Розрахунок траєкторій та швидкості поширення втомних тріщин у пластинчатих елементах конструкцій

РОЗДІЛ III
ВПЛИВ ПРЯМОЛІНІЙНИХ ГРАНИЦЬ НА ПРОЦЕС РОЗПОВСЮДЖЕННЯ КРИВОЛІНІЙНИХ ТРІЩИН У
ПЛАСТИНКАХ
Тріщини, як правило, виникають біля границі. У випадку тріщини, розміри якої є
малими порівняно з розмірами пластинки, область, яку займає пластинка будемо
розглядати як півплощину або смугу. Для розробки алгоритму дослідження НДС
таких пластинок використаємо розроблений вище алгоритм, для застосування якого
достатньо побудувати відповідний розв’язок типу Гріна. У зв’язку з цим у
розділі спочатку наведено такі розв’язки. Далі розроблений алгоритм використано
для дослідження впливу прямолінійних границь на траєкторії та швидкість
розповсюдження втомних тріщин у пластинчатих елементах конструкцій.
3.1. Алгоритм визначення НДС півнескінченної пластинки з вільною або жорстко
закріпленою межею
Побудуємо введені в п. 2.2 розв’язки типу Гріна для півплощини, які необхідні
для дослідження НДС біля тріщин на основі методу інтегральних рівнянь.
Розглянемо окремо випадки, коли межа півплощини вільна від навантаження або
закріплена.
Нехай півнескінченна пластинка займає область . Для по­бу­дови розв’язку типу
Гріна необхідно знайти комплексні потенціали Мусхелішвілі , які задовольняють
однорідним умовам при y=0 та мають такі особливості
при y<0, (3.1)
де , – комплексна стала, – довільна точка в нижній півплощині, – відома дійсна
стала.
Для випадку півплощини зручно [73] ввести у розгляд комплексну функцію .
Напруження і похідні від переміщень через функції визначаються за формулами
. (3.2)
На основі (3.1) маємо, що функція у півплощині буде мати особливість
. (3.3)
а) Границя півплощини вільна від навантаження. На підставі першої з формул
(3.2) при y=0 для знаходження комплексних потенціалів маємо умову вигляду
Зобразимо де –
невідомі функції. Для знаходження цих функцій маємо умову
Використовуючи [73] звідси отримуємо
.
На підставі методу лишків [73] знаходимо
Таким чином отримуємо
(3.4)
Для визначення напружень у півплощині з тріщинами використаємо розроблений у
розділі 2 алгоритм, для застосування якого достатньо записати фундаментальний
розв’язок (2.20). Цей розв’язок має вигляд
, (3.5)
де функції визначаються за формулою (3.4).
б) Границя півплощини жорстко закріплена. На основі третьої з формул (3.2) для
комплексних потенціалів при y=0 маємо умову
. (3.6)
Зобразимо
де – невідомі функції. Для знаходження цих функцій запишемо умову .
Використовуючи [73] звідси маємо
.
Звідси отримуємо
Таким чином остаточно одержуємо
(3.7)
Комплексні потенціали (розв’язок типу Гріна) (2.25) через знайдені функції
(3.7) визначаються за формулами (3.5). Зазначимо, що цей розв’язок дає
можливість досліджувати НДС півплощини з тріщинами при жорстко закріпленій
прямолінійній границі.
Іншим способом інтегральні рівняння для півплощини побудовано в роботах [102].
3.2. Дослідження впливу прямолінійної границі на траєкторії та швидкість
поширення втомних тріщин
Нахилені прямолінійні тріщини біля границі півплощини. Дослідимо процес
розповсюдження втомних прямолінійних тріщин у півплощині. Приймемо, що
півдовжина тріщини дорівнює а, центр її розміщено в точці (0, c), кут нахилу її
до вісі Ox дорівнює . На рис. 3.1 наведено результати розрахунків для випадку
всестороннього розтягу пластинки зусиллями pC при а=0.25 м, с=-4а, p=5 МПа , ,
=0 (рис. а) та 8 (б). Тут С – циклічний множник. Розрахунок проводився при K=40
(К – кількість кроків у методі прослідковування), при цьому номерам j (які
покладались рівними ) біля кривих на верхньому графіку відповідають кроки ,
причому j=0 відповідає вихідна тріщина. На середньому зображено графічно
залежність кількості циклів (що віднесені до 104) від кількості кроків, а на
нижньому графіку – значення КІН на цих кроках.
Аналогічні результати при кутах 6, 4, 3, 2 наведено на рис. 3.2, 3.3.
а) Кут нахилу 0 б) Кут нахилу
Рис.3.1. Нахилені тріщини у півплощині при всесторонньому розтязі.
а) Кут нахилу б) Кут нахилу
Рис.3.2. Нахилені тріщини у півплощині при всесторонньому розтязі.
а) Кут нахилу б) Кут нахилу
Рис.3.3. Нахилені тріщини в півплощині при всесторонньому розтязі.
Із рисунків видно, що ближня до границі вершина тріщини рухається практично
прямолінійно, а віддалена – вздовж слабо викривленої кривої, що повертається у
напрямку границі, причому швидкість руху віддаленої вершини порівняно з
ближньою в процесі руйнування зменшується.
На рис. 3.4-3.5 наведено результати розрахунків для випадку розтягу пластинки
зусиллями pC у напрямку вісі Оу при кутах ,6, 4, 3 та значеннях p=5, 5, 7, 7.3
(МПА) відповідно.
Різні (неоднакові) значення навантаження вибирались такими для того, щоби з
одного боку могло розпочатись втомне руйнування та, з другого боку, не виникало
крихке руйнування у кінцевий момент руху.
а) Кут нахилу б) Кут нахилу
Рис.3.4.Нахилені тріщини в півплощині при розтязі вздовж вісі Оу.
а) Кут нахилу б) Кут нахилу
Рис.3.5.Нахилені тріщини в півплощині при розтязі вздовж вісі Оу.
Із наведених рисунків випливає, що при розтязі вздовж вісі Oy ближча вершина
спочатку дещо віддаляється від границі, а далі повільно наближається до неї.
Віддалена вершина у всіх розглянутих випадках наближається до границі.
Швидкість руху обох вершин, як це випливає з середніх та нижніх графіків
практично однакова.
Розглянуто також випадок розтягу пластинки зусиллями p вздовж вісі Ох при тих
же параметрах, що стосувались рис. 3.4 і 3.5, коли у всіх варіантах p=10 МПа.
Результати цих розрахунків наведено на рис. 3.6, 3.7.
а) Кут нахилу