РАЗДЕЛ 2
Термомеханика линейно-вязкоупругих материалов
В данном разделе приведены основные уравнения и соотношения механики
линейно-вязкоупругих сред, а также термодинамики сред наследственного типа.
Дается вывод определяющих уравнений для напряжений, энтропии и скорости
внутренней диссипации. Сформулирована общая постановка термомеханически
связанной задачи для линейно-вязкоупругих тел. Для случая гармонического
нагружения дается упрощенная постановка задачи виброразогрева. Приведена
конечно-элементная методика ее решения. Изложен подход к исследованию
критических значений параметров тепловой неустойчивости тел.
2.1. Основные уравнения и соотношения механики и термодинамики
линейно-вязкоупругих материалов.
Вопросы, связанные с кинематикой сплошных сред при малых деформациях, законами
сохранения импульса, момента импульса и энергии, представляют, по сути,
законченную область механики и термодинамики [11,68,87]. Ниже эти соотношения
приводятся в объеме, необходимом для дальнейшего использования.
Рассмотрим деформируемое тело, которое занимает область , ограниченную
достаточно гладкой поверхностью . Положение точек тела будем определять
относительно прямоугольной декартовой системы координат. Пусть точка с
координатами в процессе деформирования переходит в точку с координатами. Вектор
перемещений определяется так
. (2.1.1)
Здесь и далее по тексту тензоры и векторы (как тензоры первого ранга) будут
обозначаться жирными буквами, например . Для скалярных величин используется
обычные обозначения, например , однако чтобы подчеркнуть в отдельных случаях
векторную природу абсолютного значения вектора, будем писать .
Над скалярами, векторами и тензорами вводятся обычные операции, для обозначения
которых будут использоваться как символьная, так и индексная формы записи,
например,
– скалярное произведение двух векторов;
– свертка тензоров второго ранга;
– след тензора второго ранга; и т.д.
Таким образом, компоненты тензора инфинитезимальной деформации определяются по
формулам Коши
(2.1.2)
где .
Закон сохранения массы в локальной форме имеет вид
, (2.1.3)
где и – плотности до и после деформации, – символ Кронекера.
Обозначим через вектор единичной внешней нормали к поверхности . Для того,
чтобы записать закон сохранения импульса, момента импульса и энергии, введем в
рассмотрение внешнее механическое усилие на поверхности
, (2.1.4)
объемную силу
. (2.1.5)
Для учета теплового влияния предполагается, что к телу за счет теплопроводности
подводится энергия со скоростью
, (2.1.6)
где – тепловой поток, а за счет объемных источников тепла энергия подводится со
скоростью
. (2.1.7)
С помощью стандартных соображений устанавливается, что вектор поверхностных
усилий можно представить в виде
, (2.1.8)
где – тензор напряжений.
Из закона сохранения момента импульса следует симметричность тензора напряжений
, (2.1.9)
где обозначает транспонирование.
С учетом (2.1.4)–(2.1.8) уравнения импульса и энергии принимают вид
(2.1.10)
, (2.1.11)
где – внутренняя энергия тела на единицу объема; .
Применяя в области теорему Гаусса–Остроградского о дивергенции, получаем
локальные формулировки этих законов
, (2.1.12)
, (2.1.13)
где– мощность напряжений.
Локальные уравнения (2.1.3), (2.1.9), (2.1.12) и (2.1.13) вытекают из
интегральных законов сохранения массы, импульса, момента импульса и энергии и,
обратно, набор этих уравнений обеспечивает выполнение законов баланса.
Необратимый характер механических и тепловых процессов находит отражение во
втором законе термодинамики. В настоящей работе используется термодинамическая
теория, развитая Коулменом [87]. Эта теория использует энтропию и температуру
как примитивные величины, т.е. такие, которые вводятся с самого начала и второй
закон термодинамики принимается в форме неравенства Клаузиуса–Дюгема. При этом
предполагается, что неравенство справедливо для произвольных историй деформации
и температуры.
Пусть скалярные поля и представляют собой энтропию, отнесенную к единице объема
тела, и абсолютную температуру. Скорость роста энтропии будет
.
Вклад в изменении энтропии за счет теплопроводности записывается как
.
Тогда второй закон термодинамики в форме неравенства Клаузиуса–Дюгема
утверждает, что для произвольной части тела и произвольного процесса, который
совершается над ней справедливо соотношение [68, 87]
. (2.1.14)
Использование теоремы о дивергенции приводит к локальной форме неравенства
. (2.1.15)
Выражая через свободную энергию Гельмгольца , отнесенную к единице объема
, (2.1.16)
и, подставляя в (2.1.15) функцию , найденную из уравнения энергии, получаем
приведенное диссипативное неравенство
, (2.1.17)
где .
Обзор различных обобщений интегральной формулировки (2.1.14) дан в работе [68].
Неравенство (2.1.14), принятое как второй закон термодинамики, завершает
систему универсальных соотношений механики и термодинамики.
Рассмотрим ряд соотношений, которые будут полезными в дальнейшем. Более сильным
по сравнению с (2.1.17) является представление второго закона в виде системы
неравенств Планка и Фурье [68]. В приведенной форме они записываются так
(2.1.18)
(2.1.19)
Иногда удобно ввести явно скорость диссипации и представить неравенства
(2.1.17)–(2.1.19) в виде равенств
(2.1.20)
(2.1.21)
(2.1.22)
где , и – скорости диссипации механической энергии и диссипации вследствие
теплопроводности.
Отметим одну интерпретацию уравнения (2.1.21). Следуя [85], назовем ск
- Київ+380960830922