бесконечности, которые заключаются
в ограничениях на вектор перемещений и обеспечивают конечность энергии упругого
тела, занимающего конечную область
где - норма вектора перемещений, - константа, - расстояние от начала
координат.
Взаимные перемещения противоположных берегов трещин характеризуются вектором
разрыва перемещений
, (2.5)
где и - перемещения берегов, , .
На поверхности контактирующих во время деформации противоположных берегов
трещин возникают силы контактного взаимодействия , компоненты которых
определяются следующим образом
, (2.6)
где - компоненты тензора напряжений, - компоненты единичного вектора внешней
нормали в точке ; - изменяющаяся во времени и подлежащая определению в процессе
решения задачи область контакта берегов трещин.
При этом равенство (2.6) имеет место на каждом из противоположных берегов
трещины, учитывая их локальную параллельность и малую кривизну, получаем
где и - компоненты сил контактного взаимодействия на противоположных берегах
трещин.
Согласно [3-5] для компонент векторов сил контактного взаимодействия и разрыва
перемещений на берегах трещин должны выполняться следующие ограничения в виде
неравенств
(2.7)
(2.8)
где и представляют собой нормальные и касательные компоненты векторов разрыва
перемещений и сил контактного взаимодействия соответственно; - коэффициент
трения; коэффициент определяется следующим образом
С физической точки
- Київ+380960830922